Después de ver el punto en Diédrico Directo la semana pasada, vamos a estudiar ahora el siguiente elemento en complejidad: las rectas.
1. Definición y representación
Una recta puede venir definida por:
- Dos puntos, por ejemplo A y B
- Un punto y una dirección en 3 dimensiones
Por lo general se utiliza la primera de ellas.
Y por supuesto, para representar una recta en sistema Diédrico Directo necesitamos al menos sus dos proyecciones:
- Proyección horizontal, habitualmente llamadas r, s, t…
- Proyección vertical, normalmente r’, s’, t’…
2. Pertenencia
Un punto pertenece a una recta cuando sus proyecciones están contenidas en las proyecciones de la recta.
Para ello:
- La proyección vertical del punto debe estar contenida en la proyección vertical de la recta
- Y simultáneamente la proyección horizontal del punto debe estar contenida en la proyección horizontal de la recta.
Si alguna de estas 2 condiciones no se cumple, entonces el punto no está contenido en la recta.
No tienes más que mirar el siguiente ejemplo.
- El punto A pertenece a la recta R porque
- a’ está contenido en r’
- a está contenido en r
- El punto B no pertenece a R porque b’ no está contenido en r’ (sino en r)
- El punto C no pertenece en R porque c’ no está contenido en r’
3. Verdadera Magnitud en rectas
Una de las grandes ventajas tanto del Diédrico Directo como del Diédrico Clásico es que se pueden tomar medidas reales, pero hay que saber dónde se puede hacer.
Cuando una recta es paralela al plano donde se proyecta, entonces puedes medir en verdadera magnitud.
Esto es muy útil porque el Diédrico se utiliza para representar objetos del mundo real y es importante que las dimensiones sean las correctas. Si tomas una dimensión en una proyección en la cual la recta es oblicua, esa dimensión es incorrecta y siempre es inferior a la dimensión real.
A continuación veremos los diferentes tipos de rectas y dónde se pueden medir en verdadera magnitud.
4. Tipos de rectas (posiciones)
Más que hablar de tipos de rectas, debemos hablar de posiciones relativas con respecto a los planos de proyección.
Porque en realidad todas las rectas son iguales: una sucesión de puntos alineados.
Lo que las diferencia es su posición.
Vamos con ello:
4.1. Recta Horizontal
La recta horizontal es paralela al plano de proyección horizontal.
Su cota se mantiene constante a lo largo de toda su longitud (coordenada z=constante).
Y debido a eso tiene la particularidad de que su proyección horizontal está en verdadera magnitud. es decir, nosotros podemos tomar medidas directamente sobre su proyección horizontal y podemos tener la certeza de que esas medidas corresponden con la realidad.
Por eso son rectas muy útiles.
En cuanto a la representación se caracteriza porque su proyección vertical es perpendicular a las líneas de referencia. La proyección horizontal puede tener cualquier dirección.
4.2. Recta Frontal
La recta frontal es paralela al plano de proyección vertical.
Por tanto, en este caso es su alejamiento el que se mantiene constante a lo largo de toda su longitud (coordenada y=constante)
- La proyección horizontal de la recta frontal es perpendicular a las líneas de referencia
- Su proyección vertical puede formar cualquier ángulo, pero tiene la singularidad de que está en verdadera magnitud, con lo cual será muy útil para tomar medidas.
Como ves, las rectas horizontales y las frontales son muy similares y lo único que cambia es el plano de proyección respecto al que son paralelas.
4.3. Recta paralela a ambos planos de proyección
Sé que el nombre no es muy original, pero es lo que hay 
Como te puedes imaginar, esta recta es paralela a ambos planos de proyección.
Sus dos proyecciones (horizontal y vertical) son perpendiculares a las líneas de referencia y, por tanto, son paralelas entre sí. Y lo bueno es que ambas proyecciones están en verdadera magnitud.
En Diédrico Clásico esta recta se llamaría paralela a la Línea de Tierra.
4.4. Recta de Perfil
La recta de perfil se caracteriza porque tiene sus proyecciones paralelas a las líneas de referencia y por tanto, como puedes imaginar, ambas proyecciones están alineadas (quedan superpuestas).
