El paralelismo es una cualidad que comparten dos elementos y que resulta muy útil en sistema diédrico para resolver ejercicios, tanto en diédrico directo como en el clásico (ver paralelismo en diédrico clásico).
Se dice que dos elementos (rectas o planos) son paralelos entre sí cuando mantienen la distancia entre ellos constante en toda su extensión y, por tanto, no llegan a tocarse nunca (salvo en el punto teórico del infinito).
1. Las 4 afirmaciones básicas del Paralelismo (que debes memorizar)
El paralelismo funciona por las siguientes 4 afirmaciones y en realidad esto es lo único que tienes que estudiar.
- Recta – Recta: Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones son paralelas
- Recta – Plano: Una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta del plano
- Plano – Recta: Un plano P es paralelo a una recta R cuando contiene una recta S paralela a R
- Plano – Plano: Un plano es paralelo a otro cuando contiene dos rectas paralelas al mismo
Si quieres quedarte con algo, quédate simplemente con eso.
El resto del artículo será desarrollar estos aspectos.
2. Paralelismo entre rectas
Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones son paralelas
De lo anterior se deduce que el paralelismo entre rectas se ve directamente. Una recta R (r’-r) es paralela a otra S (s’-s) cuando ocurre que:
- r’ es paralela a s’ y
- r es paralela a s
Es necesario que se cumplan las dos condiciones, es decir, que las proyecciones verticales sean paralelas entre sí y las proyecciones horizontales también lo sean.
Por tanto, sabiendo esto es muy fácil dibujar una recta S (s’-s) paralela a otra dada R (r’-r) por un punto A (a’-a) dado. Solo hay que dibujar su proyección vertical s’ paralela a r’ pasando por a’ y su proyección horizontal s paralela a r pasando por a.
El único caso singular sería el de las rectas de perfil, porque habría que mirarlas desde el perfil para comprobar el paralelismo.
Fíjate que solo tienes que llevarte al plano de perfil la recta R y el punto A, consiguiendo así r” y a”. Y en esa vista de perfil debes pasar s” paralela a r” por a”.
Puedes completar el ejercicio dibujando las proyecciones horizontal y vertical de la recta S pasando por a-a’ y añadir un punto B cualquiera de la recta desde el perfil para que quede completamente definida en sus dos proyecciones diédricas.
3. Recta paralela a plano
Una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta del plano
Teniendo en cuenta la afirmación anterior, para saber si una recta es paralela a un plano solo tenemos que comprobar si el plano es capaz de contener una recta paralela a ella.
Por ejemplo, si nos dan un punto M y un plano (definido por el triángulo ABC como en el caso siguiente o de cualquier otra manera) y nos piden dibujar una recta paralela al plano por el punto, solo tenemos que tomar una recta cualquiera del plano (puede ser una recta R genérica o podría ser también la recta AB, AC o BC) y dibujar una recta S paralela a ella por el punto.
Pero como puedes ver, hay infinitas soluciones, tantas como rectas contenidas en el plano dado.
También se nos puede plantear el ejercicio a la inversa.
Puede ser que nos den el plano ABC y la recta S y nos pregunten si esta recta es paralela al plano.
En ese caso podríamos dibujar una proyección horizontal r paralela a s que corte los lados del triángulo en dos puntos. Después deberíamos encontrar las proyecciones verticales de esos dos puntos en los lados del triángulo y por último tendríamos que comprobar si la proyección vertical r’ de la recta que obtenemos es paralela a s’.
Se trataría del mismo ejercicio pero planteado al revés.
4. Plano paralelo a recta
Un plano P es paralelo a una recta R cuando contiene una recta S paralela a R
En realidad, el razonamiento para este caso de paralelismo Plano – Recta es exactamente el mismo que para Recta – Plano, así que el mismo dibujo del apartado anterior sería valido.
Pero puesto que se nos pueden presentar algunos ejercicios un poquito más complejos, vamos a ver aquí algunos de los más comunes.
Ejercicio 1
Dada la recta R y el punto A, se pide dibujar el plano que contenga al punto y sea paralelo a R.
