En artículos anteriores ya hemos visto el punto en Diédrico Directo y la recta con sus diferentes posiciones.

Ahora vamos a ver el plano con todo detalle.

1. Definición

Por plano se entiende una superficie plana, lisa. Es decir, una superficie de 2 dimensiones, que tiene el mismo nivel en todas sus partes.

Un plano puede venir definido de alguna de las siguientes 6 maneras:

• Mediante 3 puntos no alineados. Si estuvieran alineados sería una recta
• Mediante 2 rectas que se cortan
• Mediante 1 recta y 1 punto no contenido en ella. Si estuviera contenido el punto en la recta, entonces sería una recta
• Mediante 2 rectas paralelas

Lo curioso útil de esto es que con cualquiera de estas 4 combinatorias de elementos se puede definir de manera unívoca un plano.

Es decir, dada cualquiera de estas combinatorias existe un único plano posible que sea capaz de contener los elementos de esa combinatoria simultáneamente.

Observa por otro lado que los 3 primeros casos son muy parecidos, prácticamente se genera la misma situación. Por ejemplo si en el primer caso, el de los 3 puntos, unes dos de ellos y obtienes una recta, unes otros dos puntos (uno de ellos se repite) y obtienes una segunda recta; por tanto, al final obtienes 2 rectas que se cortan en un punto, que es el secundo caso.

Y con el tercer caso ocurre lo mismo, porque básicamente reproduce la situación que he descrito en el primer paso del párrafo anterior.

2. Pertenencia

Veamos los dos casos de pertenencia.

2.1. Pertenencia recta – plano

Una recta pertenece a un plano cuando todos sus puntos están contenidos en el plano. Para saberlo basta con comprobar si dos de sus puntos están contenidos en el plano

Vamos a verlo con un ejemplo para cada manera de definir un plano.

EJERCICIO 1

Supongamos que nos dan un plano definido por 2 rectas que se cortan R y S y nos piden dibujar una recta cualquiera T contenida en ese plano.

Simplemente tendrías que seguir los siguientes pasos:

1. Dibujar la proyección horizontal t de manera aleatoria para que corte a las proyecciones horizontales r y s en los puntos 1 y 2 respectivamente.
2. Encontrar la proyección vertical 1′ sobre la proyección vertical r’
3. Encontrar la proyección vertical 2′ sobre la proyección vertical s’
4. Al unir 1′ con 2′ obtenemos la proyección vertical t’ de la recta T

De esta manera sabemos que la recta T está contenida en el plano definido por R y S ya que sus puntos 1 y 2 están contenidos en R y S respectivamente y, por tanto, en el plano.

El método descrito también serviría si comenzamos dibujando la proyección vertical, eso no afecta al resultado.

EJERCICIO 2

Vamos a aplicarlo ahora a un plano definido por 3 puntos A, B y C.

Este ejercicio se resuelve solo en 2 pasos:

1. Haz pasar 2 rectas R y S por los 3 puntos A, B y C.
2. Ya puedes resolver el ejercicio como en el caso anterior, como un plano definido por 2 rectas que se cortan.

Eso sí, debes tener cuidado al dibujar las rectas R y S: debes ser metódico para no equivocarte de puntos y nombres de rectas.

Yo por ejemplo he hecho pasar la recta S por los puntos A y B y para ello:

• He dibujado la proyección vertical s’ pasando por a’ y b’
• He dibujado la proyección horizontal s pasando por las proyecciones horizontales a y b

Y seguidamente he hecho pasar la recta R por los puntos A y C. Para ello he tenido en cuenta igualmente las proyecciones verticales (r’ pasa por a’ y c’) y las proyecciones horizontales (r pasa por a y c)

Lo explico de esta manera tan pormenorizada porque es muy fácil confundirse al escoger los puntos o al nombrar las rectas. Así que ve con cuidado y pon mucha atención.

Una vez que tienes las rectas R y S, fíjate que se cortan en el punto A y ya tienes el ejercicio como en el caso anterior de rectas que se cortan.

Yo en este caso he dibujado primero la proyección vertical t’ para obtener 1′ y 2′ y de ahí obtener sus proyecciones horizontales 1 y 2.

EJERCICIO 3

Hacemos ahora el caso de recta contenida en un plano definido por 1 recta R y 1 punto A no contenido en ella.

De la misma manera que en el caso anterior, vamos a reducir el problema a un plano definido por 2 rectas que se cortan. Para ello:

1. Selecciona un punto B cualquiera de la recta R
2. Haz pasar por los puntos A y B una recta S

Ya puedes resolver el ejercicio como antes, como un plano definido por dos rectas que se cortan, en este caso en el punto B.

EJERCICIO 4

Vamos a hacer un último ejercicio de pertenencia recta – plano con un plano definido por 2 rectas paralelas R y S.

Este es aún más sencillo que los anteriores.

1. Dibuja una proyección vertical t’ cualquiera, que corte a r’ y s’ en 2′ y 1′ respectivamente
2. Obtén las proyecciones horizontales de 1 y 2 en su correspondiente recta cada uno
3. Une las proyecciones horizontales de 1 y 2 para obtener la proyección horizontal t.

Como ves, no importa la manera en que definamos un plano, siempre que se adecue a alguna de las 4 antes mencionadas.

Una vez que está definido un plano, siempre podemos dibujar una recta cualquiera contenida en él.

2.2. Pertenencia punto – plano

Un punto pertenece a un plano cuando está contenido en una recta del plano

Esto ya es muy sencillo, porque si hemos conseguido dibujar una recta cualquiera en un plano, siempre podremos dibujar un punto contenido en una recta.

EJERCICIO 5

Vamos a suponer que tenemos un plano definido por dos rectas que se cortan R y S.

En lugar de intentar contener un punto cualquiera, vamos a considerar que nos dan la proyección vertical de un punto a’ y nos piden que encontremos su proyección horizontal de tal manera que el punto esté contenido en el plano.

Sabemos que un punto está contenido en un plano cuando pertenece a una recta del plano.

Puesto que a’ no está contenido en las rectas R o S, debemos hacer utilizar una recta auxiliar que esté contenida en el plano y contenga al punto A.

Para ello:

1. Dibuja una proyección vertical t’ cualquiera, con la condición de que pase por a’ y corte a r’ y s’ en 1′ y 2′
2. Obtén la proyección horizontal de t apoyándote en los puntos 1 y 2
3. Dibuja desde a’ una línea de referencia en vertical para encontrar su proyección horizontal en t

Es fácil, ¿no?

Una vez que entiendes cómo funciona la pertenencia de la recta en el plano, es sencillo resolver este tipo de ejercicios.

3. Representación habitual

Las 4 maneras que hemos descrito para definir un plano son totalmente válidas y funcionales, pero tienen el inconveniente de que son poco intuitivas, es decir, cuesta trabajo imaginarse el plano en el espacio solo viendo 3 puntos.

Puesto que un plano es infinito y no lo podemos delimitar, una manera habitual de representarlo es utilizando un polígono contenido en él.

El polígono más sencillo es el triángulo, aunque también se puede utilizar un cuadrilátero o cualquier otro polígono.

Como ves, en realidad es lo mismo, porque definir un plano mediante un triángulo es igual que definirlo mediante 3 puntos. O el caso que he presentado de cuadrilátero es como definir un plano mediante rectas paralelas R y S por ejemplo.

Visto de esta manera es un poco más sencillo e intuitivo imaginarse el plano.

Por eso se utiliza habitualmente esta representación.

Normalmente cuando se dibuja en papel no se suele utilizar ningún relleno de color, pero en el caso de publicaciones sí que puede resultar útil para que se vea mejor el plano.

4. Rectas notables del plano

De la misma manera que vimos en diédrico clásico, existen 4 rectas notables en un plano. Son rectas singulares que nos ofrecen ciertas ventajas e información concreta.

4.1. Recta Horizontal de plano

La recta horizontal de plano es una recta paralela al plano horizontal de proyección.

Tiene cota constante.

• Su proyección vertical es perpendicular a las líneas de referencia.
• Se puede medir en su proyección horizontal en verdadera magnitud, como en todas las rectas horizontales

Para dibujarla en un plano, supongamos uno definido por el triángulo ABC dado.

1. Tendrías que dibujar la proyección vertical r’, perpendicular a las líneas de referencia (es decir, horizontal) y lo más fácil es que lo hagas por uno de los vértices, en este caso por c’ porque eso te facilitará la tarea
2. Debes encontrar las proyecciones 1 del punto 1′ donde r’ corta al lado opuesto del triángulo.
3. Finalmente debes unir 1 con c para obtener la proyección horizontal r de la recta horizontal del plano

4.2. Recta Frontal de plano

La recta frontal de plano se caracteriza por ser paralela al plano de proyección vertical.

Su alejamiento es constante

• Su proyección horizontal es perpendicular a las líneas de referencia.
• Su proyección vertical está en verdadera magnitud, como en todas las rectas frontales

Para representarla solo tienes que seguir el proceso explicado en la recta horizontal de plano, teniendo en cuenta que en este caso es la proyección horizontal la que forma un ángulo de 90º con las líneas de referencia.

4.3. Recta de Máxima Pendiente

La recta de máxima pendiente de un plano es perpendicular a la horizontal de plano.

Es fácil dibujarla porque las proyecciones horizontales de ambas (de la horizontal y la de máxima pendiente) son perpendiculares entre sí.

Así que:

1. Dibuja la recta horizontal de plano H=(h’, h)
2. Dibuja proyección horizontal r de la recta de máxima pendiente en perpendicular a la proyección horizontal de h.
3. Mediante los puntos de corte 2 y 3, obtén la proyección vertical r’

La recta de máxima pendiente de un plano representa la dirección que llevaría el agua o cualquier objeto que cayese por la superficie del plano.

4.4. Recta de Máxima Inclinación

La recta de máxima inclinación de un plano es perpendicular a la frontal de plano.

También se puede dibujar fácilmente sabiendo que sus proyecciones verticales (de la frontal y de máxima inclinación) son perpendiculares entre sí (ver gráfico anterior).

5. Verdadera Magnitud en planos

Al igual que ocurría en las rectas, en un plano solo podemos medir en verdadera magnitud cuando es paralelo al plano sobre el que se está proyectando.

Lo veremos a continuación en los diferentes casos.

6. Posiciones de los planos

Un plano es sencillamente un plano, es decir, una superficie plana.

Por tanto, todos los planos son iguales. Y además son infinitos.

Lo que cambia es su posición con respecto a los planos de proyección y eso es lo que vamos a ver en este apartado.

6.1. Plano Horizontal

Como su nombre indica es un plano paralelo al plano de proyección horizontal. Su cota se mantiene constante en toda su superficie, es decir, la coordenada Z de todos sus puntos es igual

• Las proyecciones verticales de todos sus puntos están alineadas y forman una recta horizontal (perpendicular a las líneas de referencia)
• En la proyección horizontal de un plano horizontal podemos medir distancias y ángulos en verdadera magnitud

6.2. Plano Frontal

El plano frontal es un plano paralelo al plano vertical de proyección. Su alejamiento es constante (coordenada Y constante en todos sus puntos)

• Las proyecciones horizontales de todos sus puntos están alineadas y forman una recta perpendicular a las líneas de referencia.
• En la proyección vertical de un plano frontal podemos medir distancias y ángulos en verdadera magnitud

6.3. Plano de Perfil

El plano de perfil es un plano perpendicular a ambos planos de proyección. En este caso, la coordenada X de todos sus puntos es constante.

• Tanto las proyecciones horizontales como las verticales de todos sus puntos están alineadas y forman una recta paralela a las líneas de referencia (verticales).
• Tiene la particularidad de que se puede ver la verdadera magnitud de distancias y ángulos si lo observamos mediante una vista de perfil.

Para ver el plano como de perfil, tienes que dibujar una recta horizontal que te servirá de referencia y marcar el punto O donde esa recta corta al plano de perfil, que será centro de los arcos de circunferencia para cambiar la vista.

Explico el proceso para encontrar la vista de perfil del vértice C:

1. Dibuja un arco de circunferencia con centro en O y radio hasta la proyección horizontal c hasta que corte con la horizontal desde O.
2. Desde ese punto dibuja una vertical
3. Desde la proyección vertical c’ dibuja una horizontal hasta que corte a la recta anterior en la tercera proyección c”

Y así puedes repetir el proceso para los demás puntos del plano.

A continuación lo puedes ver gráficamente.

Observa en el esquema tridimensional cómo tenemos que hacer un giro del plano de perfil para situarlo en paralelo al plano del cuadro (el plano donde dibujamos, que es el plano de proyección vertical).

Al hacer ese cambio de plano y ver la tercera proyección de un Plano de Perfil, estamos consiguiendo ver su verdadera magnitud, lo cual es muy útil para medir ángulos y distancias.

6.4. Plano Proyectante Vertical

Los planos proyectantes son planos de canto, es decir, forman un ángulo de 90º (perpendicular) con alguno de los planos de proyección. Son útiles porque una de sus proyecciones es siempre una recta.

El plano proyectante vertical es perpendicular al plano de proyección vertical.

Las proyecciones verticales de sus puntos coinciden todos en una recta con una dirección aleatoria.

6.5. Plano Proyectante Horizontal

El plano proyectante horizontal es perpendicular al plano de proyección horizontal. Se trata de un plano vertical que forma un ángulo cualquiera con el plano de proyección vertical.

Las proyecciones horizontales de sus puntos coinciden todos en una recta con una dirección aleatoria.

6.6. Plano Proyectante de Perfil

El plano proyectante de perfil es un plano perpendicular al plano de perfil. Se trata de un plano paralelo a la línea de tierra (la recta de intersección entre el plano de proyección horizontal y el vertical)

No es tan fácil de reconocer a simple vista como los anteriores, porque ninguna de sus proyecciones se presenta como una recta, pero sí tiene un par de singularidades:

• Sus rectas horizontales son también sus rectas frontales, dado que ambas proyecciones son paralelas entre sí (perpendiculares a las líneas de referencia)
• Las rectas de máxima pendiente son rectas de perfil

Para trabajar con la tercera proyección tenemos que hacerlo como en ocasiones anteriores, como en el plano de perfil o la recta de perfil.

Debemos dibujar un plano de perfil que nos sirve de auxiliar y una recta horizontal situada entre las proyecciones horizontal y vertical. Marcamos el punto de corte como centro O de los arcos de circunferencia.

Y como puedes observar en el dibujo anterior:

1. La proyección horizontal a se desplaza en horizontal hasta el plano de perfil
2. Desde ahí se traza un arco de circunferencia hasta la recta horizontal
3. Y desde ahí sube en perpendicular
4. La proyección vertical a’ se desplaza también en horizontal hasta cruzarse con la anterior en la tercera proyección del punto a”

6.7. Plano Oblicuo

El plano oblicuo es el más genérico que hay: forma un ángulo cualquiera con cada uno de los planos de proyección.

Se trata sencillamente de cualquier plano que no sea paralelo ni perpendicular a los planos de proyección horizontal, vertical o de perfil. Es decir, cualquier plano que no encaje en ninguna de las 6 categorías antes mencionadas es un plano oblicuo.

7. Resumen de posiciones de planos

A continuación te dejo una imagen en la que se resumen los diferentes tipos de planos en diédrico directo.

8. Diferencias y similitudes con el Diédrico Clásico

Posiblemente una de las mayores diferencias entre el Diédrico Clásico y el Diédrico Directo (o Moderno) se encuentra en el trabajo con planos y su representación.

Representación

A nivel de representación los planos en diédrico clásico son bastante cómodos porque se utilizan las rectas de intersección del plano con los planos de proyección; son las llamadas trazas, nombradas normalmente como P-P’, Q-Q’, etc.

En ese sentido el diédrico clásico es menos intuitivo y menos práctico porque no existe un criterio único de representación, sino que un plano puede venir definido de muchas formas diferentes como hemos visto: por 2 rectas que se cortan, recta y punto, un polígono contenido en él, etc.

Pertenencia

De igual manera, el criterio de las rectas contenidas en planos es también más evidente en el diédrico clásico. En este, una recta está incluida en un plano cuando sus puntos traza están contenidos en las trazas del plano. En cambio, en diédrico directo necesitas comprobar que la recta tiene 2 puntos cualquiera contenidos en alguna otra recta del plano…

Bueno, no es ninguna catástrofe, pero en mi opinión es menos intuitivo.

Pero unas cosas se compensan con otras, porque en realidad sigue ocurriendo lo que mencionábamos en temas anteriores: las trazas son las rectas de intersección de los planos con los de proyección, pero en realidad estos planos de proyección son inventados, ficticios y, en ese sentido, el diédrico directo es más coherente.

Aparte de estos temas relacionados con la representación, en el resto de aspectos realmente importantes sí son prácticamente idénticos ambos sistemas de representación; por ejemplo en las diferentes posiciones de los planos y las rectas notables.

Al final, lo bueno de todo esto es que, cuando entiendes uno de los sistemas, el otro es muy fácil de aprender.

9. Conclusión

Este ha sido un artículo muy extenso y hemos abarcado todo lo relacionado con los planos, desde su representación, hasta las diferentes posiciones de los planos, pasando por sus rectas notables y la pertenencia.

Si has leído hasta aquí y te has estudiado todos los dibujos… ¡ENHORABUENA!

Espero que se te haya quedado más claro el tema de los planos.

Si tienes alguna duda, puedes dejarla en los comentarios.

Y si todo se te ha quedado muy claro, compártelo por las redes sociales o déjalo comentado en la sección de más abajo, porque me anima a seguir trabajando en el blog.