En realidad no forman ningún ángulo particular con los planos de proyección, pero sí resulta sencillo hacer un cambio de plano o simplemente dibujar una tercera proyección de perfil para ver su verdadera magnitud y el ángulo real que forma con los planos de proyección.
¿Cómo hallar la 3ª proyección?
Muy sencillo.
Debes dibujar una recta horizontal y en el punto donde corte a las proyecciones de la recta marcas un centro O, tal como se muestra en el siguiente dibujo.
Para obtener la 3ª proyección b” del punto B debes:
- Dibujar un arco de circunferencia con centro en O y radio hasta la proyección horizontal b, y llevar ese arco hasta la recta horizontal dibujada.
- Dibujar desde ahí una paralela a las líneas de referencia
- Dibujar una perpendicular a las líneas de referencia desde la proyección vertical b‘.
- El punto donde se encuentran estas últimas rectas (la paralela y la perpendicular) determina la posición del punto B en la vista del perfil
Si repites ese mismo proceso para el punto A y obtienes a”, ya puedes dibujar la 3ª proyección de la recta r”.
Y en el perfil ya puedes medir distancias y ángulos en verdadera magnitud.
4.5. Recta Vertical
La recta vertical es perpendicular al plano de proyección horizontal.
Se trata de una recta que es paralela al plano vertical de proyección y por tanto en su proyección vertical se puede medir en verdadera magnitud.
En cuanto a su representación:
- Su proyección vertical está alineada con las líneas de referencia del diédrico directo.
- Su proyección horizontal es un punto; es decir, todos los puntos de la recta tienen su proyección horizontal coincidentes en el mismo punto.
La recta vertical, como puedes ver, es un caso particular de recta frontal porque es paralela al plano de proyección vertical.
4.6. Recta de Punta
La recta de punta es perpendicular al plano de proyección vertical.
Se trata por tanto de un tipo particular de recta horizontal y, como estas, tiene su proyección horizontal en verdadera magnitud.
Su representación es muy similar a la recta vertical, pero con los papeles cambiados:
- Su proyección vertical es un punto: todos los puntos de la recta tienen su proyección vertical coincidente en un punto.
- Su proyección horizontal es paralela a las líneas de referencia.
4.7. Recta Oblicua
Cualquier recta que no encaje en ninguna de las categorías anteriores, es una recta oblicua.
Es la más genérica que hay.
No tiene ninguna singularidad con respecto a ángulo: no es paralela ni perpendicular a ninguno de los planos de proyección. Forma cualquier ángulo con estos planos diferente de 0º y 90º.
No se puede medir en verdadera magnitud en ninguna de sus proyecciones.
5. Resumen de las posiciones
Aquí tienes un dibujo en el que resumo las 7 posiciones posibles de una recta en Diédrico Directo.
Espero que te sirva.
6. Posición relativa de rectas entre sí
Si tenemos 2 rectas en el espacio solo pueden darse alguno de los siguientes 3 casos:
- Que las rectas se corten: Esto quiere decir que tienen un punto en común. Se sabe que 2 rectas se cortan cuando el punto en el que intersecan las proyecciones verticales coincide con el punto en que intersecan las proyecciones horizontales. Es más fácil verlo en la imagen siguiente.
- Que las rectas se crucen en el espacio: Esto significa que no tienen ningún punto en común y cada recta “va por su sitio”. Puedes comprobar que dos rectas se cruzan (sin tocarse) cuando el punto de corte de las proyecciones verticales no coincide con el punto donde se cortan las proyecciones horizontales.
- Que las rectas sean paralelas entre sí: Si no ocurre ninguno de los casos anteriores, entonces las rectas son paralelas entre sí. Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones son paralelas y, por tanto, no se cortan ni en las proyecciones horizontales ni en las verticales.
7. Visibilidad
Vamos a introducir aquí un concepto importante es Diédrico Directo: la visibilidad.
Cuando dos elementos u objetos se superponen, en Diédrico Directo prevalece aquel que está más próximo al observador. Esto significa que el objeto que está más cerca del observador aparece como visto, mientras que el que está más lejos quedará como oculto.
Las aristas o líneas ocultas se representan en Diédrico Directo como discontinuas.
Para saber si un objeto en una proyección está visto u oculto siempre tenemos que recurrir a la otra proyección.
7.1. Veamos un ejemplo de proyección vertical
Supongamos que necesito comprobar la visibilidad en proyección vertical entre un cubo y una recta.
