Como vimos en el artículo anterior de intersecciones entre recta y plano, la intersección entre 2 planos es una recta y para definir una recta necesitamos 2 puntos.
Por consiguiente eso será lo que buscaremos con cualquiera de los dos métodos generales que te presento a continuación.
1. Método General 1: rectas que intersecan
En este primer método vamos a encontrar la intersección de 2 rectas de un plano con el otro plano, de manera que obtengamos los 2 puntos de la intersección que buscamos.
Dados dos planos definidos por sendos triángulos ABC y DEF, el proceso para encontrar la intersección entre ellos es el siguiente:
- Encontrar el punto de intersección I1 de la recta AB del primer triángulo con el otro plano DEF
- Encontrar el punto de intersección I2 de la recta AC del primer triángulo con el otro plano DEF
- La recta I1-I2 es la recta de intersección de los planos ABC con DEF
Lógicamente el resultado habría sido el mismo si en lugar de encontrar las intersecciones de AB y AC con DEF hubieras utilizado otra combinación cualquiera.
Debes prestar mucha atención en todo este proceso y aislar cada paso para evitar confundirte.
Es decir, cuando estés obteniendo la intersección la intersección de AB con DEF, debes saber que vas a obtener un único punto y debes seguir minuciosamente el proceso de intersección recta – plano que vimos en el artículo anterior:
- Contener el lado AB en un proyectante vertical
- Encontrar las intersecciones 1′ y 2′ del lado a’b’ con el triángulo d’e’f’
- Encontrar las proyecciones horizontales de esos puntos 1 y 2 en los lados del triángulo DEF
- Unir esas proyecciones horizontales 1 y 2. El punto donde corte a AB es el punto i1.
Después debes repetir este mismo proceso para el otro lado AC, de la misma manera igualmente metódica.
Finalmente, la unión de los puntos i1-i2 es la recta de intersección entre los planos que estábamos buscando.
1.1. Visibilidad
Cuando tenemos los planos definidos mediante polígonos, el tramo de intersección que nos interesa es el común a ambos polígonos, que es el que he remarcado en rojo grueso en el dibujo anterior.
La recta de intersección determina el cambio de visibilidad: toda recta que pasa por la recta de intersección, cambia de vista a oculta justo en el punto donde corta a dicha recta de intersección.
Para comprobar qué tramos de un triángulo son vistos y cuáles ocultos debemos mirar los puntos en que se superponen las proyecciones de los triángulos, es decir, los puntos donde se cortan los triángulos.
Por ejemplo:
- Para comprobar la visibilidad en proyección horizontal podemos mirar los puntos superpuestos M y N, que es donde se cortan los triángulos en proyeccción horizontal.
- Y para comprobar la visibilidad en proyección horizontal podemos mirar los puntos O y P
- Proyección horizontal: El punto N (contenido en el lado DF) tiene mayor cota que el punto M (contenido en AB), por lo que será el lado DF visto en ese tramo en proyección horizontal, a la izquierda de la recta de intersección, mientras que el lado AB será oculto. A partir del punto donde AB corta a la recta de intersección (concretamente en el punto i1) el triángulo ABC se vuelve visible.
- Proyección vertical: El punto P (contenido en el lado BC) tiene mayor alejamiento que el punto O (contenido en EF) y por tanto será visible el lado BC en proyección vertical en ese tramo a la derecha de la recta de intersección. Observa que el triángulo ABC es visible en toda la parte de la derecha hasta que pasa por los puntos i1‘ e i2′. A partir de ahí está oculto. Obviamente a partir de i2′ hacia la izquierda sigue visible mientras no haya superposición de triángulos.
Este tipo de procesos pueden resultar complicados de entender al principio porque son complejos a nivel espacial, así que te recomiendo que los mires con calma y te tomes el tiempo necesario para comprenderlos.
2. Método General 2: planos auxiliares
Este método que te expongo a continuación también es general y nos sirve para cualquier intersección plano – plano.
Se trata de utilizar 2 planos auxiliares y encontrar la intersección de cada uno de ellos con los dos planos dados. Esto nos dará 2 puntos que son los que nos definen la recta de intersección.
Dados dos planos definidos por ejemplo por polígonos ABC y DEFG, el método consiste en:
- Encontrar la intersección de un plano auxiliar P (horizontal por facilidad) con los dos planos originales.
- La intersección de P con ABC da una recta;
- la intersección de P con DEFG da otra recta.
- El punto donde se cortan esas rectas es ip, punto de corte de los 3 planos.
- Encontrar la intersección de otro plano auxiliar Q con los planos originales. Siguiendo el mismo proceso que en el paso anterior se obtiene un segundo punto de la intersección iq.
- La recta ip-iq es la recta de intersección entre los dos planos originales.
Aquí nuevamente debes ser muy meticuloso en el proceso porque es fácil confundirse y tienes que tener claro en qué paso estás en cada momento.
La visibilidad funciona igual que antes: observa con detenimiento los puntos donde se cortan los contornos de los triángulos y comprueba qué lado tiene más cota o alejamiento para mostrar las partes vistas y ocultas.