Un saludo

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Entender cómo funcionan y cómo se representan los elementos más básicos (punto, recta, plano) es esencial en Diédrico Directo, pero no deja de ser una herramienta para manejarnos en la 3ª dimensión.

En este artículo vamos a empezar a poner en relación unos elementos con otros y encontraremos los puntos de intersección de rectas con planos.

1. ¿Qué es una intersección en Geometría Descriptiva?

Una intersección es el punto (o conjunto de puntos) que tienen en común dos o más elementos, es decir, son los puntos donde esos elementos se cortan.

Eso significa que el punto (o puntos) de la intersección pertenecen tanto a un elemento como al otro.

En concreto:

• La intersección entre una recta y un plano es un punto
• La intersección entre 2 planos es una recta
• La intersección entre 3 planos es un punto

Aunque esto te parezca muy básico, es esencial tenerlo claro, porque muchas veces nos ponemos a dibujar sin saber cuál es el resultado que tenemos que conseguir.

Tener claro el objetivo antes de empezar a dibujar es clave para el éxito, así que memoriza bien esos principios básicos.

Observa cómo, en el primer caso, el punto de intersección pertenece tanto a la recta como al plano. En el segundo caso, la recta de intersección pertenece tanto a un plano como a otro y en el tercer pertenece a los 3 planos simultáneamente.

Por tanto se tienen que cumplir en ambos casos las reglas de pertenencia que estudiamos en los capítulos de recta y plano.

Por otro lado, es importante señalar que no existe intersección cuando los elementos sean paralelos entre sí.

2. Método General de Intersección Recta – Plano

Ya hemos dicho que la intersección entre una recta y un plano es un punto. Por tanto, cuando empieces a buscar la intersección entre una recta y un plano, debes tener claro que lo que estás buscando es un punto con sus dos proyecciones I=(i’, i).

Teniendo esto presente vamos a empezar con el método general para resolver cualquier una intersección de recta y plano.

En el caso más habitual tendremos que encontrar la intersección entre un plano oblicuo y una recta oblicua. Consideramos un plano P oblicuo definido por un triángulo ABC y una recta R también oblicua. El proceso es el siguiente:

1. Contener la recta R en un plano proyectante Q. Aquí en realidad no tienes que hacer nada, simplemente tener en mente si estás utilizando un plano proyectante vertical u horizontal.
2. Encontrar la recta de intersección S de los planos P y Q. Esto es sencillo. Si por ejemplo consideramos que Q es un plano proyectante horizontal, su proyección horizontal es una recta (que lógicamente coincide con r) y corta a los lados del triángulo en los puntos 1 y 2. Sólo tienes que subir esos puntos 1 y 2 hasta su proyección vertical en los lados del triángulo correspondientes y unirlos para obtener s’. 
3. El punto de intersección de S con R es el punto de intersección I=(i’-i) de R con el plano original P.

¡IMPORTANTE! Presta atención en el 2º paso para asegurarte de que llevas correctamente los puntos hasta el lado adecuado. En el ejemplo anterior, r=Q está cortando al lado AC en 1 y al lado AB en 2; por tanto 1′ estará en a’c’ y 2′ estará en a’b’ respectivamente. Es habitual confundirse de lados.

Para evitar el error común anterior conviene que pongas nombres a los vértices si aún no los tienen porque te facilitará mucho encontrar la concordancia.

Antes de pasar al siguiente apartado me gustaría mostrarte que es indistinto el plano que elijas, siempre que contenga a la recta. Mientras que el ejercicio anterior lo hemos resuelto conteniendo la recta R en un plano Q proyectante horizontal, en el siguiente dibujo puedes ver cómo utilizo un plano proyectante vertical T (T’ coincide con r’) y cómo la solución es la misma.

Observa cómo se obtiene la proyección horizontal de M en el lado AB del triángulo y de N en el lado BC, haciendo corresponder de esta manera ambas proyecciones. Y date cuenta cómo la proyección horizontal m-n pasa exactamente por el punto que habíamos obtenido anteriormente utilizando el plano proyectante horizontal Q como auxiliar.

3. Visibilidad

Un ejercicio de intersecciones no está completamente acabado hasta que no se representan las partes vistas y ocultas.

Cuando un plano está representado mediante un polígono, este se considera opaco y por tanto, una recta cambia su visibilidad al atravesar el plano: esto ocurre en el punto de intersección; a un lado del punto de intersección la recta aparece como vista y al otro como oculta.

Nuestro objetivo es discernir cuál es la parte vista y cuál la oculta.

Las leyes que rigen la visibilidad son las mismas que vimos en el tema de las rectas (ver aquí) y las podríamos aplicar a este caso de la siguiente manera:

• En proyección horizontal: Un tramo de recta es visto cuando tiene mayor cota que el plano
• En proyección vertical: Un tramo de recta es visto cuando tiene mayor alejamiento que el plano

Para mirar esto hay que fijarse concretamente en los puntos donde las proyecciones de la recta cortan al triángulo.

• En proyección horizontal, el punto 1 donde r corta el lado ac del triángulo tiene superpuesto además el punto 3. Debemos mirar la proyección vertical 1′ del triángulo situada en a’c’ y la proyección vertical 3′ de la recta situada en r’. Como puedes observar, el punto 3 (perteneciente a la recta) tiene mayor cota que el punto 1; por tanto, la recta en ese tramo será vista en proyección horizontal.
• En proyección vertical ocurre lo mismo. Observamos los puntos 5 y 6 donde r’ corta al triángulo en el lado AB. El punto 5 contenido en el triángulo tiene mayor alejamiento que 6 (perteneciente a la recta), por lo que el plano será visible en proyección vertical en ese tramo de la izquierda, mientras que la recta aparecerá como oculta.

3.1. Aspectos importantes de la visibilidad

Hay algunos aspectos importantes que merece la pena recalcar:

1. La visibilidad en las rectas no tienen relación entre proyección horizontal y vertical. Fíjate cómo en proyección vertical el tramo oculto de la recta está a la izquierda mientras que en proyección horizontal es el tramo de la derecha. Por eso es importante que realices el ejercicio de visibilidad por separado para cada proyección.
2. La recta siempre es vista por la parte exterior al contorno del polígono, porque no hay nada que la tape.
3. En el punto de intersección cambia la visibilidad de la recta. Aunque ya lo había mencionado, es importante recordarlo, porque solo tienes que reconocer la visibilidad en uno de los lados del punto de intersección, ya que en el tramo opuesto siempre cambia.

A continuación vamos a ver algunos casos particulares de intersecciones entre rectas y planos que son más sencillos que el caso general de rectas y planos oblicuos.

4. Intersección de Rectas con Planos de Canto

Este es un caso particular de intersecciones que resultan bastante más sencillas que el caso genérico.

Por plano de canto se entiende aquel en el que todos sus puntos tienen una proyección (ya sea horizontal o frontal) alineada formando una recta. En esa proyección estás viendo el plano de canto, simplemente como una recta.

En este grupo se encuentran los siguientes tipos:

• Plano horizontal
• Plano frontal
• Plano proyectante horizontal
• Plano proyectante vertical
• Plano de perfil

Veamos el caso del plano horizontal que servirá de ejemplo para los demás.

4.1. Intersección de Recta con Plano Horizontal

El plano horizontal tiene las proyecciones verticales de todos sus puntos alineadas según una recta, la cual es perpendicular a las líneas de referencia.

Por tanto, si hemos dicho que el punto de intersección es un punto contenido en la recta y en el plano, su proyección vertical estará contenida en esa recta.

En consecuencia, lo único que tenemos que hacer es encontrar su proyección horizontal mediante una línea de referencia (¡vaya! en vertical hacia abajo).

Es muuuuuuucho más fácil que en el caso de planos oblicuos.

¿Ves?

La proyección vertical r’ de la recta corta con la P’ del plano y eso nos da directamente la proyección vertical i’ del punto intersección. Así solo tenemos que bajar en perpendicular hasta encontrar su proyección horizontal sobre la r y eso nos daría la proyección horizontal i del punto de intersección.

4.2. Visibilidad

El que una recta esté oculta o vista funciona exactamente igual que en el método general, con la única diferencia de que en los planos de canto se simplifica.

• En la proyección en que el plano se ve de canto, la recta es siempre visible
• Solo tenemos que determinar la visibilidad de la recta en la proyección en que el plano no está de canto

Observa cómo la recta es visible en todo su recorrido en proyección vertical, mientras que para la proyección horizontal rigen las mismas reglas de visibilidad explicadas anteriormente.

4.3. Resumen de Intersecciones con Planos de Canto

A continuación te dejo un dibujo con los 5 tipos de planos de canto que existen, en intersección con diferentes rectas.

Mira cómo encontrar el punto de intersección es inmediato en la proyección en que el plano se ve de canto

5. Intersección de Planos con Rectas Paralelas a los Planos de Proyección

Las intersecciones de planos con rectas paralelas a los planos de proyección son especialmente sencillas, porque, además de poder contenerlas en planos proyectantes (como en las oblicuas) también podemos usar planos horizontales o frontales.

Son rectas paralelas a los planos de proyección:

1. La recta horizontal
2. La recta frontal
3. La recta paralela a ambos planos de proyección
4. La recta vertical
5. La recta de punta

Veamos el ejemplo de la recta horizontal, que servirá nuevamente de ejemplo para las demás.

5.1. Intersección de plano con recta horizontal

Dado un plano definido por un triángulo contenido ABC y una recta horizontal definida por sus proyecciones h’-h, puedes ver la intersección resuelta fácilmente de dos maneras:

• Conteniendo la recta en un plano horizontal P
• Conteniendo la recta en un plano proyectante horizontal Q

Fíjate que el proceso es similar en ambos casos.

En el primero, solo tienes que hacer coincidir la proyección vertical del plano auxiliar horizontal P’ con h’ y encontrar los puntos de intersección 1′ y 2′ con el triángulo. Luego debes bajar rectas en vertical hasta encontrar sus proyecciones horizontales 1 y 2 en sus respectivos lados y la recta de intersección que une 1 con 2 nos determina el punto de intersección i en el punto donde corta con la proyección h.

En el segundo caso hacemos coincidir la proyección horizontal Q del plano proyectante horizontal con h. La intersección de Q con el triángulo nos da los puntos 1 y 2. Al unir sus proyecciones verticales 1′-2′ obtenemos el punto i’ de intersección de la recta con el plano del triángulo.

El resultado es exactamente el mismo en ambos casos.

Puedes comprobarlo por ti mismo.

5.2. Resto de Rectas Paralelas a los Planos de Proyección

A continuación tienes un esquema con el resumen de las intersecciones de un plano oblicuo con las distintas rectas paralelas a los planos de proyección que hemos comentado.

5.3. Rectas de Punta

Merecen una breve mención especial las rectas de punta y rectas verticales.

Estas rectas tienen una de sus proyección como un punto y por tanto el punto de intersección va a estar contenido en ese mismo. Solo hay que encontrar la proyección horizontal de ese punto en la otra proyección y para eso se puede utilizar un plano horizontal o frontal (según el caso) tal como he explicado y ha quedado dibujado.

Por su parte, la visibilidad en estas intersecciones también es singular. Por ejemplo, si miras el dibujo número 5 anterior de la sección 5.2 (Intersección con Recta de Punta) en la proyección en que la recta se ve como de punta no hay que tener en cuenta la visibilidad, porque simplemente es vista.

Sin embargo, en la proyección horizontal tendremos un cambio de visibilidad en el punto de intersección. Observa que la proyección horizontal r de la recta corta a los lados AB y AC. Al mirar en proyección vertical, podemos comprobar que R tiene mayor cota que AB y menor cota que AC por lo que el tramo desde el punto I hasta AB seré visto y el tramo desde I hasta AC será oculto.

En realidad, el razonamiento para resolver la visibilidad en el caso de rectas de punta es el mismo que en el resto, pero por su posición resulta algo singular y prefería dejarlo claro.

6. Intersección de Plano con Recta de Perfil

Las rectas de perfil son un caso particular porque, aunque las contengamos en un plano de perfil, no podemos resolver el ejercicio directamente en las dos proyecciones diédricas habituales sino que necesitamos una tercera vista de perfil.

Para que una recta de perfil R esté completamente definida necesitamos conocer al menos 2 puntos.

En el siguiente ejercicio tenemos que encontrar el punto de interseccion de la recta de perfil R definida por los puntos M y N con el plano oblicuo dado por el triángulo ABC.

Para resolverlo tenemos que utilizar un plano de perfil que coincida exactamente con la recta R.

Dibujamos una recta horizontal que nos sirva de referencia para las alturas (en este caso la he hecho pasar por n’), y una recta vertical a partir de la cual dibujar el perfil.

Debemos llevar uno por uno los puntos que nos interesan:

• Los puntos M y N nos determinan la posición de la recta en el perfil, r”
• Los puntos 1 y 2 nos determinan la recta de intersección del plano de perfil con el triángulo

De esta manera obtenemos dos rectas que se cortan en el punto i” que es la tercera proyección del punto intersección. Solo queda deshacer el cambio de plano de perfil para obtener las proyecciones horizontal y vertical del punto I=(i-i’).

7. Casos Particulares. ¿Qué pasa si…?

Hemos visto hasta ahora los casos habituales de intersecciones.

Vamos a ver algunos casos particulares para que puedas ir con confianza con cualquier ejercicio de intersección recta – plano.

7.1. ¿Qué pasa si… el punto de intersección está fuera del polígono?

Los planos son infinitos y, siempre que la recta y el plano no sean paralelos, existirá un punto de intersección y es indistinto que sea dentro o fuera del polígono.

El hecho de que el punto de intersección no esté dentro del polígono que nos define el plano simplemente implica que no habrá cambio de visibilidad a partir del punto de intersección. La visibilidad se mantiene constante a la altura del polígono, ya sea vista u oculta. Pero por lo demás todo es igual.

En el dibujo anterior puedes ver que he utilizado un plano proyectante vertical para contener a la recta.

También puedes ver que la proyección horizontal de la recta queda oculta detrás del triángulo porque a esa altura, tanto el lado AC como el lado BC tienen mayor cota que la recta.

Sin embargo en proyección vertical es vista en toda su longitud porque en el tramo 1-2 la recta tiene mayor alejamiento que todo el triángulo, es decir, está situada por delante.

7.2. ¿Qué pasa si… la recta no corta ninguna proyección del triángulo?

Tampoco esto es un problema.

Para resolver este ejercicio solo tenemos que proceder como siempre, conteniendo la recta en un plano proyectante Q. Los puntos de corte 1 y 2 vienen dados de prolongar los lados del triángulo, tanto en proyección vertical como en horizontal.

Ten cuidado en este paso al buscar la otra proyección. Es decir, el punto 1′ está contenido en la recta b’c’, por tanto su proyección horizontal tiene que estar en bc. No te confundas de recta al encontrar la segunda proyección.

A partir de ahí solo tenemos que unir las proyecciones horizontales 1-2 y donde esta recta corte a r obtenemos el punto de intersección que buscábamos.

7.3. ¿Qué pasa si… el plano viene definido por 2 rectas que se cortan?

Hasta ahora hemos visto siempre el caso de que nos den definido el plano mediante un polígono, pero si te lo dan definido de cualquier otra manera (por 3 puntos, por 2 rectas paralelas, etc.), la forma de resolverlo es la misma.

Imagina que te dan un plano definido por 2 rectas R y S que se cortan en el punto A. y tenemos que encontrar la intersección de ese plano con la recta T.

Haremos como siempre:

1. Introducimos T en un plano Q proyectante
2. Encontramos los puntos de intersección 1′ y 2′ de Q’ con las rectas r’ y s’ respectivamente
3. Encontramos las proyecciones horizontales 1 y 2 en sus correspondientes proyecciones r y s.
4. Unimos 1 con 2 y en el punto donde corte a t obtenemos i
5. Encontramos su proyección vertical i’ en t’

Es muy fácil, ¿no?

8. Conclusión

Con esto quedaría vista toda la parte de intersecciones entre rectas y planos. Lo he explicado con mucho detalle y exponiendo todo tipo de casos: planos de canto, rectas de punta, rectas de perfil, planos definidos de diferentes maneras.

Aunque el artículo haya sido un poco extenso, en realidad el concepto básico para encontrar la intersección entre una recta y un plano es sencillo. Debes:

1. Contener la recta en un plano Q cómodo (proyectante, horizontal o frontal)
2. Encontrar la recta intersección del plano P dado con Q
3. El punto donde esa recta corta a la R dada es el punto de intersección que buscamos.

En el siguiente artículo de la serie de Diédrico Directo veremos las intersecciones entre planos.

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Y si tienes cualquier duda, déjala en los comentarios.

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Como vimos en el artículo anterior de intersecciones entre recta y plano, la intersección entre 2 planos es una recta y para definir una recta necesitamos 2 puntos.

Por consiguiente eso será lo que buscaremos con cualquiera de los dos métodos generales que te presento a continuación.

1. Método General 1: rectas que intersecan

En este primer método vamos a encontrar la intersección de 2 rectas de un plano con el otro plano, de manera que obtengamos los 2 puntos de la intersección que buscamos.

Dados dos planos definidos por sendos triángulos ABC y DEF, el proceso para encontrar la intersección entre ellos es el siguiente:

1. Encontrar el punto de intersección I1 de la recta AB del primer triángulo con el otro plano DEF
2. Encontrar el punto de intersección I2 de la recta AC del primer triángulo con el otro plano DEF
3. La recta I1-I2 es la recta de intersección de los planos ABC con DEF

Lógicamente el resultado habría sido el mismo si en lugar de encontrar las intersecciones de AB y AC con DEF hubieras utilizado otra combinación cualquiera.