¿Cuál es visto y cuál oculto?
¿Cómo lo averiguamos?
Muy sencillo:
Tenemos que mirar en proyección horizontal para ver cuál de los dos elementos está por delante.
- El que esté situado delante aparecerá como visto en diédrico, porque está más cerca del observador.
- El que esté situado detrás aparecerá como oculto, porque está más lejos del observador y, por tanto, se representará con línea discontinua, como puedes ver en el gráfico anterior.
7.2. Ocurre lo mismo con la proyección horizontal
Para conocer la visibilidad en proyección horizontal necesitamos mirar en la proyección vertical:
- Aquellos objetos con mayor cota (los situados más arriba en proyección vertical) aparecen como vistos en proyección horizontal
- Los objetos con menor cota (situados más abajo en proyección vertical) aparecen como ocultos en proyección horizontal y, por tanto, se representan con línea discontinua.
Todo esto de la visibilidad va a ser fundamental conforme avancemos en el temario del Diédrico Directo, así que conviene que lo entiendas bien.
7.3. Aplicación a rectas
Si hablamos de rectas reales formadas por una sucesión de puntos, en realidad no nos debería preocupar que fueran vistas u ocultas, porque una recta no puede ocultar a otra.
Pero sí es interesante saber discernirlo porque:
- Puede ser que las rectas representen objetos de 3 dimensiones como por ejemplo lápices, tuberías o canalizaciones. En ese caso sí que ocultarían unos objetos a otros.
- Simplificaremos problemas más complejos como la visibilidad entre planos convirtiéndolos en problemas más sencillos de visibilidad entre rectas, como el que estamos viendo aquí.
Por eso conviene saberlo.
Por tanto, si yo quiero saber la visibilidad entre dos rectas en la proyección vertical necesito saber cuál de las dos rectas está más cerca del observador cuando miro la proyección horizontal.
En el ejemplo representado, el punto donde se cortan las proyecciones verticales nos genera un punto en cada recta, los puntos A y B. Tenemos que discernir cuál de ellos está más cerca del observador de la proyección vertical.
Para ello vemos que en proyección horizontal el punto A está más cerca del observador que el punto B (A tiene mayor alejamiento que B), así que A será visto en proyección vertical y B será oculto.
Puesto que A pertenece a la recta R, r’ será vista en proyección vertical en esa zona de la intersección y s’ será oculta.
Y lo mismo hacemos para la proyección horizontal.
Buscamos el punto donde se cortan las proyecciones horizontales y eso nos da los puntos C y D. Este último D tiene mayor cota en proyección vertical, por lo que está más cerca del observador de la proyección vertical y aparecerá como visto en la proyección horizontal.
D pertenece a S por lo que la proyección horizontal s será vista y la proyección horizontal r será oculta en la intersección.
A modo de resumen:
- Para poder discernir cuál de los objetos está visto en proyección horizontal tengo que mirar en la proyección vertical cuál de ellos tiene más cota, es decir, cuál está situado más arriba (más cerca del observador).
- Y de igual manera, para saber qué objeto está visto en proyección horizontal tengo que mirar en proyección vertical cuál de ellos tiene más alejamiento
Aunque es un tema un poco complejo las primeras veces que lo ves, poco a poco se va entendiendo cada vez mejor.
Espero haberlo dejado suficientemente claro con la explicación y los dibujos.
8. Diferencias y Similitudes con el Diédrico Clásico
Si conoces las rectas en Diédrico Clásico, verás que prácticamente todo es lo mismo en el Diédrico Directo (o Moderno).
No obstante, en el tema de las rectas es bastante más sencillo el Diédrico Directo, porque:
- no tienes que preocuparte de cómo obtener los puntos traza,
- no tienes que saber en qué cuadrante está cada tramo de recta
- no tienes que saber qué tramos son vistos u ocultos
Además nos ahorramos un tipo de recta: la que pasa por la Línea de Tierra, porque aquí en el Diédrico Directo no existe.
Pero por lo demás, todo es prácticamente lo mismo: posiciones, verdaderas magnitudes, visibilidad…
Espero que esta guía de rectas te haya resultado útil.
Prepárate y estudia bien esta guía porque el próximo artículo será de planos y esto se va a ir complicando poco a poco.
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