3. Intersección de Plano Oblicuo con Plano de Canto
Ya hemos visto que la intersección de 2 planos cualesquiera da como resultado una recta y el caso de los planos de canto no es una excepción.
La diferencia es que su resolución es mucho más sencilla, porque resulta inmediata.
Observa en el siguiente ejercicio de intersecciones cómo tenemos un plano oblicuo ABC y un plano proyectante horizontal DEF y cómo simplemente tenemos que encontrar la proyección vertical de los puntos 1 y 2 (puntos donde la recta DEF corta al triángulo ABC) en los lados correspondientes, a’b’ y a’c’ respectivamente.
- La proyección horizontal i de la recta intersección coincide con el plano proyectante horizontal DEF
- La proyección vertical i’ de la recta intersección es la recta 1′-2′.
Para la visibilidad, en la proyección en que el plano se ve como de canto (en el caso anterior la proyección horizontal), ambos triángulos son vistos.
En la proyección en que no se ve como de canto, tenemos que aplicar las reglas habituales:
- Selecciona un punto donde se corten los contornos de los triángulos y que, por tanto, tiene 2 puntos supuerpuestos. En este caso podemos escoger el punto M y N.
- Encuentra la segunda proyección de M y N. En nuestro ejercicio, un punto (M por ejemplo) pertenece al lado AC de un triángulo y el otro punto N pertenece al lado DEF de canto
- El punto con mayor alejamiento (o cota en su caso) será visto y el otro oculto
- La visibilidad cambia en la recta de intersección; justo en esa recta, los planos pasan de vistos a ocultos y viceversa.
4. Intersección de 2 Planos de Canto
La intersección de 2 planos de canto es la más sencilla a nivel de ejecución, porque requiere muy pocas líneas pero en ocasiones requiere un mayor esfuerzo mental, porque te exige imaginarte la situación en 3 dimensiones.
En todo caso, en la mayoría de las ocasiones las rectas de intersección se ven directamente superpuestas a las proyecciones de canto de los planos.
Veamos un par de ejemplos.
4.1. Plano Horizontal con Plano Proyectante Horizontal
En este primer ejercicio tenemos un plano horizontal ABC y un plano proyectante horizontal DEF. Puesto que todos los puntos del plano horizontal tienen su proyección vertical en la recta a’b’c’, la proyección vertical de la recta intersección coincide con esa recta. Y ocurre lo mismo con la proyección horizontal del plano proyectante horizontal.
Por eso, la recta intersección en este primer ejercicio es una recta horizontal coincidente con las proyecciones de canto de los planos.
En cuanto a la visibilidad, cada plano es completamente visto en aquella proyección en que no está de canto. Y cuando están de canto, pues simplemente se ven como una recta.
4.2. Plano Horizontal con Plano Proyectante Vertical
En este segundo ejercicio tenemos un plano horizontal ABC y un plano proyectante vertical DEF. Las proyecciones verticales de ambos planos son rectas y su punto de corte determina la proyección vertical de la recta intersección, que es una recta de punta, lógicamente.
¿Por qué?
Pues porque todos los puntos del plano ABC deben tener su proyección vertical en la recta a’b’c‘ y todos los puntos del plano DEF deben tener su proyección vertical en la recta d’e’f‘. Por tanto, si la recta de intersección es una recta contenida en ambos planos, debe tener las proyecciones verticales de todos sus puntos en la intersección de a’b’c‘ con d’e’f‘.
Si no eres capaz de verlo en el dibujo razonado de esa manera, debes imaginártelo en el espacio, tal como yo te lo he dibujado en el esquema.
La visibilidad en este caso es un poco más elaborada que en el anterior, pero simplemente se rige por los patrones de visibilidad de siempre.
He seleccionado en este caso los puntos M y N cuyas proyecciones horizontales están superpuestas. El punto M pertenece al plano ABC y tiene mayor cota que N. por lo que ese triángulo será visto a la izquierda de la recta de intersección, mientras que estará oculto a la derecha, siempre que esté tapado por el plano DEF
4. Intersección de 3 Planos
Como ya vimos en el artículo de intersecciones, la intersección de 2 planos es una recta y la intersección de 3 planos es un punto.
Para encontrar el punto de intersección entre 3 planos tal como se muestra en el último esquema del dibujo anterior, simplemente tendríamos que encontrar las rectas de intersección de los planos de dos en dos.
Es decir, si tenemos 3 planos P, Q y T, la intersección de P con Q es una recta que podemos llamar Ipq, mientras que la intersección de P con T es otra recta que podemos llamar Ipt. Ambas rectas (Ipq – Ipt) se cortan en el punto I de intersección de los tres planos.
En realidad es algo que ya hemos hecho en el apartado 2 de este artículo, cuando hemos utilizado un plano auxiliar para encontrar la intersección de dos planos. En ese caso hemos tenido que hallar el punto de intersección de los dos planos dados con ese plano auxiliar.
Vamos a verlo en otro ejemplo.