Debes prestar mucha atención en todo este proceso y aislar cada paso para evitar confundirte.

Es decir, cuando estés obteniendo la intersección la intersección de AB con DEF, debes saber que vas a obtener un único punto y debes seguir minuciosamente el proceso de intersección recta – plano que vimos en el artículo anterior:

1. Contener el lado AB en un proyectante vertical
2. Encontrar las intersecciones 1′ y 2′ del lado a’b’ con el triángulo d’e’f’
3. Encontrar las proyecciones horizontales de esos puntos 1 y 2 en los lados del triángulo DEF
4. Unir esas proyecciones horizontales 1 y 2. El punto donde corte a AB es el punto i1.

Después debes repetir este mismo proceso para el otro lado AC, de la misma manera igualmente metódica.

Finalmente, la unión de los puntos i1-i2 es la recta de intersección entre los planos que estábamos buscando.

1.1. Visibilidad

Cuando tenemos los planos definidos mediante polígonos, el tramo de intersección que nos interesa es el común a ambos polígonos, que es el que he remarcado en rojo grueso en el dibujo anterior.

La recta de intersección determina el cambio de visibilidad: toda recta que pasa por la recta de intersección, cambia de vista a oculta justo en el punto donde corta a dicha recta de intersección.

Para comprobar qué tramos de un triángulo son vistos y cuáles ocultos debemos mirar los puntos en que se superponen las proyecciones de los triángulos, es decir, los puntos donde se cortan los triángulos.

Por ejemplo:

• Para comprobar la visibilidad en proyección horizontal podemos mirar los puntos superpuestos M y N, que es donde se cortan los triángulos en proyeccción horizontal.
• Y para comprobar la visibilidad en proyección horizontal podemos mirar los puntos O y P

• Proyección horizontal: El punto N (contenido en el lado DF) tiene mayor cota que el punto M (contenido en AB), por lo que será el lado DF visto en ese tramo en proyección horizontal, a la izquierda de la recta de intersección, mientras que el lado AB será oculto. A partir del punto donde AB corta a la recta de intersección (concretamente en el punto i1) el triángulo ABC se vuelve visible.
• Proyección vertical: El punto P (contenido en el lado BC) tiene mayor alejamiento que el punto O (contenido en EF) y por tanto será visible el lado BC en proyección vertical en ese tramo a la derecha de la recta de intersección. Observa que el triángulo ABC es visible en toda la parte de la derecha hasta que pasa por los puntos i1‘ e i2′. A partir de ahí está oculto. Obviamente a partir de i2′ hacia la izquierda sigue visible mientras no haya superposición de triángulos.

Este tipo de procesos pueden resultar complicados de entender al principio porque son complejos a nivel espacial, así que te recomiendo que los mires con calma y te tomes el tiempo necesario para comprenderlos.

2. Método General 2: planos auxiliares

Este método que te expongo a continuación también es general y nos sirve para cualquier intersección plano – plano.

Se trata de utilizar 2 planos auxiliares y encontrar la intersección de cada uno de ellos con los dos planos dados. Esto nos dará 2 puntos que son los que nos definen la recta de intersección.

Dados dos planos definidos por ejemplo por polígonos ABC y DEFG, el método consiste en:

1. Encontrar la intersección de un plano auxiliar P (horizontal por facilidad) con los dos planos originales.
   1. La intersección de P con ABC da una recta;
   2. la intersección de P con DEFG da otra recta.
   3. El punto donde se cortan esas rectas es ip, punto de corte de los 3 planos.
2. Encontrar la intersección de otro plano auxiliar Q con los planos originales. Siguiendo el mismo proceso que en el paso anterior se obtiene un segundo punto de la intersección iq.
3. La recta ip-iq es la recta de intersección entre los dos planos originales.

Aquí nuevamente debes ser muy meticuloso en el proceso porque es fácil confundirse y tienes que tener claro en qué paso estás en cada momento.

La visibilidad funciona igual que antes: observa con detenimiento los puntos donde se cortan los contornos de los triángulos y comprueba qué lado tiene más cota o alejamiento para mostrar las partes vistas y ocultas.

3. Intersección de Plano Oblicuo con Plano de Canto

Ya hemos visto que la intersección de 2 planos cualesquiera da como resultado una recta y el caso de los planos de canto no es una excepción.

La diferencia es que su resolución es mucho más sencilla, porque resulta inmediata.

Observa en el siguiente ejercicio de intersecciones cómo tenemos un plano oblicuo ABC y un plano proyectante horizontal DEF y cómo simplemente tenemos que encontrar la proyección vertical de los puntos 1 y 2 (puntos donde la recta DEF corta al triángulo ABC) en los lados correspondientes, a’b’ y a’c’ respectivamente.

• La proyección horizontal i de la recta intersección coincide con el plano proyectante horizontal DEF
• La proyección vertical i’ de la recta intersección es la recta 1′-2′.

Para la visibilidad, en la proyección en que el plano se ve como de canto (en el caso anterior la proyección horizontal), ambos triángulos son vistos.

En la proyección en que no se ve como de canto, tenemos que aplicar las reglas habituales:

• Selecciona un punto donde se corten los contornos de los triángulos y que, por tanto, tiene 2 puntos supuerpuestos. En este caso podemos escoger el punto M y N.
• Encuentra la segunda proyección de M y N. En nuestro ejercicio, un punto (M por ejemplo) pertenece al lado AC de un triángulo y el otro punto N pertenece al lado DEF de canto
• El punto con mayor alejamiento (o cota en su caso) será visto y el otro oculto
• La visibilidad cambia en la recta de intersección; justo en esa recta, los planos pasan de vistos a ocultos y viceversa.

4. Intersección de 2 Planos de Canto

La intersección de 2 planos de canto es la más sencilla a nivel de ejecución, porque requiere muy pocas líneas pero en ocasiones requiere un mayor esfuerzo mental, porque te exige imaginarte la situación en 3 dimensiones.

En todo caso, en la mayoría de las ocasiones las rectas de intersección se ven directamente superpuestas a las proyecciones de canto de los planos.

Veamos un par de ejemplos.

4.1. Plano Horizontal con Plano Proyectante Horizontal

En este primer ejercicio tenemos un plano horizontal ABC y un plano proyectante horizontal DEF. Puesto que todos los puntos del plano horizontal tienen su proyección vertical en la recta a’b’c’, la proyección vertical de la recta intersección coincide con esa recta. Y ocurre lo mismo con la proyección horizontal del plano proyectante horizontal.

Por eso, la recta intersección en este primer ejercicio es una recta horizontal coincidente con las proyecciones de canto de los planos.

En cuanto a la visibilidad, cada plano es completamente visto en aquella proyección en que no está de canto. Y cuando están de canto, pues simplemente se ven como una recta.

4.2. Plano Horizontal con Plano Proyectante Vertical

En este segundo ejercicio tenemos un plano horizontal ABC y un plano proyectante vertical DEF. Las proyecciones verticales de ambos planos son rectas y su punto de corte determina la proyección vertical de la recta intersección, que es una recta de punta, lógicamente.

¿Por qué?

Pues porque todos los puntos del plano ABC deben tener su proyección vertical en la recta a’b’c‘ y todos los puntos del plano DEF deben tener su proyección vertical en la recta d’e’f‘. Por tanto, si la recta de intersección es una recta contenida en ambos planos, debe tener las proyecciones verticales de todos sus puntos en la intersección de a’b’c‘ con d’e’f‘.

Si no eres capaz de verlo en el dibujo razonado de esa manera, debes imaginártelo en el espacio, tal como yo te lo he dibujado en el esquema.

La visibilidad en este caso es un poco más elaborada que en el anterior, pero simplemente se rige por los patrones de visibilidad de siempre.

He seleccionado en este caso los puntos M y N cuyas proyecciones horizontales están superpuestas. El punto M pertenece al plano ABC y tiene mayor cota que N. por lo que ese triángulo será visto a la izquierda de la recta de intersección, mientras que estará oculto a la derecha, siempre que esté tapado por el plano DEF

4. Intersección de 3 Planos

Como ya vimos en el artículo de intersecciones, la intersección de 2 planos es una recta y la intersección de 3 planos es un punto.

Para encontrar el punto de intersección entre 3 planos tal como se muestra en el último esquema del dibujo anterior, simplemente tendríamos que encontrar las rectas de intersección de los planos de dos en dos.

Es decir, si tenemos 3 planos P, Q y T, la intersección de P con Q es una recta que podemos llamar Ipq, mientras que la intersección de P con T es otra recta que podemos llamar Ipt. Ambas rectas (Ipq – Ipt) se cortan en el punto I de intersección de los tres planos.

En realidad es algo que ya hemos hecho en el apartado 2 de este artículo, cuando hemos utilizado un plano auxiliar para encontrar la intersección de dos planos. En ese caso hemos tenido que hallar el punto de intersección de los dos planos dados con ese plano auxiliar.

Vamos a verlo en otro ejemplo.

Si tenemos tres planos ABC, DEF y el plano P proyectante horizontal como en el ejercicio presentado aquí, solo tenemos que:

1. Encontrar la recta intersección I1 de P con el plano ABC
2. Encontrar la recta intersección I2 de P con el plano DEF
3. El punto donde se encuentran i1′ con i2′ es el punto de intersección de los 3 planos. Encuentra su proyección horizontal en P

Es sencillo, ¿no?

Si en lugar de tener un plano proyectante fueran los 3 planos oblicuos, sería un poco más complicado en cuanto a líneas trazadas, pero el proceso es el mismo, y eso es lo que tú tienes que tener claro en mente antes de empezar a dibujar.

5. Casos particulares ¿Qué pasa si…?

Veamos algunos casos muy habituales.

5.1. ¿Qué pasa si… la recta intersección no corta los polígonos?

No pasa nada.

Los polígonos que definen un plano simplemente delimitan una porción del mismo.

Sin embargo los planos son infinitos, no tienen límites y, por tanto, la recta de intersección puede ser secante al polígono o quedar completamente fuera como en el siguiente caso.

El proceso que hay que aplicar en estos casos es exactamente el mismo que siempre. La única singularidad es que deberás (en ocasiones) prolongar los lados de los triángulos para encontrar las intersecciones, pero esto no es problema porque las rectas son infinitas.

Veamos el proceso para resolver el ejercicio anterior.

1. Encontrar la intersección i1-i1′ del lado AC con el plano DEF. Observa que al prolongar el lado AC no corta directamente el triángulo, por lo que se hace necesario prolongar sus lados. Fíjate que el punto 1-1′ es la intersección del plano proyectante que contiene a AC con el lado EF (prolongad) y que el punto 2-2′ es la intersección de ese mismo plano con el lado DF.
2. Encontrar la intersección i2-i2′ del lado BC con el plano DEF. Igualmente hay que prolongar los lados del triángulo DEF para encontrar las intersecciones.
3. La unión de i1 con i2 es la recta intersección, común a ambos planos.

5.2. ¿Qué pasa si… los planos no vienen definidos por polígonos?

Pues al igual que pasaba con las intersecciones entre rectas y planos, no importa si estos últimos vienen definidos por polígonos, rectas que se cortan, rectas paralelas o de cualquier otra manera.

Al fin y al cabo, lo que nosotros necesitamos son rectas pertenecientes a los planos y para eso nos da igual cómo nos las den.

Fíjate en el siguiente ejercicio en el que tenemos 2 planos P y Q definidos por sendos pares de rectas R-S y T-U.

Para resolver el ejercicio he seguido el mismo proceso que en casos anteriores:

• He encontrado la intersección i1-i1′ de la recta R con el plano formado por las rectas T-U, haciendo que R esté contenida en un plano horizontal
• Y por otro lado he encontrado la intersección i2-i2′ de la recta R con el mismo plano T-U, conteniendo S en un plano frontal
• La recta que une i1 con i2 es la recta i’-i intersección de los dos planos.

Con esto quedaría visto toda la teoría sobre intersecciones de planos. Vamos a ver ahora algunas aplicaciones prácticas.

6. Utilidades y Aplicaciones

Cuando pienso en aplicaciones del Diédrico Directo a la vida real siempre me vienen a la mente los exámenes de selectividad o PAU del País Vasco. Allí suelen ser muy prácticos y buscan que el ejercicio tenga una cierto toque de realismo.

Aquí tienes un ejemplo de la Prueba de Acceso a la Universidad de Junio de 2015. Este es el enunciado y aparte de eso te daban los dos planos definidos en diédrico directo. Puedes descargar el examen completo aquí.

Aunque el tema de los ángulos aún no lo hemos visto (ver ángulos en Diédrico Clásico) y las verdaderas magnitudes tampoco (ver abatimientos en Diédrico Clásico), sí puedes comprobar que es una aplicación real de las intersecciones de planos. Se trata de una rampa que sirve para transportar paquetes en un almacen y hay que encontrar la posición de esos vértices C y D, que son la intersección de dos planos, el plano de la rampa y el plano de la pared.

Como ves, en la vida real el diédrico directo puede ser de utilidad.

Por otro lado, como sabes, soy arquitecto y me encanta la arquitectura, sobre todo la contemporánea. Así que me viene a la cabeza un edificio muy facetado en el que claramente se ven las intersecciones entre planos con distintas inclinaciones.

Se trata del edificio de la Casa da Musica de Oporto, del estudio de arquitectura OMA, uno de mis preferidos.

(Imagen de Philippe Ruault)

Aunque este no sea el edificio que más me apasione de ellos, te recomiendo que eches un vistazo a toda la galería de imágenes porque hay detalles muy bonitos y porque puedes encontrar intersecciones de todo tipo (planos horizontales, oblicuos, verticales…) y en todos los lugares; a mí me gusta especialmente la terraza de acabado a cuadros blancos y negros.

Espero que te haya gustado el artículo y sobre todo que te resulte útil. Si tienes cualquier duda, siempre puedes dejarla más abajo, en la sección de comentarios.

Y si compartes el artículo, me estarás ayudando a que continúe publicando en el blog.

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El paralelismo es una cualidad que comparten dos elementos y que resulta muy útil en sistema diédrico para resolver ejercicios, tanto en diédrico directo como en el clásico (ver paralelismo en diédrico clásico).

Se dice que dos elementos (rectas o planos) son paralelos entre sí cuando mantienen la distancia entre ellos constante en toda su extensión y, por tanto, no llegan a tocarse nunca (salvo en el punto teórico del infinito).

1. Las 4 afirmaciones básicas del Paralelismo (que debes memorizar)

El paralelismo funciona por las siguientes 4 afirmaciones y en realidad esto es lo único que tienes que estudiar.

1. Recta – Recta: Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones son paralelas
2. Recta – Plano: Una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta del plano
3. Plano – Recta: Un plano P es paralelo a una recta R cuando contiene una recta S paralela a R
4. Plano – Plano: Un plano es paralelo a otro cuando contiene dos rectas paralelas al mismo

Si quieres quedarte con algo, quédate simplemente con eso.

El resto del artículo será desarrollar estos aspectos.

2. Paralelismo entre rectas

Dos rectas son paralelas cuando sus proyecciones son paralelas

De lo anterior se deduce que el paralelismo entre rectas se ve directamente. Una recta R (r’-r) es paralela a otra S (s’-s) cuando ocurre que:

• r’ es paralela a s’ y
• r es paralela a s

Es necesario que se cumplan las dos condiciones, es decir, que las proyecciones verticales sean paralelas entre sí y las proyecciones horizontales también lo sean.

Por tanto, sabiendo esto es muy fácil dibujar una recta S (s’-s) paralela a otra dada R (r’-r) por un punto A (a’-a) dado. Solo hay que dibujar su proyección vertical s’ paralela a r’ pasando por a’ y su proyección horizontal s paralela a r pasando por a.

El único caso singular sería el de las rectas de perfil, porque habría que mirarlas desde el perfil para comprobar el paralelismo.

Fíjate que solo tienes que llevarte al plano de perfil la recta R y el punto A, consiguiendo así r” y a”. Y en esa vista de perfil debes pasar s” paralela a r” por a”.

Puedes completar el ejercicio dibujando las proyecciones horizontal y vertical de la recta S pasando por a-a’ y añadir un punto B cualquiera de la recta desde el perfil para que quede completamente definida en sus dos proyecciones diédricas.

3. Recta paralela a plano

Una recta es paralela a un plano cuando es paralela a una recta del plano

Teniendo en cuenta la afirmación anterior, para saber si una recta es paralela a un plano solo tenemos que comprobar si el plano es capaz de contener una recta paralela a ella.

Por ejemplo, si nos dan un punto M y un plano (definido por el triángulo ABC como en el caso siguiente o de cualquier otra manera) y nos piden dibujar una recta paralela al plano por el punto, solo tenemos que tomar una recta cualquiera del plano (puede ser una recta R genérica o podría ser también la recta AB, AC o BC) y dibujar una recta S paralela a ella por el punto.

Pero como puedes ver, hay infinitas soluciones, tantas como rectas contenidas en el plano dado.

También se nos puede plantear el ejercicio a la inversa.

Puede ser que nos den el plano ABC y la recta S y nos pregunten si esta recta es paralela al plano.

En ese caso podríamos dibujar una proyección horizontal r paralela a s que corte los lados del triángulo en dos puntos. Después deberíamos encontrar las proyecciones verticales de esos dos puntos en los lados del triángulo y por último tendríamos que comprobar si la proyección vertical r’ de la recta que obtenemos es paralela a s’.