Para resolver este ejercicio simplemente tienes que pasar una recta S paralela a R por el punto A y con eso ya te garantizas que el plano será paralelo a R. A partir de ahí puedes dibujar una recta T cualquiera que pase por A para acabar de definir el plano.
Como ves, hay infinitos planos que, pasando por A, son paralelos a R. Solo tienes que modificar la recta T para conseguir un nuevo plano solución.
Ejercicio 2
Dadas las rectas R y S y el punto A se pide dibujar un plano paralelo a ambas rectas por el punto.
El razonamiento para resolverlo sería el siguiente:
- Si el plano tiene que ser paralelo a la recta R, entonces debe contener una recta T paralela a R, así que hay que dibujar una proyección vertical t’ paralela a r’ por a’ y una proyección horizontal t paralela a r por a.
- Si por otro lado el plano tiene que ser paralelo a la recta S, entonces debe contener una recta U paralela a S, y esta recta U debe pasar por A.
El plano definido por las rectas T y U que se cortan en A es el plano que buscamos, paralelo a R y S. Como ves, en este caso se trata de solución única.
Ejercicio 3
Dadas las rectas R y S se pide dibujar un plano que contenga a R y sea paralelo a S
Para que esté contenida la recta R en el plano de la solución solo tenemos que escoger un punto A cualquiera de la recta y hacer pasar por él una recta T que sea paralela a S. De esta manera, R y T forman un plano que es paralelo a S.
Como ves, son todos ejercicios similares pero que puedes encontrarte en medio de un problema más complejo y es fácil, en ocasiones, perder la perspectiva.
Como siempre, solo debes mantener la calma, saber qué es lo que buscas y con qué datos cuentas.
Y a partir de ahí, imaginarte la solución en el espacio para después resolver el ejercicio aplicando las herramientas del diédrico directo.
5. Plano paralelo a plano
Un plano es paralelo a otro cuando contiene dos rectas paralelas al mismo
Si queremos saber si dos planos son paralelos, necesitamos comprobar que pueden contener dos pares de rectas paralelas entre sí.
Por ejemplo, si nos dan el ejercicio siguiente en el que tenemos que dibujar por el punto B un plano paralelo al definido por la recta R y el punto A, necesitamos dibujar otra recta del plano.
En este caso he utilizado una recta S horizontal, que corta a la recta R en 1′-1 y eso me permite obtener tanto su proyección vertical como la horizontal. Ahora que tenemos las dos rectas R y S del plano origintal, ya podemos dibujar dos rectas paralelas T y U por el punto B.
Lógicamente en este caso solo hay una solución posible.
6. Conclusión
El paralelismo es una cualidad de rectas y planos que utilizaremos mucho para resolver ejercicios tridimensionales con poliedros, pirámides, etc.
Si consigues memorizar e interiorizar las 4 afirmaciones del principio del artículo, prácticamente se puede decir que conoces todo lo necesario del paralelismo para resolver problemas de diédrico. Solo te faltaría ser capaz de aplicarlo, pero espero que con lo que has visto en el resto del artículo te resulte sencillo.
De todas formas, lo iremos aplicando de manera habitual en los siguientes artículos de la serie.
7. El paralelismo del día a día
Las calles suelen tener aceras y fachadas paralelas.
Las paredes de las habitaciones suelen ser paralelas.
Incluso el suelo y el techo suelen ser dos planos paralelos.
Los bordes de la mesa, los cantos de un lápiz, el lomo de un libro, las vías del tren, los marcos de las puertas, la funda del portátil, la colchoneta de yoga…
Paralelismo por todos lados.
Paralelismo que ordena, que estructura la mente humana, que da ritmo y nos acerca al infinito.
El Museo Romano de Mérida, del arquitecto Rafael Moneo, es un gran ejemplo del uso del paralelismo en planos, aristas y llagueado del ladrillo para estructurar el espacio de una manera armónica y bella.
Museo Romano de Mérida. Arquitecto Rafael Moneo. [Imagen: Usuario de Flickr: Fernando Carrasco – Plataformaarquitectura.cl]
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