Si tenemos tres planos ABC, DEF y el plano P proyectante horizontal como en el ejercicio presentado aquí, solo tenemos que:
- Encontrar la recta intersección I1 de P con el plano ABC
- Encontrar la recta intersección I2 de P con el plano DEF
- El punto donde se encuentran i1′ con i2′ es el punto de intersección de los 3 planos. Encuentra su proyección horizontal en P
Es sencillo, ¿no?
Si en lugar de tener un plano proyectante fueran los 3 planos oblicuos, sería un poco más complicado en cuanto a líneas trazadas, pero el proceso es el mismo, y eso es lo que tú tienes que tener claro en mente antes de empezar a dibujar.
5. Casos particulares ¿Qué pasa si…?
Veamos algunos casos muy habituales.
5.1. ¿Qué pasa si… la recta intersección no corta los polígonos?
No pasa nada.
Los polígonos que definen un plano simplemente delimitan una porción del mismo.
Sin embargo los planos son infinitos, no tienen límites y, por tanto, la recta de intersección puede ser secante al polígono o quedar completamente fuera como en el siguiente caso.
El proceso que hay que aplicar en estos casos es exactamente el mismo que siempre. La única singularidad es que deberás (en ocasiones) prolongar los lados de los triángulos para encontrar las intersecciones, pero esto no es problema porque las rectas son infinitas.
Veamos el proceso para resolver el ejercicio anterior.
- Encontrar la intersección i1-i1′ del lado AC con el plano DEF. Observa que al prolongar el lado AC no corta directamente el triángulo, por lo que se hace necesario prolongar sus lados. Fíjate que el punto 1-1′ es la intersección del plano proyectante que contiene a AC con el lado EF (prolongad) y que el punto 2-2′ es la intersección de ese mismo plano con el lado DF.
- Encontrar la intersección i2-i2′ del lado BC con el plano DEF. Igualmente hay que prolongar los lados del triángulo DEF para encontrar las intersecciones.
- La unión de i1 con i2 es la recta intersección, común a ambos planos.
5.2. ¿Qué pasa si… los planos no vienen definidos por polígonos?
Pues al igual que pasaba con las intersecciones entre rectas y planos, no importa si estos últimos vienen definidos por polígonos, rectas que se cortan, rectas paralelas o de cualquier otra manera.
Al fin y al cabo, lo que nosotros necesitamos son rectas pertenecientes a los planos y para eso nos da igual cómo nos las den.
Fíjate en el siguiente ejercicio en el que tenemos 2 planos P y Q definidos por sendos pares de rectas R-S y T-U.
Para resolver el ejercicio he seguido el mismo proceso que en casos anteriores:
- He encontrado la intersección i1-i1′ de la recta R con el plano formado por las rectas T-U, haciendo que R esté contenida en un plano horizontal
- Y por otro lado he encontrado la intersección i2-i2′ de la recta R con el mismo plano T-U, conteniendo S en un plano frontal
- La recta que une i1 con i2 es la recta i’-i intersección de los dos planos.
Con esto quedaría visto toda la teoría sobre intersecciones de planos. Vamos a ver ahora algunas aplicaciones prácticas.
6. Utilidades y Aplicaciones
Cuando pienso en aplicaciones del Diédrico Directo a la vida real siempre me vienen a la mente los exámenes de selectividad o PAU del País Vasco. Allí suelen ser muy prácticos y buscan que el ejercicio tenga una cierto toque de realismo.
Aquí tienes un ejemplo de la Prueba de Acceso a la Universidad de Junio de 2015. Este es el enunciado y aparte de eso te daban los dos planos definidos en diédrico directo. Puedes descargar el examen completo aquí.
Aunque el tema de los ángulos aún no lo hemos visto (ver ángulos en Diédrico Clásico) y las verdaderas magnitudes tampoco (ver abatimientos en Diédrico Clásico), sí puedes comprobar que es una aplicación real de las intersecciones de planos. Se trata de una rampa que sirve para transportar paquetes en un almacen y hay que encontrar la posición de esos vértices C y D, que son la intersección de dos planos, el plano de la rampa y el plano de la pared.
Como ves, en la vida real el diédrico directo puede ser de utilidad.
Por otro lado, como sabes, soy arquitecto y me encanta la arquitectura, sobre todo la contemporánea. Así que me viene a la cabeza un edificio muy facetado en el que claramente se ven las intersecciones entre planos con distintas inclinaciones.
Se trata del edificio de la Casa da Musica de Oporto, del estudio de arquitectura OMA, uno de mis preferidos.
(Imagen de Philippe Ruault)
Aunque este no sea el edificio que más me apasione de ellos, te recomiendo que eches un vistazo a toda la galería de imágenes porque hay detalles muy bonitos y porque puedes encontrar intersecciones de todo tipo (planos horizontales, oblicuos, verticales…) y en todos los lugares; a mí me gusta especialmente la terraza de acabado a cuadros blancos y negros.
Espero que te haya gustado el artículo y sobre todo que te resulte útil. Si tienes cualquier duda, siempre puedes dejarla más abajo, en la sección de comentarios.
Y si compartes el artículo, me estarás ayudando a que continúe publicando en el blog.
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