Se trataría del mismo ejercicio pero planteado al revés.

4. Plano paralelo a recta

Un plano P es paralelo a una recta R cuando contiene una recta S paralela a R

En realidad, el razonamiento para este caso de paralelismo Plano – Recta es exactamente el mismo que para Recta – Plano, así que el mismo dibujo del apartado anterior sería valido.

Pero puesto que se nos pueden presentar algunos ejercicios un poquito más complejos, vamos a ver aquí algunos de los más comunes.

Ejercicio 1

Dada la recta R y el punto A, se pide dibujar el plano que contenga al punto y sea paralelo a R.

Para resolver este ejercicio simplemente tienes que pasar una recta S paralela a R por el punto A y con eso ya te garantizas que el plano será paralelo a R. A partir de ahí puedes dibujar una recta T cualquiera que pase por A para acabar de definir el plano.

Como ves, hay infinitos planos que, pasando por A, son paralelos a R. Solo tienes que modificar la recta T para conseguir un nuevo plano solución.

Ejercicio 2

Dadas las rectas R y S y el punto A se pide dibujar un plano paralelo a ambas rectas por el punto.

El razonamiento para resolverlo sería el siguiente:

• Si el plano tiene que ser paralelo a la recta R, entonces debe contener una recta T paralela a R, así que hay que dibujar una proyección vertical t’ paralela a r’ por a’ y una proyección horizontal t paralela a r por a.
• Si por otro lado el plano tiene que ser paralelo a la recta S, entonces debe contener una recta U paralela a S, y esta recta U debe pasar por A.

El plano definido por las rectas T y U que se cortan en A es el plano que buscamos, paralelo a R y S. Como ves, en este caso se trata de solución única.

Ejercicio 3

Dadas las rectas R y S se pide dibujar un plano que contenga a R y sea paralelo a S

Para que esté contenida la recta R en el plano de la solución solo tenemos que escoger un punto A cualquiera de la recta y hacer pasar por él una recta T que sea paralela a S. De esta manera, R y T forman un plano que es paralelo a S.

Como ves, son todos ejercicios similares pero que puedes encontrarte en medio de un problema más complejo y es fácil, en ocasiones, perder la perspectiva.

Como siempre, solo debes mantener la calma, saber qué es lo que buscas y con qué datos cuentas.

Y a partir de ahí, imaginarte la solución en el espacio para después resolver el ejercicio aplicando las herramientas del diédrico directo.

5. Plano paralelo a plano

Un plano es paralelo a otro cuando contiene dos rectas paralelas al mismo

Si queremos saber si dos planos son paralelos, necesitamos comprobar que pueden contener dos pares de rectas paralelas entre sí.

Por ejemplo, si nos dan el ejercicio siguiente en el que tenemos que dibujar por el punto B un plano paralelo al definido por la recta R y el punto A, necesitamos dibujar otra recta del plano.

En este caso he utilizado una recta S horizontal, que corta a la recta R en 1′-1 y eso me permite obtener tanto su proyección vertical como la horizontal. Ahora que tenemos las dos rectas R y S del plano origintal, ya podemos dibujar dos rectas paralelas T y U por el punto B.

Lógicamente en este caso solo hay una solución posible.

6. Conclusión

El paralelismo es una cualidad de rectas y planos que utilizaremos mucho para resolver ejercicios tridimensionales con poliedros, pirámides, etc.

Si consigues memorizar e interiorizar las 4 afirmaciones del principio del artículo, prácticamente se puede decir que conoces todo lo necesario del paralelismo para resolver problemas de diédrico. Solo te faltaría ser capaz de aplicarlo, pero espero que con lo que has visto en el resto del artículo te resulte sencillo.

De todas formas, lo iremos aplicando de manera habitual en los siguientes artículos de la serie.

7. El paralelismo del día a día

Las calles suelen tener aceras y fachadas paralelas.

Las paredes de las habitaciones suelen ser paralelas.

Incluso el suelo y el techo suelen ser dos planos paralelos.

Los bordes de la mesa, los cantos de un lápiz, el lomo de un libro, las vías del tren, los marcos de las puertas, la funda del portátil, la colchoneta de yoga…

Paralelismo por todos lados.

Paralelismo que ordena, que estructura la mente humana, que da ritmo y nos acerca al infinito.

El Museo Romano de Mérida, del arquitecto Rafael Moneo, es un gran ejemplo del uso del paralelismo en planos, aristas y llagueado del ladrillo para estructurar el espacio de una manera armónica y bella.

Museo Romano de Mérida. Arquitecto Rafael Moneo. [Imagen: Usuario de Flickr: Fernando Carrasco – Plataformaarquitectura.cl]

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Con cualquiera de estas dos opciones me estarás ayudando a que siga trabajando en el blog, así que GRACIAS

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Este es el artículo número 100 en 10endibujo.

Y para celebrarlo te presento 100 cosas sobre mí, de manera que puedas conocerme un poco mejor – no solo hay dibujo técnico en mi vida

Están ordenadas por temáticas para que te resulte más sencillo filtrar aquello que te pueda interesar. Espero tu comentario al final del artículo, para ver qué tenemos en común

Viajes y el Extranjero

1. Me encantan los hostales. Eso de compartir habitación con 6, 8 o 10 personas, desayunar con gente de todo el mundo y conocer personas que llevan semanas o meses viajando es algo que disfruto muchísimo.

2. He sido huésped y anfitrión en Couchsurfing. Huésped en Zurich y en Wuppertal (Alemania). Anfitrión de 2 chicos rusos en Barcelona. Mi anfitrión en Wuppertal me llevó gratis a la premiere de Wiesenland, una espectacular obra de danza contemporánea de Pina Bausch.

Wiesenland – Pina Bausch

3. Siento una constante tensión entre viajar y quedarme. Disfruto la rutina, estar con la familia y me gusta mi trabajo, pero a la vez soy muy inquieto y mi mente siempre está pensando en irse de viaje.

4. Me entusiasma volar en avión. Me ilusiono como un niño pequeño cada vez que me subo en un avión. Viajar a otro lugar distinto, estar con gente de diferentes culturas, cada uno con su historia personal… todo eso me encanta; es algo difícil de explicar.

5. He vivido en 7 ciudades (Jaén, Granada, Madrid, Ámsterdam, Basilea, Sabadell y Barcelona) y he viajado a 17 países (Dinamarca, Estados Unidos, Inglaterra, Holanda, Suiza, Alemania, Francia, Argentina, Chile, Polonia, Estonia, Letonia, Lituania, Tailandia, Grecia, Bulgaria y Noruega)

Viviendo en Ámsterdam en 2010: coincidió con la final de la copa del mundo España-Holanda

6. En 2011 descubrí una nueva forma de viajar para mí. Eso de viajar con amigos, cambiando cada 2 o 3 días de ciudad, viajando relativamente barato fue para mí muy revelador y distaba mucho del tipo de viajes más «estables» que solía hacer hasta entonces. Recuerdo con mucho cariño aquel road trip con 3 amigos por Polonia y los países bálticos.

7. Estoy enamorado de Basilea. Viví allí 2 años (2012-2014). Desde entonces ya he vuelto una vez y siempre tengo ganas de volver.

8. He subido a un volcán activo. Fue al volcán Villarrica, en Pucón (Chile). Era verano y aun así estaba nevado. Yo subí en febrero 2019 y la última erupción importante fue en marzo 2015.

Volcán Villarrica – Pucón (Chile), febrero 2019

9. Soy mochilero con maleta. Es un nuevo modelo de viajero Llevo el estilo mochilero de viajar barato y ligero de equipaje, pero voy con maleta, que es mucho más cómoda de llevar.

10. No viajo para desconectar, sino para reconectar. No siento la necesidad de irme para romper con la rutina o salir de mi entorno, sino más bien para conectar conmigo, con el ritmo de los días, con otras personas y con otras culturas.

11. En el vuelo de Madrid a Buenos Aires vi 6 películas. Y lo disfruté mucho.

12. He visto amanecer bañándome en unas termas a 3.500 metros de altura, en medio de los Andes, a cielo descubierto. Nos levantamos a las 4 de la mañana para ir y llegamos en medio de la noche con ese escarabajo que ves en la imagen, un coche literalmente de película.

Idiomas

13. Debo tener un don especial para los idiomas. Puedo hablar inglés, alemán y catalán bastante fluido. Más que un don, pienso que es interés y curiosidad. De hecho considero el dibujo técnico como un idioma.

14. Aprendí alemán en 6 meses. Estudié 4 meses teoría de manera autodidacta y luego estuve 1 mes y medio viajando por Alemania para soltar la lengua. Quería asegurarme un trabajo en Alemania o Suiza y lo conseguí.

15. Aprendí holandés después del trabajo. Mientras trabajaba en Holanda dediqué 1 hora cada día después del trabajo a estudiar holandés. Después de 6 meses trabajando como arquitecto becario me manejaba bastante bien en el idioma.

16. Siempre voy aprendiendo idiomas nuevos. Cuando viajo o tengo contacto con extranjeros, me gusta aprender cosas del idioma. Por eso puedo chapurrear palabras de ruso, griego, polaco… No sé, lo de los idiomas es algo que me fascina.

En el Estadio Olímpico de Atenas (Grecia) – Siempre me dicen que parece que me voy a llevar la bolsa de la señora

Vida Personal

17. Nací en julio de 1982. Soy de horóscopo leo, aunque por lo que he sabido después, soy un leo atípico. Por algún extraño motivo siempre me sentí orgulloso de haber nacido en el año en que se celebró el mundial de fútbol en España, con su mascota Naranjito.

18. Pasé la infancia tirado en la calle jugando a todo. La calle no tenía tráfico y la usábamos como pista de tenis, fútbol, ciclismo, voleibol, béisbol, para jugar a las chapas, al bote, al escondite…

19. Nunca he tenido coche, a pesar de que puedo conducir desde los 18 años. Solo me compré una bici cuando viví en Ámsterdam y Basilea.

20. De niño, me encantaba ir a jugar a casa de mi amigo al Alex Kidd. Echábamos horas y horas allí (ahora que he visto el vídeo, reconozco que no lo recordaba tan antiguo)

21. Soy de gustos cambiantes. Por eso no le veo mucho sentido a comprarme una casa y estabilizarme en un sitio. Sé que probablemente en poco tiempo me apetecerá cambiar.

22. Cuando viví en el extranjero, eché de menos. Ahora valoro muchísimo los días de sol, la buena temperatura, el tapeo, el quedar habitualmente con mis hermanos, con la familia, con mis amigos…

23. Desde hace 1 año y medio vivo en casa de mis padres; ahora el cuerpo me pide rock’n’roll Había echado de menos Jaén, pero ahora está empezando a entrarme nuevamente el picorsito de irme fuera, a viajar largo plazo o quedarme un tiempo por ahí.

24. Siento que estamos juntos en esto. Siento dentro de mí que los humanos estamos juntos en esto, en esto de la vida, en esto de avanzar, de crecer, de evolucionar. No solo a nivel económico o de conocimientos, sino de consciencia de los demás, de respeto, de apoyarnos.

25. No tengo tobillos, tengo tobos. Esto me lo dicen mis amigos. Tengo unos buenos cimientos: unos buenos gemelos y muslos. Creo que en la siguiente foto se ven bien.

Antes de un partido de padel

26. Soy muy fan de dormir la siesta. En los últimos tiempos acostumbro a dormir un cuarto de hora. Si no duermo la siesta, me falta algo.

27. Tengo menos memoria que una sardina. Se me olvidan muchas cosas de mi vida personal. Con cosas del trabajo no tengo problema, no se me suele olvidar nada. Algunos lo llaman memoria selectiva. Tampoco me preocupa demasiado; si es así, pues es lo que hay.

28. No me gusta nada ir de compras. Soy muy básico para vestir y no necesito grandes cosas. Mi sensación es que salir a comprar es perder el tiempo y malgastar el dinero, así que cuando lo hago es porque realmente lo necesito.

29. Me gusta regalar libros. Cuando he leído un libro que me ha marcado de alguna manera, me gusta regalar eso a otra persona que es importante para mí.

30. A veces me compro el calzado pequeño. Me cuesta mucho trabajo decidir qué número me tengo que comprar, nunca sé si me están demasiado ajustados o demasiado holgueros.

31. Me encantan los gatos. Los veo como animales respetuosos, autónomos y poco invasivos. En cambio no me imagino teniendo un perro: los veo demasiado dependientes.

Personalidad

32. Soy eneatipo 6, fóbico y subtipo social, con todo lo que ello conlleva. Si no conoces el eneagrama, yo lo recomiendo como herramienta de autoconocimiento.

33. No soy nada conformista. Lo bueno de eso es que siempre tengo inquietudes y busco progresar. Lo malo es que raramente me quedo tranquilo con lo que tengo. Aun así, me gusta buscar el equilibrio y disfrutarlo.

34. Soy más práctico que perfeccionista. Mi lema es «si funciona, palante«. Soy más de pensar que el 20% del esfuerzo da el 80% de resultados y a partir de ahí, supone mucho trabajo conseguir pocos avances. No obstante, reconozco que cada vez me estoy volviendo más cuidadoso, especialmente en el trabajo.

35. Soy muy disciplinado. Ya he comentado que aprendí alemán de manera autodidacta. Otro ejemplo es que trabajo desde casa y no tengo problemas para engancharme a trabajar cada día o echar las horas que haga falta.

36. Me considero una personal fiel, leal y respetuosa con el espacio de los demás. A veces sé que en exceso. Cuando conozco a alguien nuevo, me lleva mi tiempo entrar en confianza.

37. Cuando estoy en confianza, puedo convertirme fácilmente en el payasete del grupo. No me importa ponerme un poco en ridículo cuando el objetivo es que mis amigos o familia se sientan cómodos y se rían.

38. Tengo algo de exhibicionista. Si no, ¿qué hago aquí publicando 100 cosas sobre mí, publicando fotografías mías y vídeos? Como ves, no me refiero a exhibicionista del cuerpo, pero sí a no pasar del todo inadvertido, aunque siempre de una manera discreta (por contradictorio que pueda sonar).

«Exhibiendo» mis destrezas acrobáticas en un ferry por las islas griegas

39. Soy poco materialista. Me gusta ser capaz de vivir con poco. Prefiero lo vivencial, lo experiencial y lo intelectual a lo material.

40. Soy muy kinestésico. Aunque es verdad que para muchas cosas soy muy mental, en realidad es cuando entro en contacto con mi cuerpo cuando mejores experiencias obtengo. El deporte, bailar, tocar, abrazar, sentir, respirar profundamente… son cosas que me van muy bien.

Salud

41. En 2018 perdí 18 kilos. Estaba en 92 kg y aunque no me veía gordo, ahora me siento mucho mejor. Fue una combinación de cambios en la alimentación y deporte.

42. Pienso que la clave para perder peso está en la mente. Es necesario modificar los hábitos de alimentación y preferir comer sano. Ahora disfruto a diario de yogures 0,0%, ensaladas y zumos de tomate y solo ocasionalmente de hamburguesas y tartas de chocolate.

43. Me encanta cenar piña. Este es uno de mis nuevos hábitos favoritos. Unas rodajas de piña, una tortilla y un yogur 0,0% es posiblemente la cena perfecta que suelo hacer una o dos de veces en semana.

44. Me siguen perdiendo las galletas de chocolate. Es cierto que tengo todos los hábitos de alimentación bien instaurados, pero el comer un poco de chocolate o galletas por la noche es algo que no puedo remediar.

45. «Mantente activo cada día». Este es uno de los mejores consejos que he escuchado. Si te mantienes activo cada día, por poco que sea, reconocerás los beneficios, lo convertirás en hábito y cada vez querrás más.

46. El agua tiene algo de terapéutico para mí. Puedo pasar horas en la piscina o en el mar. Considero una bendición el poder ir a la piscina del gimnasio, especialmente si después voy a la sauna. Todo eso del agua como tratamiento terapéutico para cuerpo y alma me sienta genial.

47. Mi punto débil son las lumbares. Cada cierto tiempo me da una lumbalgia que me deja clavado en el sitio. Y en general siempre es una zona sensible para mí.

48. Desde que soy autónomo las molestias físicas han cambiado de emplazamiento. Ahora, cuando me dan, son las cervicales, el hombro derecho y las piernas.

Aficiones y Deporte

49. Cambio a menudo de afición. He practicado con regularidad fútbol, natación, danza contemporánea, hatha yoga, ashtanga yoga, padel y spinning. Ahora me está empezando a llamar mucho la atención el surf, el contact improvisación y el acroyoga.

Acroyoga en un hostal de Bariloche (Argentina)

50. Las lesiones me van limitando los deportes. Por si fuera poco mis cambios de gustos, las lesiones van haciendo que cambie aún más rápido de un deporte a otro. Dejé la natación por una tendinitis crónica en el hombro. Dejé la danza por unas molestias en el pie. Estoy dejando el padel por una rotura de fibras en el gemelo.

51. He patrocinado un equipo de padel. Este año surgió la posibilidad de patrocinar el equipo al que pertenecía y lo hice con 10endibujo. Somos el equipo 10endibujo Santagadea Sport La Victoria. Mira nuestras equipaciones.

Equipo de padel 10endibujo Santagadea Sport La Victoria

52. Estirar me va genial. Aprendí a disfrutar de los estiramientos mientras hacía Ashtanga Yoga en Barcelona. Me va estupendamente para cuerpo y mente y la verdad es que cada vez estoy más elástico.

53. El mejor taller que he hecho es de Contact Improvisación. Fue en Sevilla, con Marion Sparber. Es una combinación entre danza, acrobacias y trabajo de dúo que mola mucho.

54. Puedo hacer el pino con la cabeza. Es lo que se conoce como head stand en inglés. Por cierto, Adriene (la chica de ese enlace) es genial para aprender yoga.

55. He actuado en teatros en Barcelona. En 2015 participé en un programa muy bonito llamado Ciutats en Dansa organizado por Álvaro de la Peña. En el vídeo puedes verme moviéndome y hablando (en este minuto) de cosas distintas del dibujo técnico y la arquitectura.

Familia y Amigos

56. En mi familia somos 4 hermanos, yo soy el segundo. Ser tantos siempre ha sido muy divertido. Soy el único que queda soltero. Por el momento tengo 4 sobrinos.

57. Jugábamos horas al parchís. Cuando éramos pequeños jugaba con mi hermoanos al parchís durante horas en una toalla de playa. Llegamos a jugar hasta con 14 fichas cada uno (sí, catorce). Tuvimos que fabricarnos nuestras propias fichas con chapas de botella rellenas de ceras de colores.

58. Con mi hermano ahora nos hemos aficionado a los juegos de mesa. Hace unos días participamos en un torneo de Catán. Tenemos junto con mi cuñada un grupo de whatsapp que se llama Jueves Gamers.

59. Soy una persona muy familiar, en muchas ocasiones más de lo que me gustaría. Me gustaría ser más independiente, pero es lo que hay.

60. Me encanta revisitar amigos. Disfruto yendo a ver a los amigos que he dejado en las ciudades en las que he vivido o a aquellos que se han ido a vivir a otros sitios.

61. Aprendí la tradición francesa de cenar vino y queso con un amigo francés y es algo que disfruto haciendo con amigos. Es una excelente manera de conversar tranquilamente.

62. He introducido a mi sobrina el gusto por las acrobacias. Por algún motivo me siento orgulloso de ello, además de que me gusta verla progresar y compartir ratos con ella haciendo el mono.

Arquitectura

63. Me encanta la arquitectura contemporánea. La clásica también, pero tiene que ser muy buena para que la disfrute.

64. Disfruto visitando edificios singulares, tanto si voy a buscarlos a conciencia como si me los encuentro casualmente visitando una ciudad. Este ejemplo de Ciudad Abierta en Chile fue espectacular, especialmente su cementerio, algo increíble.

Visitando la Ciudad Abierta en Chile

65. Me fascina el diseño escandinavo. Especialmente de Dinamarca. Me encanta el hygge (que es casi como una forma de decorar), su nueva arquitectura abanderada por Bjarke Ingels, sus diseños…

66. Hice el Máster de Vivienda Colectiva en la Universidad Politécnica de Madrid, y pude conocer y trabajar con arquitectos de reconocido prestigio internacional como Felix Claus, Juan Herreros, Alejandro Aravena, Josep Llinás. Fue una experiencia genial.

67. Estudié arquitectura en Granada y desde entonces tengo una relación de amor-odio con la ciudad.

68. En 4º curso de la carrera hicimos un intercambio con Dinamarca. Estudiantes de arquitectura daneses vinieron a nuestras casas y nosotros fuimos a las suyas. Fue 1 semana de intercambio en el que hicimos un par de talleres y visitamos las respectivas ciudades. Fue muy enriquecedor.

69. Acabé la carrera a curso por año. En arquitectura se me dieron especialmente bien las asignaturas técnicas (estructuras, matemáticas, geometría) y menos bien las asignaturas creativas (proyectos, urbanística).

70. Considero que los workshops son muy beneficiosos. En los talleres de trabajo breves (de 2 días o 5 días) se obtienen grandes resultados en muy poco tiempo. La limitación de tiempo y el trabajo en equipo sacan lo mejor de cada uno.

Trabajo

71. Nunca he aguantado más de 2 años en ninguna empresa de las que he trabajado. Mi experiencia profesional acumulada más larga es la actual, siendo mi propio jefe.

72. Nunca me vi montando mi propio estudio de arquitectura. Por algún motivo veo ahí demasiadas responsabilidades, demasiado estar atado a un sitio, demasiado dinero ajeno en juego, demasiada materialidad construida, demasiadas cosas oscuras para mí en ese mundillo de la construcción.

73. El trabajo que más disfruté como empleado fue en SeARCH (en Ámsterdam). El ambiente de trabajo, el local, la manera de organizar las comidas, la cocina, los partidillos de futbolín, la creatividad en cada proyecto… todo era fantástico.

Trabajando en el estudio de arquitectura SeARCH en Ámsterdam (Holanda)

74. En mi primer trabajo como arquitecto duré 2 semanas. Trabajar como empleado pero dado de alta de autónomo, cobrar 1.300 euros/mes brutos para vivir en Madrid (teniendo que pagar autónomos) y trabajar hasta las 2 de la madrugada para acabar un proyecto no eran mi ideal de vida.

75. Nunca me gustó trabajar como empleado en oficina. Me sentía encerrado, sin libertad. Desde muy pronto empecé a buscar alternativas.

76. He dejado 3 trabajos estables en tiempos de crisis. El primero en 2008 y el último en 2014. Siempre los dejé sin tener otro trabajo asegurado y sin tener claro qué quería hacer después.

77. Estoy orgulloso de haber desarrollado el Zuidas Kiosk. Fue con SeARCH, un pequeño quiosco para vender kebabs en Amsterdam. Estoy orgulloso del resultado, de los dibujos, de las maquetas que construimos e incluso de las fotos que hice.

Zuidas Kiosk – SeARCH – Amsterdam

78. A los 29 años me tomé unos meses sabáticos. Fue en 2011 cuando dejé el trabajo en Holanda; fue cuando empecé a estudiar alemán, me enganché a la lectura, me fui de viaje con amigos, me inicié en la danza contemporánea. Fueron unos 10 meses muy productivos a nivel personal.

79. Trabajar 3 días a la semana me sienta muy bien. Cuando trabajé en Suiza en NW pedí reducción de jornada al 60% para hacer una formación de danza contemporánea y movimiento. Fueron súper-amables concediéndomela.

Emprendimiento y Finanzas

80. Conocer la idea de los ingresos pasivos a través de este post me cambió literalmente la vida. Nunca había oído hablar de los negocios por internet y en solo 2 semanas ya había comprado el dominio 10endibujo.com.

81. Estoy muy satisfecho trabajando en los negocios online. El principal inconveniente es que se trata de un trabajo muy solitario, pero por lo demás está genial; me encanta la libertad en los ritmos de trabajo, el tener que ser creativo constantemente, la posibilidad de ir cambiando de actividad… todo encaja muy bien conmigo.

82. He probado 6 tipos de negocios por internet. Dejé explicada mi trayectoria con detalle en este post.

83. Creé un curso sobre páginas nicho, para ayudar a otra gente a montar el mismo tipo de negocio que mejor me ha funcionado a mí.

84. Este blog de 10endibujo ha llegado a tener casi 70.000 visitas en un mes. Como ves en la gráfica, costó que empezara a arrancar, pero el crecimiento es muy natural. Es un tráfico variable (muy estacional) pero estable. Estoy orgulloso de lo que estoy montando con 10endibujo.

85. Tengo dinero metido en fondos de inversión, según esta estrategia y hasta el momento estoy muy satisfecho con la decisión. Por ahora me parece mejor inversión que la de comprarme una casa, un coche o un terreno.

86. Pienso que el último negocio es la Bolsa. Hacer dinero con un negocio está bien, pero hacer que tu dinero genere dinero suficiente como para vivir es lo mejor a lo que se puede aspirar.

87. Llevo un Excel con mis gastos. Es más, llevo dos: uno para mis gastos personales y otro para los gastos de la empresa. Es un hábito que cogí cuando empecé a ser autónomo y que me gusta.

88. He aprendido que las claves de los negocios online son la persistencia y el probar cosas nuevas. Imagino que es así para cualquier negocio, pero hablo de lo que conozco.

89. Fui tardío para engancharme a las nuevas tecnologías. Fui uno de mis últimos amigos en tener móvil y siempre lo llevaba apagado. Nunca pensé que acabaría viviendo de esto.

Dibujo Técnico

90. Dibujar a mano cosas de dibujo técnico es para mí una forma de meditación. Por algún motivo me relaja la mente.

91. Dibujar a ordenador es menos divertido que dibujar a mano pero la precisión que se consigue también es muy gratificante.

92. En el último curso de instituto fui a una academia de dibujo técnico. Veía que quería estudiar arquitectura y que la formación de dibujo técnico del instituto no era suficiente. Íbamos a clase los sábados por la mañana, 3 horas seguidas y lo recuerdo con mucho cariño, uno de los mejores momentos de la semana. Aquel profesor y la formación que me dio tienen gran parte de la culpa de que hoy esté llevando este blog.

93. En 2001 confesé que me gustaría ser profesor de geometría. Fue al acabar el primer curso de la universidad. Después me olvidé de la idea, quería trabajar de arquitecto. Nunca pensé que aquello pudiera convertirse en realidad en forma de blog.

94. Encuentro una extraña satisfacción al resolver problemas de dibujo técnico. En ocasiones me parecen excesivamente teóricos y, por tanto, inútiles, pero a la vez los encuentro bonitos y elegantes, tanto el proceso como el resultado final. Imagino que se parece a la utilidad del arte o a la resolución de problemas en matemáticas.

Formación y Lectura

95. Me enganché realmente a la lectura en 2011, con 29 años. Hasta entonces para mí la lectura había sido un entretenimiento que no disfrutaba. En aquel momento empecé a descubrir los libros de autoayuda, crecimiento personal, filosofía y, en general, los textos de no ficción, que son los que me engancharon. Por fin le encontré una utilidad a la lectura y desde entonces no la he dejado.

96. Hice el Máster de Desarrollo Personal y Liderazgo, de Borja Vilaseca. Estuvo genial. Tratamos temas que siempre me habían interesado, descubrí otros campos que desconocía y que me resonaban mucho y me permitió conocerme mucho y relativizar las emociones diarias. En este vídeo puedes ver a mis compañeros y a mí (en este minuto) opinando sobre el curso.

97. Me funcionan muy bien los podcasts para formación en la vida diaria. Ahora los escucho menos, porque tengo las ideas más claras en los negocios, pero durante una buena época fueron un chute de motivación y una fuente de buenas ideas. Es algo muy cómodo porque los puedes escuchar mientras andas por la calle o haces la limpieza en casa.

98. Cambié mi rutina de la mañana por un libro. El libro The Miracle Morning de Hal Elrod tuvo un fuerte impacto en cómo afrontaba las mañanas y me ayudó a llevar los primeros meses como emprendedor.

99. Mis 2 libros favoritos sobre negocios son Anything You Want, de Derek Sivers y The Millionaire Fastlane, de MJ de Marco. Ambos me los he leído un par de veces, los he recomendado e incluso regalado.

100. Tres autores de los cuales he leído varios libros y releído algunos son: Hermann Hesse (Siddharta, El lobo estepario), José Saramago (Ensayo sobre la ceguera, El Evangelio según Jesucristo, Caín, Todos los nombres, El Cuaderno) y Paulo Coelho (El Alquimista, El peregrino de Compostela, Once minutos)

Y bueno, estos han sido 100 aspectos sobre mi vida, algunos de los cuales quizá conocías y otros seguramente no. Aprovecho este cierre para dejar dos citas de Paulo Coelho que me han marcado recientemente:

«No existen elegidos. Todos son escogidos si en vez de preguntarse ‘qué estoy haciendo aquí‘ deciden hacer algo que despierte el entusiasmo en el corazón»

«Cuando uno viaja, siente de una manera muy práctica el acto de Renacer. Se está frente a situaciones nuevas, el día pasa más lentamente y la mayoría de las veces no se comprende ni el idioma que hablan las personas. Exactamente como la criatura que acaba de salir del vientre materno. Con esto, se concede mucha más importancia a las cosas que nos rodean, porque de ellas depende nuestra propia supervivencia. Uno pasa a ser más accesible a las personas, porque ellas podrán ayudarnos en situaciones difíciels. Y recibe con gran alegría cualquier pequeño favor de los dioses, como si eso fuese un episodio para ser recordado el resto de la vida»

Espero que te haya gustado el post y me alegrará saber que tenemos cosas en común, así que no dudes en compartirlo en la sección de comentarios, justo aquí debajo. Si tienes aún más curiosidad, en 2015 publiqué un artículo similar con mis 25 debilidades.

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La perpendicularidad (también llamada ortogonalidad) en Diédrico Directo es tanto o más sencilla que el paralelismo que vimos en el artículo anterior de esta serie.

Como debes saber, dos elementos (rectas o planos) son perpendiculares entre sí cuando forman un ángulo de 90º.

Hay una primera regla que nos va a resolver todos los problemas de perpendicularidad en diédrico directo. Empezaremos con ella para luego extenderla al resto de casos.

Si siempre tuviste dudas con este tema, aquí van a quedar resueltas.

1. La regla clave de la perpendicularidad

Esta es la regla que nos va a resolver cualquier problema de perpendicularidad en diédrico directo.

Cuando una recta es paralela a un plano de proyección, la perpendicularidad entre rectas se ve directamente en la proyección sobre ese plano

Esto quiere decir que, si tenemos dos rectas que son perpendiculares entre sí, por lo general sus proyecciones no son perpendiculares, sino que forman un ángulo cualquiera.

Solo podemos ver la perpendicularidad entre rectas directamente cuando una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección.

Y este es el caso de las rectas horizontales y frontales.

Por tanto:

• Cuando una recta es horizontal, la perpendicularidad entre rectas se ve en la proyección horizontal
• Cuando una recta es frontal, la perpendicularidad entre rectas se ve en proyección vertical

Por tanto, si tenemos dos rectas y ninguna de ellas es paralela a los planos de proyección, entonces no podemos saber si las forman entre sí un ángulo de 90º.

Veámoslo en un esquema tridimensional para dejarlo aún más claro. Es el caso de la recta horizontal H.

Y como verás a continuación, solo con esta regla podemos resolver todos los ejercicios de perpendicularidad.

2. Las 4 afirmaciones sobre perpendicularidad (que debes memorizar)

La perpendicularidad funciona según las siguientes 4 afirmaciones entre rectas y planos.

1. Recta – Plano: Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es a dos rectas contenidas en el plano (la horizontal y la frontal, por facilidad)
2. Plano – Recta: Un plano es perpendicular a una recta cuando contiene dos rectas perpendiculares a ella
3. Plano – Plano: Un plano es perpendicular a otro cuando contiene una recta perpendicular a ese otro plano
4. Recta – Recta: Una recta es perpendicular a otra cuando se puede contener en un plano perpendicular a ella. Según hemos visto antes, en el caso de que una de las rectas sea paralela a uno de los planos de proyección, las rectas son perpendiculares si sus proyecciones sobre ese plano son perpendiculares

Esas 4 afirmaciones se basan en la regla que hemos visto antes y a continuación va a quedar explicado de manera detallada.

3. Recta perpendicular a plano

Una recta es perpendicular a un plano cuando lo es a dos rectas contenidas en el plano (la horizontal y la frontal, por facilidad)

Solo tienes que imaginarte en el espacio la afirmación anterior y que puedes ver gráficamente en el esquema siguiente (parte derecha). Cuando tienes una recta que es perpendicular a 2 rectas diferentes de un plano, entonces esa recta es perpendicular al plano.

Y puesto que la perpendicularidad se ve directamente en el caso de las rectas horizontales y frontales, siempre buscaremos conocer esas rectas del plano.

Así que dado un plano definido por sus rectas horizontal H (h’-h) y frontal F (f’-f), una recta R (r’-r) es perpendicular a dicho plano cuando r’ es perpendicular a f’ y h es perpendicular a f.

Si nos viene el plano definido de cualquier otra manera (polígono, recta y punto, dos rectas cualesquiera que se cortan…) tendremos que obtener sus rectas horizontal y frontal para poder dibujar una recta perpendicular.

Es tan sencillo como eso.

Las únicas excepciones que pueden haber son:

• Planos horizontales. La perpendicular es una recta vertical.
• Planos frontales. La perpendicular es una recta de punta.
• Planos paralelos a la línea de tierra. La recta perpendicular es de perfil y habría que ver su inclinación en una vista auxiliar de perfil.

Aun así, en los dos primeros casos se trata exclusivamente de rectas paralelas a los planos de proyección y por tanto se cumple la regla.

La única excepción realmente singular es la tercera, porque las rectas horizontales y frontales coinciden en ese tipo de planos y por tanto necesitamos más información para poder definir la recta perpendicular; esta información la encontramos en la vista de perfil.

4. Plano perpendicular a recta

Un plano es perpendicular a una recta cuando contiene dos rectas perpendiculares a ella

Tanto el esquema como la manera de encontrar un plano perpendicular a una recta básicamente funciona lo mismo que en el caso anterior de dibujar una recta perpendicular a un plano.

Si nos dan una recta R y tenemos que dibujar un plano perpendicular a ella por un punto A, solo tendremos que preocuparnos de dibujar ese plano definido por una recta horizontal y una frontal que pasen por A, tales que sean perpendiculares a la recta R dada.

Las excepciones son las mismas que antes:

• Recta de punta: el plano perpendicular es frontal
• Recta vertical: el plano perpendicular es horizontal
• Recta de perfil: el plano perpendicular es paralelo a la línea de tierra

Las razones y las maneras de resolverlos son también las mismas que han quedado explicadas en el apartado anterior.

5. Plano perpendicular a plano

Un plano es perpendicular a otro cuando contiene una recta perpendicular a ese otro plano

Según la afirmación anterior, solo tenemos que asegurarnos de que uno de los planos tenga una recta perpendicular al otro y con eso ya sabemos que son perpendiculares entre sí.

De hecho, fíjate en el siguiente esquema en 3D. Observa que basta con que haya una recta R perpendicular al plano para que todos los demás planos que puedan contener a esa recta R sean perpendiculares al plano original.

Por tanto, dado un plano definido por sus rectas horizontal H (h’-h) y frontal F (f’-f), si tenemos que dibujar un plano perpendicular por el punto A (a’-a) solo tendremos que dibujar una recta R por el punto A que sea perpendicular a H y F.

Y a partir de ahí puedes dibujar cualquier otra recta S por el punto A porque con lo anterior ya tenemos asegurado que los planos son perpendiculares. Como ves, este ejercicio tiene infinita soluciones.

También podríamos haber dibujado una recta R perpendicular a H y F por cualquier punto y esa recta R junto con el punto A formarían un plano perpendicular al dado que pasa por A.

En todo caso, fíjate en lo importante que es el hecho de tener claro en mente qué es lo que vas a hacer. Si tú tienes el esquema espacial claro en la cabeza de lo que hacer, realmente es sencillo hacerlo y saber en qué punto del proceso te encuentras. Si no, es todo un jaleo de líneas con poco sentido.

Puesto que en el ejercicio anterior había infinitas soluciones, nos pueden poner otro tipo de ejercicio con una nueva restricción.

5.1. Ejercicio de perpendicularidad entre planos

Dada una recta S y un plano definido por dos rectas F y R, se pide dibujar otro plano que contenga a la recta S y sea perpendicular al plano dado.

• En este caso nosotros sabemos que tenemos que dibujar una recta que sea perpendicular al plano y con eso es suficiente para que el nuevo plano sea perpendicular al plano formado por F-R.
• Para eso debemos conocer las rectas horizontal y frontal del plano dado; por el momento solo tenemos la frontal, así que necesitaremos la frontal.
• Y por último, para asegurarnos de que el plano contiene a S, esta debe ser una de las rectas que formen el plano, junto a T. Por eso, tendremos que escoger un punto A de la recta S por el que pasar la recta T.

Por tanto, para ponerlo de manera resumida y ordenada habría que seguir estos pasos:

1. Escoger un punto A de la recta S por el que pasará la recta T que definirá el plano junto con S
2. Encontrar la recta horizontal H del plano R-F. Para ello basta con dibujar una proyección vertical h’ que sea perpendicular a las líneas de referencia y encontrar las proyecciones horizontales de los puntos 1 y 2, que son los puntos de corte de h’ con f’ y r’.
3. Dibujar la recta T perpendicular a H y F por el punto A. Como sabemos, t’ debe ser perpendicular a f’ y t debe ser perpendicular a h.

De esta manera comprobamos que este ejercicio tiene una única solución, porque se ha determinado la condición de pertenencia de la recta S además de la perpendicularidad a un plano.

6. Plano perpendicular a 2 planos

Cuando tenemos 2 planos cualesquiera siempre podemos dibujar un plano perpendicular a ellos.

Si te cuesta visualizarlo en 3 dimensiones te propongo que te imagines que la intersección de dos planos es una recta y que el plano que nosotros encontremos será perpendicular a esa recta de intersección.

Así que, siempre que dos planos se corten, existirá un plano perpendicular a ellos.

6.1. Método 1

Siempre hay diferentes maneras de resolver el mismo problema.

Si a nosotros nos dan 2 planos definidos por dos de sus rectas H1-F1 y H2-F2 y tenemos que dibujar un tercer plano perpendicular a ellos por un punto A, un método sencillo para resolverlo sería el siguiente:

1. Dibujar por A una recta R perpendicular al primer plano
2. Dibujar por A una recta S perpendicular al segundo plano

Y ya está.

Con eso tenemos dos rectas que se cortan en un punto (por tanto definen un plano) y son perpendiculares a los planos dados.

Este método es muy sencillo de aplicar cuando conocemos las rectas horizontales y frontales de los planos dados. Si no las conocemos, ya sabes que es muy fácil encontrarlas, pero es un poco más laborioso.

6.2. Método 2

En el método anterior hemos dibujado 2 rectas, cada una perpendicular a uno de los planos dados.

Existe un segundo método algo más complicado de ejecución, aunque también sencillo a nivel teórico, que sería:

1. Encontrar la recta de intersección i’-i de los 2 planos entre sí
2. Dibujar el plano perpendicular a dicha recta de intersección. Solo tendríamos que dibujar la horizontal y frontal que fueran perpendiculares a la recta de intersección

Recuerda del artículo de intersección entre planos que el proceso es el siguiente:

1. Encontrar el punto de intersección 1-1′ de la recta F2 con el plano H1-F1. Para ello había que meter la recta F2 en un plano proyectante vertical y encontrar la intersección de ese plano proyectante con H1 y con F1. La recta que une esos dos puntos de corte, interseca con F2 en el punto 1-1′
2. Encontrar el punto de intersección 2-2′ de la recta H1 con el plano H2-F2. Para ello realizamos un proceso similar al explicado justo antes
3. La recta que une los puntos 1-1′ y 2-2′ es la intersección i’-i de los planos originales
4. Dibujar por A una recta horizontal H3 y una frontal F3, ambas perpendiculares a la recta i’-i. Estas dos rectas forman el plano que buscábamos, perpendicular a los dos dados.

Como ves, es más laborioso y tiene más líneas.

Cuantas más líneas tenga, más posibilidad de cometer errores e imprecisiones, así que por lo general recomiendo que se utilice el primer método.

Aun así, no quería dejar de presentarlo porque, como ves, una vez que entiendes el problema a nivel espacial siempre puedes encontrar diversas formas de resolverlo.

7. Recta perpendicular a recta

Una recta es perpendicular a otra cuando se puede contener en un plano perpendicular a ella

Lógicamente tenemos la excepción que mencionamos al principio del artículo, con las rectas paralelas a los planos de proyección (rectas horizontales y frontales).

Pero de manera genérica, si queremos dibujar una recta oblicua S perpendicular a otra recta oblicua R cualquiera, tendremos que ser capaces de contenerla en un plano perpendicular.

¿Y cuál es la manera más fácil?

Pues dibujando un plano que sea perpendicular a la recta dada y esté definido por su recta horizontal H y frontal F.

Vamos a verlo gráficamente.

Simplemente tenemos que escoger un punto A cualquier y por él pasar una recta horizontal y una recta frontal que sean perpendiculares a la recta R dada. Y teniendo ya ese plano formado por H y F, podemos dibujar cualquier recta S contenido en él, sabiendo que esa recta será perpendicular.

Para que la recta esté contenida en el plano, tiene que tener dos puntos contenidos en el plano. Simplemente hay que trazar una proyección vertical (aunque también valdría la horizontal) y encontrar las proyecciones de los puntos de corte 1 y 2 con las rectas H y F.

Si no lo recuerdas siempre puedes mirar el artículo de planos en diédrico directo.

8. Perpendicularidad en la vida real

La ortogonalidad o perpendicularidad es algo muy cotidiano en el día a día del ser humano.

Por un lado, nos viene bien tener las cosas con un orden cuadriculado, porque eso nos da un orden mental. Pero además, la propia naturaleza incluye muchas verticales, que vienen a ser rectas perpendiculares al suelo. Y es que la vertical es la dirección que tiene la gravedad, esa fuerza de atracción de la Tierra.

Por eso los objetos caen en dirección vertical, en perpendicular al suelo; la lluvia también cae en vertical (cuando no hace viento); los árboles crece tienden a crecer en vertical; y por eso también los muebles y los edificios aprovechan la verticalidad para luchar contra la gravedad.

Como sabes, soy arquitecto y disfruto de la arquitectura.

Por eso te traigo hoy un par de edificios de un arquitecto español que utiliza mucho las líneas rectas y la ortogonalidad en sus proyectos. Se trata de Alberto Campo Baeza y cuando ves sus edificios, por lo general son muy ordenados.

Es el caso del edificio para la Caja de Granada, construido en hormigón armado.

O un edificio de tamaño mucho menor; es la casa Cala situada en Madrid.

Casa Cala – Arquitecto Alberto Campo Baeza

Como ves, en ambos edificios domina la fuerte presencia del cubo.

Y ese carácter de perpendicularidad se ve en las líneas que definen los patios, las ventanas y en el conjunto de ambos proyectos.

Espero que te haya parecido útil el artículo.

En realidad la perpendicularidad es un tema muy sencillo y simplemente teniendo claras las reglas que expuse al principio entre rectas y planos, con eso es suficiente para resolver cualquier problema de perpendicularidad.

Al final, lo único importante es empezar a desarrollar la visión espacial, que vayas imaginándote los problemas en 3 dimensiones y que consigas visualizar el camino hacia el resultado.

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Las tangencias y la inversión son temas fundamentales de la Geometría Plana.

Son fundamentales no solo en Bachillerato y Selectividad, sino también en los exámenes de las Oposiciones para profesor de secundaria por la especialidad de Dibujo Técnico.

Manejarlas con soltura puede marcar la diferencia entre aprobar o suspender un examen.

Y lo que en mi opinión es más grave…

Eso afecta a tu confianza.

Si no dominas un tema básico como estos, nunca te sentirás con la confianza de poder resolver cualquier ejercicio que se te pueda presentar.

Por eso he creado este vídeo-curso, para que domines las tangencias y la inversión a la perfección.

Tangencias e Inversión en Dibujo Técnico

Con este curso aprenderás a resolver cualquier ejercicio de tangencias e inversión, tanto si empiezas completamente desde cero, como si ya tienes una buena base.

El curso está enfocado a aquellas personas que quieren:

• Empezar con estos temas desde el principio, con una sólida base teórica y comprendiendo los razonamientos
• Consolidar y repasar sus conocimientos manteniéndose en un ejercicio de formación continua.
• Aprender nuevos métodos de resolución de tangencias: reglas básicas, dilatación, potencia, inversión, lugares geométricos
• Ampliar sus conocimientos para llegar a resolver cualquier problema que se les plantee

Por eso, tanto si eres estudiante de bachillerato con intención de hacer selectividad, como si eres profesor de dibujo técnico, opositor o interino, este curso es para ti.

Qué encontrarás en el curso

El curso parte desde el nivel más principiante posible, con ejercicios propios de secundaria o 1º de bachillerato y avanza hasta los problemas más teóricos y complejos que se ven en las oposiciones, llegando incluso a presentar y resolver ejercicios que no aparecen en oposiciones.

Índice de Módulos

Los módulos corresponden a las siguientes temáticas:

1. Conceptos básicos
2. Potencia
3. Rectas tangentes a circunferencias
4. Circunferencias tangentes a 1 elemento
5. Circunferencias tangentes a 2 elementos
6. Circunferencias tangentes a 3 elementos*
7. Óvalos y ovoides
8. Enlaces
9. Espirales
10. Aplicaciones prácticas en figuras
11. Inversión y su aplicación a tangencias
12. Autoevaluación final

* Los elementos pueden ser puntos, rectas o circunferencias, abarcando de esta manera todos los casos posibles de tangencias (problemas de Apolonio).

Qué incluye el curso

En el curso encontrarás:

A lo largo del curso se van planteando ejercicios prácticos para su resolución, característicos de tangencias e inversión y extraídos directamente de exámenes de selectividad y oposiciones a profesor de secundaria por la especialidad de dibujo técnico.

Con diferentes figuras que combinan enlaces de rectas y circunferencias adquirirás las habilidades y soltura necesarias para resolver cualquier ejercicio de examen.

Y lo mejor es que:

Qué opinan de mis cursos y libros

Si no quieres quedarte únicamente con lo que yo te digo, mira lo que opinan algunos de los alumnos del curso de Sistema Diédrico.

Empecé con las clases y la sensación es muy buena. Quería darte las gracias enormes por tu labor en tu blog y en tus libros. Me  han servido para sentirme valiente y capaz de hacerlo accesible. Es muy importante llegar a ser útil y práctico, y con tu material es muy fácil conseguirlo

– Núria Garcia

Quería darte mi ENHORABUENA en letras mayúsculas sí. Los contenidos tanto de tu blog, como de los cursos de Udemy (compré sistema diédrico 1, 2 y 3) son estupendos, útiles y muy completos.

Agradezco enormemente tu ayuda que está facilitando mi labor docente como profesora de Dibujo Técnico en primero y en segundo de bachillerato y ayudándome a preparar mis exámenes de oposición (soy funcionaria interina).

– Blanca

Puedes encontrar más testimonios en las páginas de ventas de mis cursos en Udemy.

Llévate el curso ahora

Elaborar este vídeo-curso me ha llevado más de 3 meses de trabajo intenso, concentra todo lo que sé sobre tangencias e inversión y está compuesto por lecciones con un total de más de 9 horas de vídeo, aparte de todos los archivos descargables en PDF con diapositivas, casos prácticos, ejercicios y soluciones.

Contando solo con el precio por hora de las clases, el curso debería costar al menos 250 euros, pero ahora te lo puedes llevar por mucho menos.

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1. Vídeos: En la página de ventas de Udemy, además del vídeo de presentación, siempre hay uno o varios vídeos gratuitos. Clica al final de este artículo en el botón amarillo de compra; eso te llevará a la página de ventas en Udemy. Allí clica en el vídeo de presentación que aparece con el símbolo de reproducir (play) y justo debajo de él aparece un mensaje de «Vídeos de ejemplo gratuitos»
2. Descargas gratuitas de PDF: Suscríbete a la lista de correo de 10endibujo en alguna de las cajas de suscripción (por ejemplo al final de este artículo cualquier otro de esta web) y recibirás totalmente gratis algunas páginas de los archivos descargables en PDF, además de otros regalos. Si ya eres suscriptor, has debido recibir mi newsletter con el enlace para la descarga. Si no es así, contáctame.

Preguntas frecuentes

A continuación contesto a algunas de las preguntas que suelen preguntarme los alumnos frecuentemente. Si tienes alguna otra pregunta, puedes contactarme en cualquier momento y estaré encantado de ayudarte en lo que necesites.

Recuerda: esto es lo que te llevas

Al comprar el curso te llevas:

1. Once módulos con lecciones en vídeo
2. Resumen de las láminas de presentación (PDF)
3. Enunciados de los casos prácticos explicados en los vídeos, para que los resuelvas por ti mismo (PDF)
4. Soluciones de los casos prácticos para facilitar tu estudio (PDF)
5. Ejercicios para poner en práctica lo aprendido (PDF)
6. Soluciones a los ejercicios (PDF)
7. Una autoevaluación final

Además puedes disfrutar del:

• DESCUENTO: oferta de lanzamiento válida hasta el 12 de mayo de 2019 a las 23:59

Y por supuesto, como siempre:

• Acceso de por vida a todas las actualizaciones futuras.
• Soporte del instructor en la sección de preguntas y respuestas
• Archivos descargables en PDF en el primer módulo para que puedas trabajar cómodamente en casa
• Garantía de devolución de 30 días sin preguntas. Es garantía de Udemy y mía; solo quiero clientes 100% satisfechos. Si no te gusta, puedes pedir la devolución del dinero sin tener que dar explicaciones.

Tienes a tu disposición este vídeo con una reflexión mía acerca de las tangencias y el dibujo técnico, y este otro que es una visita guiada por dentro del vídeo curso.

Si tienes cualquier duda, siempre puedes contactarme para lo que necesites. Suelo contestar en menos de 24 horas.

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Y, en todo caso, si piensas que el curso puede ser para ti pero te queda alguna duda, mi recomendación es que lo compres porque no te compromete a nada.

Puedes probar el curso durante 30 días y, si por cualquier motivo no estás convencido, no tienes más que pedir la devolución del dinero y lo recibirás sin preguntas. Yo no me molesto. Si no estás convencido de tu compra, lo devuelves sin problemas. Solo quiero que aprendas bien dibujo técnico y te quedes totalmente satisfecho con la compra del curso.

No tienes nada que perder.

Matricúlate ahora en el curso y aprende tangencias a la perfección.

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Simplificar ejercicios de tangencias nos ayuda a resolverlos.

El método de la dilatación es uno de los más utilizados por:

• su sencillez,
• su efectividad
• y porque es muy versátil, siendo apto para muchos tipos de ejercicios

En este artículo vamos a ver 3 casos de resolución de tangencias aplicando el método de la dilatación.

Seguramente conocías el 3er caso (apartado 4) pero no pensabas que fuera dilatación. En él te explico además un par de descubrimientos que he hecho personalmente sobre tangencias.

1. Cómo funciona la dilatación

El método de dilatación aplicado a tangencias consiste en reducir una circunferencia-dato del ejercicio hasta convertirla en un punto.

Como contrapartida, el resto de datos del ejercicio deben ser dilatados (positiva y/o negativamente) en la misma medida que se ha reducido la primera circunferencia, es decir, en la medida de su radio.

El resultado es que, en lugar de tener que conseguir una tangente a una circunferencia, tenemos que conseguir una tangente a un punto, con lo cual se simplifican enormemente los ejercicios. Una vez completado ese ejercicio simplificado solo hay que dilatar la solución en la misma medida del radio.

Vamos a verlo más claro gráficamente con un ejemplo.

2. [RC] dado T en R

Circunferencias tangentes a Recta y Circunferencia por punto de Tangencia T en la Recta

Supongamos que tenemos como datos por un lado una circunferencia de radio R y centro O, y por otro una recta S con el punto de tangencia T contenido en ella.

Nos piden dibujar las circunferencias tangentes a la recta y a la circunferencia pasando por el punto de tangencia T.

Para aplicar el método de dilatación, lo primero que hay que hacer es reducir la circunferencia en la medida de su radio hasta convertirla en un punto, en concreto en su centro O.

El resultado van a ser 2 soluciones:

• una circunferencia tangente exterior a la dada
• y otra tangente interior a la dada, ambas tangentes a la recta S en el punto T.

Esto requiere dos planteamientos diferentes. Veamos el primero.

2.1. Solución 1: Dilatación

Al aplicar la reducción a la circunferencia tenemos necesariamente que aplicar la misma dilatación al otro dato, en este caso la recta.

Cuando hablamos de dilatación puede ser positiva (dilatación propiamente dicha) o negativa (reducción).

Aplicar la dilatación a la recta implica

1. Dibujar una recta paralela a S, situada a una distancia igual al radio de la circunferencia.
2. Trasladar el punto de tangencia T en la dirección del desplazamiento, en este caso perpendicular a la recta

Una vez aplicada la dilatación a recta, circunferencia y punto de tangencia, el ejercicio queda simplificado a encontrar la circunferencia tangente a la recta dilatada en el punto de tangencia T y que pase por el punto O.

Resolver este ejercicio es sencillo en 2 pasos.

1. Recta perpendicular a S por el punto 1, porque sabemos que ahí estará el centro de la circunferencia tangente.
2. Mediatriz del segmente O-1, porque sabemos que por ambos puntos debe pasar la circunferencia-solución

El punto donde intersecan ambas rectas nos daría el centro O1 de la circunferencia-solución.

Solo faltaría encontrar el punto de tangencia en la circunferencia, que se consigue uniendo O1 con O y dibujar finalmente la circunferencia tangente exterior a la dada que es tangente a la recta en T.

ATENCIÓN: Observa cómo he dibujado una primera circunferencia (línea discontinua), que es la solución parcial en la situación de dilatación. Esa circunferencia es tangente a la recta dilatada en el punto 1 y pasa por el punto O. Cuando reducimos esa circunferencia la medida del radio R, entonces obtenemos la solución final del ejercicio (marcada en rojo), tangente a la recta en T y tangente a la circunferencia en T1.

2.2. Solución 2: Reducción

Para obtener la segunda solución debemos dibujar la recta paralela a S que se encuentra a una distancia R pero en la otra dirección, es decir, más cerca de la circunferencia.

De esta manera el ejercicio queda simplificado a encontrar la circunferencia que es tangente a la recta reducida en el punto de tangencia 2 y que pasa por el punto O.

Y esto es muy sencillo.

Ya tenemos dibujada la perpendicular a S por el punto 2.

Así que solo queda dibujar la mediatriz del segmento O-2 para asegurarnos de que la circunferencia provisional los contiene. La intersección de esta mediatriz con la perpendicular anterior nos da el punto O2, centro de la segunda circunferencia solución.

Solo falta encontrar el punto de tangencia T2 uniendo O con O2 y dibujar la circunferencia. En este caso, como ves, se trata de una tangente interior a la dada.

Y NUEVAMENTE, puedes dibujar la circunferencia-solución provisional (en discontinua) como la que pasa por el punto O y es tangente a la recta reducida en el punto 2. La circunferencia solución final es concéntrica a ella, aplicándole una dilatación de su radio de valor R.

2.3. Conclusión

Como ves, la dilatación nos ha servido para simplificar el problema de tangencias.

De un ejercicio de circunferencias tangentes a recta y circunferencia ha pasado a ser de circunferencias tangentes a recta y punto.

Para ello lo único que hay que hacer es reducir la circunferencia a un punto, aplicar la misma dilatación (positiva y negativa) al otro dato (o los otros datos en caso de que hubiera más), resolver el ejercicio simplificado y por último volver a aplicar la dilatación inversa a la solución.

3. [CC] dado T

Circunferencias tangentes a 2 circunferencias por punto de tangencia en una de ellas

Para este segundo ejemplo de tangencias resuelto mediante dilatación vamos a considerar dos circunferencias de centros O y O’ y un punto T de tangencia en la segunda de ellas. Nos piden dibujar las circunferencias tangentes a las mismas por el punto T.

IMPORTANTE: La circunferencia que reducimos hasta dejarla en un punto debe ser aquella que no contenga el punto de tangencia. En caso contrario, esa información se perdería y no nos permitiría resolver el problema.

Por tanto, en este caso, es la circunferencia de radio mayor (la de centro O) la que reducimos hasta dejarla concentrada en un único punto, su centro.

De nuevo volvemos a tener dos soluciones que parten de dos planteamientos diferentes de dilatación.

3.1. Solución 1. Dilatación

Al reducir la circunferencia de centro O en la medida de su radio, debemos aplicar la misma dilatación al resto de datos, en este caso únicamente a la otra circunferencia, de centro O’.

Aplicamos para esta primera solución una dilatación positiva, sumándole el radio R. El punto de tangencia en esta ocasión se desplaza de manera radial hasta su posición 1 final en la circunferencia dilatada.

De esta manera queda simplificado el ejercicio a circunferencia tangente por el punto 1 a la circunferencia de centro O’ dilatada, pasando por el punto O.

Esto se resuelve con dos sencillos procedimientos:

1. Mediatriz del segmento O-1, para asegurarnos de que la circunferencia-solución provisional pasa por esos puntos O y 1.
2. Recta que une O’ con 1. Sabemos que en esa recta se encuentra el centro de la circunferencia que será tangente a la de centro O’ en 1.

La intersección de estas dos rectas nos determina el punto O1, centro de la primera circunferencia-solución.

Desde ese centro O1 podemos dibujar la circunferencia-solución parcial (línea discontinua) que es tangente en 1 a la de centro O’ dilatada y pasa por el punto O. Asimismo, podemos aplicarle el proceso inverso (dilatación negativa o reducción) en la misma medida R para conseguir finalmente la circunferencia-solución que es tangente en T a la de centro O’ y en T1 a la de centro O

3.2. Solución 2. Reducción

Atención a este apartado, porque estamos aplicando una reducción a la circunferencia de radio menor. Por tanto esa diferencia de radios va a ser un poco singular.

En este segundo planteamiento reducimos la circunferencia de centro O a un punto y también reducimos la circunferencia de centro O’ en la medida del radio R de la primera circunferencia.

Puesto que el radio R de la circunferencia de centro O es mayor que el radio de la circunferencia de centro O’, la recta que nos permite restar los radios se pasa del centro O’, pero eso no es inconveniente. Simplemente coloca el radio R  hacia dentro de la circunferencia y dibuja la concéntrica donde salga.

La traslación del punto 2 nuevamente vuelve a ser radial (desde el centro O’), pero debes tener en cuenta una cosa: el nuevo punto de tangencia 2 debe distar la medida R del punto de tangencia original T.

Evita confundirte en este paso, porque es muy habitual (a mí me ha pasado en alguna ocasión)

Con este nuevo planteamiento, volvemos a tener el ejercicio muy simplificado y se resuelve igualmente de manera sencilla con la mediatriz del segmento O-2.

Desde el punto O2 podemos trazar tanto la circunferencia solución tangente exterior a la de centro O’ como la provisional de línea discontinua que es tangente a la dilatada en 2.

El punto de tangencia T2 se encuentra en la recta que une O con O2.

4. [CC] Rectas tangentes a 2 circunferencias

Este es un ejercicio muy conocido y está explicado por todos sitios.

Yo mismo lo incluí en este artículo de tangencias.

Personalmente aprendí a resolverlo cuando tenía 15 años (de eso hace ya mucho tiempo), lo memoricé bien y siempre he aplicado el mismo método.

Pero…

Durante los últimos 3 meses he estado trabajando intensamente en este curso de tangencias y hubo un día en que algunas piezas encajaron en mi cabeza y entendí por qué se resolvía de esa manera.

Se trata de un proceso de simplificación mediante dilatación.

No era necesario memorizar pasos de manera automática: era suficiente con utilizar la razón. Pero nadie me lo había explicado nunca y yo nunca tuve más inquietud por encontrar su origen.

Vamos a ver cómo se resuelve.

4.1. Rectas tangentes INTERIORES (dilatación)

Para encontrar las rectas tangentes interiores aplicaremos

• Una reducción de la circunferencia de menor radio hasta convertirla en un punto
• Una dilatación a la circunferencia mayor de medida igual al radio de la menor

De esta manera, el ejercicio queda simplificado a encontrar las rectas tangentes a la circunferencia dilatada de centro O’ desde el punto O exterior a ella.

Este ejercicio se resuelve fácilmente mediante arco capaz de 90º del segmento O-O’.

Puesto que la recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia, esas dos rectas (la tangente y el radio) forman un ángulo que se ve desde O y O’ como de 90º.

Esto fue igualmente para mí un descubrimiento más en estos 3 últimos meses de trabajo intenso, porque tampoco sabía cuál era el razonamiento de trazar la circunferencia de diámetro O-O’.

En la intersección del arco capaz de 90º con la circunferencia dilatada encontramos las soluciones provisionales, con los puntos de tangencia t1 y t2.

Observa cómo la recta tangente y el radio forman 90º. Por eso se utiliza el arco capaz.

Una vez que tenemos esas soluciones provisionales (en línea discontinua) ya podemos deshacer la dilatación aplicando el proceso inverso: tenemos que reducir (o dilatar negativamente) las rectas tangentes provisionales en la misma medida R que aplicamos anteriormente. Es decir, hay que dibujar las rectas paralelas a una distancia R.

Por su parte, los puntos de tangencia de la solución provisional t1 y t2 se trasladan de manera radial (con centro en O’) hasta su posición final T1 y T2 en la circunferencia original.

Para encontrar los puntos de tangencia T3 y T4 en la circunferencia de centro O basta con dibujar los radios perpendiculares a las rectas tangentes (o a las provisionales). Y puesto que la recta es la misma, los radios perpendiculares de la circunferencia de centro O’ van a ser paralelos a los de la circunferencia de centro O.

Me explico:

El punto T3 viene de dibujar un radio perpendicular a la recta t2-O, la cual es, a su vez, perpendicular a t2-O’. Por tanto, solo tienes que dibujar radios paralelos desde O’ a los obtenidos anteriormente (O-T1 y O-T2)

Y con eso quedaría el ejercicio completado

Vamos con el segundo planteamiento.

4.2. Rectas tangentes EXTERIORES (reducción)

El proceso para resolver las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas es igual que el anterior, con la diferencia de que en lugar de aplicar una dilatación positiva a la circunferencia de centro O’, tendremos que aplicarle una dilatación negativa o reducción.

Por lo demás, es todo igual.

Reducimos ambas circunferencias por tanto en la medida del radio R de la menor.

De esta manera, la circunferencia de centro O se queda reducida a un punto (su centro) y la circunferencia de centro O’ queda sencillamente reducida en la medida de R.

Ahora el ejercicio se ha quedado simplificado a encontrar las rectas tangentes a la circunferencia de centro O’ reducida desde un punto O exterior a ella.

Volvemos a aplicar la solución del caso anterior, utilizando el arco capaz de 90º, que nos permite encontrar los puntos t1 y t2 de la circunferencia reducida, desde los cuales  se ve el segmento O-O’ con un ángulo recto.

De esta manera se pueden dibujar las rectas de la solución provisional (línea discontinua).

Ahora ya solo queda deshacer la reducción, aplicando en este caso una dilatación a las rectas de la solución provisional de medida R.

Al igual que antes, los puntos de tangencia T3 y T4 en la circunferencia de centro O se encuentran en los radios perpendiculares a las rectas de tangencia, los cuales son paralelos a los radios O’-T1 y O’-T2 respectivamente.

Y de esta manera hemos conseguido resolver el problema de rectas tangentes exteriores comunes a dos circunferencias dadas aplicando la dilatación.

4.3. Conclusión

Gracias a la dilatación hemos conseguido que un ejercicio de rectas tangentes comunes a dos circunferencias haya quedado simplificado a rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Y lo que es mejor, a mí me ha permitido razonar aquel conjunto de pasos que memoricé sin conexión ni coherencia hace 20 años.

Quizá a ti te pueda parecer una tontería, pero yo pienso que cuando las cosas se aprenden de manera razonada, es más fácil retenerlas y sobre todo transmitirlas.

5. Otros casos de Dilatación aplicada a Tangencias

Como has visto, la dilatación nos has permitido simplificar y resolver estos tres ejercicios de tangencias.

Aparte de estos tres, existen muchos más casos de tangencias que se pueden resolver o simplificar mediante este método.

• [RRC] Circunferencias tangentes a 2 rectas y 1 circunferencia
• [CCR] Circunferencias tangentes a 2 circunferencias y 1 recta
• [CCP] Circunferencias tangentes a 2 circunferencias de igual radio y 1 punto
• [CCC] Circunferencias tangentes a 3 circunferencias

Y por supuesto existen otros métodos de resolución de tangencias aparte de la dilatación:

• Inversión
• Lugares geométricos
• Potencia

Te quería comentar que he reunido todo esto en un vídeo curso, con TODO lo que hay que saber sobre tangencias e inversión.

Si quieres ser capaz de resolver cualquier ejercicio de tangencias o inversión que se te presente, si quieres conocer los diferentes métodos para resolverlas y además quieres aprenderlo todo desde casa, de una manera ordenada, clara y razonada, te recomiendo que te matricules en este vídeo curso.

Curso de Tangencias e Inversión

El curso está orientado a:

• Profesores de secundaria y bachillerato de dibujo técnico que quieren ampliar sus conocimientos y ganar confianza
• Opositores e interinos que están preparando las oposiciones a profesor de dibujo técnico
• Alumnos de bachillerato, especialmente aquellos que están preparando selectividad

Puedes ver toda la información en la página de Udemy (clica en los botones de arriba), pero en cualquier caso te comento que incluye horas de vídeo explicando toda la teoría y casos prácticos, así como decenas de ejercicios con sus soluciones para que pongas en práctica lo aprendido.

Y, en todo caso, si lo compras, cuentas con:

• Acceso de por vida al curso y a todas las actualizaciones futuras
• Mi soporte en la sección de preguntas y respuestas
• Archivos descargables en PDF en el primer módulo para que puedas trabajar cómodamente en casa
• Garantía de devolución de 30 días sin preguntas

Así que no tienes nada que perder; siempre puedes devolverlo si no estás completamente satisfecho.

Por tanto, aprovecha el descuento y matricúlate ahora.

Si estás interesado pero te queda alguna duda, puedes contactar conmigo en cualquier momento a través de este formulario y te responderé en breve.

Y en cualquier caso puedes echar un vistazo a este vídeo que grabé el otro día y que está relacionado con el curso y los conocimientos que en él se imparten sobre tangencias. También puedes ver esta visita guiada por dentro del curso.

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La elipse es la figura exacta que representa la circunferencia en Perpectiva Isométrica.

En este artículo vas a aprender a dibujarla de dos maneras diferentes y vas a conocer las diferencias de trazado con respecto al óvalo.

Durante décadas ha servido el óvalo de manera oficial como representación de la circunferencia en isométrica. De hecho, fue el sistema que yo aprendí en el año 99 y que puedes ver de manera detallada aquí.

No obstante, en las últimas semanas he recibido mensajes de varios profesores de dibujo técnico de secundaria (mil gracias a todos por vuestra generosidad y por mantenerme al día) diciendo que ahora se exige en selectividad dibujar la circunferencia como elipse en perspectiva isométrica.

Por tanto, vamos a ver cómo se dibuja la elipse de manera precisa.

1. La Circunferencia como Elipse en Isométrica

Para dibujar una circunferencia en Perspectiva Isométrica ya sea con un método o con otro, lo primero que necesitamos es tener:

• Los ejes isométricos, que forman 120º entre sí, como sabes de este artículo de axonometrías)
• El cuadrado que circunscribe la circunferencia, es decir, el cuadrado en el que la circunferencia va a estar inscrita. Este cuadrado debe tener los 4 lados de la misma dimensión, que es igual a la dimensión del diámetro ∅.

Obviamente la dimensión del cuadrado debe estar acorde con la escala que te pidan y el coeficiente de reducción correspondiente si es que tienes que aplicarlo (puedes verlo aquí explicado).

Por el momento vamos a dibujar la circunferencia únicamente en el plano horizontal, el formado por los ejes X e Y.

Y vamos a dibujar esa elipse utilizando 2 métodos diferentes.

1.1. La Elipse en Isométrica por Afinidad

Este es el método más sencillo y el que menos líneas necesita.

Es bastante similar a la manera de dibujar la circunferencia en Perspectiva Caballera, por lo que si ya conoces ese método, este te resultará muy sencillo.

Básicamente consiste en los siguientes pasos:

1. Dibujar un cuadrado en verdadera magnitud cuyo lado coincida con uno de los lados del cuadrado en perspectiva. Ese lado representa el Eje de Afinidad, también conocido como recta de puntos dobles, si recuerdas de afinidad
2. Dibujar la circunferencia inscrita en el cuadrado anterior. El centro O’ de dicha circunferencia se encuentra en la intersección de las diagonales del cuadrado. Para conocer el radio es necesario dibujar una recta perpendicular a uno de los lados del cuadrado desde el centro O’ de la circunferencia.
3. Dibujar la elipse afín de la circunferencia. Los puntos A’, B’, C’ y D’ son los afines de los extremos de los ejes de la elipse. Solo hay que encontrar sus afines A, B, C y D; teniendo los ejes de una elipse, ya se puede dibujar de manera precisa.

Para encontrar esos ejes de la elipse afines debemos encontrar el centro O de la circunferencia en perspectiva isométrica, que se encuentra en la intersección de las diagonales en isométrica.

Ese punto O es afín del centro O’.

El eje de afinidad y el par de puntos afines O y O’ definen completamente la afinidad.

En cualquier caso, los lados del cuadrado real son afines a los lados del cuadrado en perspectiva. Y si recuerdas de afinidad, dos rectas paralelas tienen rectas afines paralelas. Por tanto las rectas A’-D’ y B’-C’ (que son paralelas a los lados del cuadrado) tienen sus afines en rectas paralelas a los lados del cuadrado en perspectiva: A-D y B-C.

Por tanto solo hay que prolongar las rectas A’-D’ y B’-C’ hasta el Eje de Afinidad y desde allí dibujar paralelas al Eje Y para encontrar los puntos A, B, C y D sobre las diagonales.

Los segmentos A-C y B-D son los ejes de la elipse.

Dibujar la elipse a partir de los ejes es sencillo y hay diferentes métodos.

Pienso que para cualquier examen habitual de bachillerato, selectividad, universidad e incluso oposiciones a profesor de secundaria es más que suficiente con dibujar la elipse a partir de 8 puntos.

Puesto que ya tenemos 4 puntos (A, B, C y D) es sencillo encontrar otros 4 dibujando paralelas a los ejes X e Y desde el centro O. De esta manera, además, conseguimos los puntos de tangencia con el cuadrado en perspectiva (los puntos E, F, G y H)

Para dibujar la circunferencia como elipse en el plano X-Z puedes emplear cualquiera de los dos métodos siguientes:

• Utiliza el eje X como eje de simetría. Si ya tienes dibujada la circunferencia en el plano XY es sencillo dibujar las diagonales del cuadrado en perspectiva en el plano XZ y obtener los puntos 1, 2, 3 y 4, que sean simétricos de A, B, C y D. Observa que las rectas B-C y A-D son simétricas de 2-3 y 1-4 respectivamente.
• Aplica el mismo proceso que para el plano XY. Si no te ha hecho falta dibujar la elipse en el plano XY, lo más sencillo es que apliques el método explicado anteriormente a este plano. Para ello, dibuja el cuadrado en verdadera magnitud con un lado coincidente con el cuadrado en perspectiva. Dibuja seguidamente la circunferencia y las diagonales del cuadrado y encuentra por último los puntos afines de 1′, 2′, 3′ y 4′.

Considero que el método explicado para dibujar la elipse en isométrica mediante afinidad es el más sencillo e inmediato, pero no es el único.

Si sabes cómo funciona el Sistema Axonométrico, apuesto a que el siguiente método también te parece útil.

De todas formas, si lo único que buscabas era resolver la circunferencia como elipse en isométrico, con lo visto hasta ahora tienes suficiente. El resto son métodos alternativos y otras observaciones que pueden resultar interesantes para quien quiera profundizar y entender conceptos nuevos de dibujo técnico.

1.2. La Elipse en Isométrica por Abatimiento

Según explicamos en este artículo, cuando trabajamos en perspectiva isométrica, estamos trabajando con una Axonometría con una determinada posición de los ejes, en la cual los ejes forman 3 ángulos iguales de 120º.

Observa en este dibujo extraído directamente de aquel artículo cómo, cuando trabajamos en perspectiva, en realidad estamos dibujando sobre el Plano del Cuadro.

Pues bien.

Lo que vamos a hacer en este método es abatir sobre el Plano del Cuadro.

O más concretamente, vamos a abatir sobre un plano paralelo al Plano del Cuadro.

Si consigues visualizarlo en el espacio, la intersección del plano XY con el Plano del Cuadro es una recta perpendicular a Z que pasa por el centro de coordenadas.

Nosotros utilizaremos como charnela de abatimiento una recta paralela a esta que pase por el vértice opuesto del cuadrado en perspectiva.

Abatimiento del Centro de Coordenadas

Puesto que sabemos que los ejes X e Y forman un ángulo en la realidad de 90º en el centro de coordenadas, solo tenemos que dibujar un arco capaz de 90º para el segmento 1-2.

Y también sabemos que los puntos se desplazan en perpendicular a la charnela para abatirse.

De esta manera se consigue el punto (O), que es el abatimiento del centro de coordenadas O.

Abatimiento del cuadrado circunscrito a la circunferencia

Al unir (O) con 1 y con 2 obtenemos los ejes (X) e (Y) abatidos (que obviamente forman un ángulo recto entre sí en verdadera magnitud).

Quedaría desplazar los puntos A y B hasta su posición (A) y (B) en abatimiento sobre los ejes (X) e (Y).

Por último, puesto que el punto C pertenece a la charnela, su abatido (C) coincide con él.

De esta manera conseguimos cerrar el cuadrado que circunscribe a la circunferencia, ya en verdadera magnitud en el abatimiento.

Una vez que tenemos el cuadrado abatido, podemos dibujar la circunferencia inscrita, dibujando las diagonales para encontrar el centro (M) y trazando desde este centro una perpendicular a uno de los lados para conocer su radio.

Los puntos (1), (2), (3) y (4) donde la circunferencia corta a las diagonales son los extremos abatidos de los ejes de la elipse. Observa que simplemente trazando perpendiculares a la charnela desde (2) y (4) puedes encontrar los puntos 2 y 4 desabatidos sobre las diagonales del rombo (cuadrado en perspectiva isométrica).

También puedes desabatir las rectas (1)-(2) y (3)-(4).

Solo tienes que prolongarlas hasta la charnela y desde ahí dibujar las rectas paralelas al eje Y hasta que corten las diagonales en los puntos 1, 2, 3 y 4.

Los segmentos 1-3 y 2-4 son los ejes de la elipse.

Con esto ya estamos en la misma situación que en el apartado anterior: dibujar una elipse dados los dos ejes ortogonales.

Como decíamos antes, hay diferentes métodos para dibujar la elipse con estos datos. Para nuestro caso, lo más sencillo, preciso y recomendable es encontrar los puntos de tangencia con el cuadrado en perspectiva.

Para ello solo tienes que dibujar rectas paralelas a los ejes X e Y desde el centro M y esto nos dará los puntos 5, 6, 7 y 8.

Con un total de 8 puntos es fácil dibujar a mano alzada una elipse.

Este segundo método para dibujar la elipse en perspectiva isométrica ocupa más espacio en el papel y tengo la impresión de que necesita algo más de líneas, por lo que yo diría que es menos recomendable que hacerlo por afinidad.

Aun así, no quería desaprovechar la ocasión para presentar este método para que lo aprendieran y entendieran quienes quieren profundizar en el Dibujo Técnico, especialmente aquellos interesados en el Sistema Axonométrico.

2. La Circunferencia como Óvalo en Isométrica

Como te decía al principio del artículo, yo he estado dibujando durante años la circunferencia como óvalo en isométrica.

El método detallado y desarrollado diferentes veces en un ejercicio lo puedes encontrar en este artículo.

Puesto que es probable que en algunas Comunidades Autónomas aún se permita (o incluso se exija) utilizar el óvalo, te dejo aquí el método para que esté todo reunido en un mismo artículo.

En este caso podemos hacer todo el proceso dentro del cuadrado en perspectiva.

Solo tienes que seguir estos pasos:

1. Dibuja las diagonales del rombo. Esto determina el centro O.
2. Dibuja las rectas paralelas a los ejes X e Y que pasan por el centro O. Esto determina los puntos A, B, C y D, puntos de tangencia con el rombo y de enlace entre los arcos del óvalo.
3. Une el punto 4 con A y B para determinar 1 y 2.
4. Dibuja los cuatro arcos del óvalo.
   1. Los puntos 3 y 4 son centros de los arcos C-D y A-B respectivamente
   2. Los puntos 1 y 2 son centros de los arcos A-D y B-C respectivamente

3. Diferencias entre la circunferencia como Óvalo y como Elipse en Isométrica

A continuación puedes ver las diferencias que existen a nivel gráfico entre la elipse (en rojo) y el óvalo (en azul) como representación de la circunferencia en perspectiva isométrica.

Hay que tener en cuenta que la figura que realmente representa a la circunferencia en isométrica es la elipse.

Desde el punto de vista teórico y práctico, estas serían las diferencias principales.

• Exactitud. Probablemente esta sea la diferencia más determinante. En realidad, la figura que representa a la circunferencia en perspectiva isométrica es una elipse. Por tanto, no tiene sentido utilizar el óvalo. Posiblemente el utilizarlo se deba a que es más sencillo de dibujar con el compás y a que su forma es relativamente similar.
• Trazado. Mientras que por lo general la elipse se dibuja a mano alzada, el óvalo se dibuja con el compás, enlazando 4 arcos.
• Sencillez. Dibujar la elipse es un proceso un poco más largo y ocupa más espacio en el papel que dibujar el óvalo. Mientras que este último se resuelve dentro del propio rombo con apenas 6 líneas, para dibujar la elipse necesitas dibujar la circunferencia completa fuera del rombo, bien sea en abatimiento o en afinidad, y después trasladar puntos de nuevo a la perspectiva.

4. Conclusión

El trazado correcto de la circunferencia en perspectiva isométrica corresponde a la elipse.

La elipse es la figura que punto por punto representa con exactitud la circunferencia en este sistema de representación.

Por tanto es la figura correcta que se ha de utilizar.

Durante muchos años ha servido el óvalo como representación de la circunferencia en Isométrica, posiblemente debido a que era bastante similar en su forma y a que es más sencillo de dibujar, además de que se puede trazar con el compás y no a mano alzada.

No obstante, si lo que buscas es la corrección y la precisión, debes utilizar la elipse como representación de la circunferencia en sistema axonométrico y en perspectiva isométrica en particular, ya sea por afinidad o por abatimiento.

Espero que te haya resultado útil este artículo.

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El curso de Sistema Diédrico está dividido en 3 volúmenes.

Empieza desde nivel completamente cero y va subiendo en dificultad hasta el nivel de selectividad (PAU, EBAU), con explicación incluso de distancias, secciones y poliedros regulares.

• Sistema Diédrico 1. Elementos básicos (Punto, Recta y Plano) y Abatimientos
• Sistema Diédrico 2. Giros, Cambios de plano, Paralelismo, Perpendicularidad y Ángulos
• Sistema Diédrico 3. Intersecciones, Distancias, Secciones, Poliedros regulares y Ejercicios de examen

Es ideal para estudiantes de 2º de Bachillerato y Opositores que quieran llegar a entender lo que significa conceptualmente el Sistema Diédrico y manejarlo con soltura gracias a la enorme cantidad de ejercicios y a la ordenada estructura de dificultad creciente.

Para los opositores seguramente faltarían algunos temas como sombras o intersección de sólidos, que por el momento no están incluidos en el curso, pero que son fáciles de entender una vez realizado el curso.

2. Tangencias e inversión

El curso de tangencias parte de nivel cero y va creciendo en dificultad de manera progresiva hasta llegar a los ejercicios más difíciles de oposiciones. Incluye diferentes métodos de resolución (potencia, dilatación, lugares geométricos).

Además el curso incluye un bloque de Inversión en el que no solo se explica este tema sino que además se aplica la inversión a la resolución de ejercicios de tangencias.

El curso es ideal para estudiantes de 2º de Bachillerato y Opositores

3. Cuaderno de Homología

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4. Otros Cursos y libros

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5. Preguntas frecuentes

Aquí he reunido algunos aspectos generales relacionados con los vídeo cursos y que responden a las preguntas que habitualmente me formulan los lectores antes de comprar alguno de ellos.

• Plataforma Udemy. Todos mis vídeo cursos se venden en la plataforma de Udemy, una web 100% segura, con miles de vídeo cursos y millones de alumnos en todo el mundo.
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• Otras preguntas frecuentes

6. Testimonios

A continuación te dejo algunos de los mensajes que me han dejado lectores y seguidores del blog.

He seguido todas tus clases y son muy top. Además me aportan mucho a la hora de la selectividad… Y al no tener clases esto me esta sirviendo para conocer otros temas que no hemos dado… Muchas Gracias en serio

Me ha encantado tu clase, de verdad. Has sido un valiente porque somos muchos y no es fácil, pero quienes hemos querido seguirte lo hemos hecho  Ha sido un placer de verdad, lo he pasado mal cuando te veía queriendo atendernos a todos y te encontrabas mensajes de gente que no está valorando tu esfuerzo…NI CASO. Yo estaba feliz escuchándote. GRACIAS POR TODO

Hola, buenos días, tengo ahora clase con mis alumnos de 2 bachillerato de dibujo técnico y también lo hago online. Pero me gustaría que me dijeras si es posible que tengo que hacer para meterme en esta clase online que das y así poder decírselo a mis alumnos. Pues creo que les vendrá bien como refuerzo. Muchas gracias por todo lo que haces, he visto tus explicaciones y están muy bien, de lo mejor que he visto en internet

Hola Pablo, Mañana no podré conectarme, gracias por todo este tiempo y tu generosidad, me ha encantado seguirte.. y me gustaría continuar practicando contigo en un futuro. Te he comprado el curso de tangencias que he empezado y te explicas muy bien, a parte que el material està muy bién organizado! … a los alumnos y opositores de Catalunya, País Vasco y futuros arquitectos  nos irá muy bién un curso de diédrico directo.. Realmente hace falta y he estado buscando en la web pero hay poca cosa. Así que si lo sacas ya me puedes poner en cola   Que seas muy feliz y de nuevo mil gracias! Hasta pronto!

Estamos a final de curso, con la selectividad y oposiciones a un paso.

He decidido impartir una o varias clases gratuitas en grupo como ya hice durante el confinamiento (ver ejercicios y soluciones) con la intención de ayudar a resolver dudas de última hora y motivar en esta recta final para que sigáis estudiando.

1. Ejercicios

1. 1. Viernes, 14 de mayo de 2021. Ejercicios / Soluciones 1, 2, 3 y 4 / Captura 1, 2, 3, 4 / VÍDEO * Pido disculpas porque durante las 2 primeras horas de grabación del vídeo está en modo de pantalla compartida. Errores del directo. Aun así, creo que puede resultar útil *
      1. Nivel de PAU. Perspectiva caballera.
      2. Nivel de PAU. Diédrico. Pirámide y sección
      3. Oposiciones Extremadura 2018. Diédrico. Tetraedro
      4. EBAU Navarra 2020. Diédrico. Hexaedro
   2. Viernes, 21 de mayo de 2021. Ejercicios / Captura 1, 2, 3, 4 / Solución 1, 2, 3, 4 / VÍDEO * En este caso quiero dar las gracias a Ester de Mediatrizeo por aconsejarme el cambio de plataforma a Youtube Live, que ha mejorado muchísimo la calidad de imagen.
      1. PAU País Vasco 2015. Diédrico Directo. Vistas pieza
      2. Oposiciones Extremadura 2018. Diédrico. Tetraedro
      3. PAU Murcia 2019. Perspectiva Isométrica. Pieza
      4. Nivel de PAU. Diédrico. Octaedro
   3. Viernes, 28 de mayo de 2021. Ejercicios / Captura 1, 2, 3, 4 / Solución 1, 2, 3, 4 / VÍDEO
      1. PAU País Vasco 2015. Diédrico Directo. Abatimiento
      2. Oposiciones. Diédrico. Pirámide: Ángulos y Sombras
      3. Nivel de PAU. Perspectiva Isométrica. Pieza
      4. Nivel de PAU. Diédrico. Esfera y Sección
   4. Martes, 1 de junio de 2021. Ejercicios / Captura 1, 2, 3, 4 / Solución 1, 2, 3, 4 / VÍDEO
      1. PAU Navarra 2020. Diédrico. Octaedro
      2. Oposiciones Cantabria 2018. Diédrico Directo. Pirámide pentagonal
      3. Oposiciones Extremadura 2018. Tetraedro
      4. Oposiciones Extremadura 2018. Tetraedro y sección

2. Cómo acceder a la clase

Todas las clases se imparten:

• A las 17 horas en horario de Madrid (GMT+2)

No hace falta que te apuntes ni te suscribas a nada.

Solo clica el siguiente botón

Te recomiendo que:

1. Conectes al menos 5 minutos antes para que empecemos puntuales.
2. Imprimas los ejercicios para trabajarlos durante la clase.
3. Te suscribas a la lista de correo. Ahí es donde informo de todas estas cosas, por email.

3. Dudas

Envíame tus dudas concretas o los ejercicios que quieres que resolvamos unos días antes de la clase a través de este formulario de contacto o respondiendo a cualquiera de mis emails.

Intentaré resolverlos todos en sucesivas clases.

4. ¿Quieres colaborar?

Las clases son totalmente gratis, pero si quieres echarme una mano, puedes hacerlo aquí.

Al clicar en ese botón accederás a una página de Paypal, una plataforma 100% segura. La aportación mínima es de 5 Euros y en esa página puedes cambiar las cantidades, por si quieres aportar 10, 15, 20 Euros, etc. Puedes pagar con la cuenta de Paypal o con la mayoría de tipos de tarjetas de crédito.

También puedes ayudarme comprando cualquiera de mis cursos, disponibles en Udemy, la mayor plataforma de vídeo-cursos del mundo.

Te veo en clase.