El arquitecto ha tenido que vivir siempre acompañado por un eterno dilema, un dilema que se daba ya en la construcción de las pirámides de Egipto, de las catedrales románicas, góticas, barrocas y renacentistas, en la construcción del Movimiento Moderno y que aún sigue dándose en nuestros días. Es un dilema del que ningún arquitecto se ha podido librar en la historia de la humanidad y que nunca va a desaparecer.

El detonante

Hace unas semanas decidí escribir la crítica al edificio de las Setas en la plaza de la Encarnación de Sevilla. Pensé que sería interesante compartir con todos vosotros la opinión de un arquitecto basada en fundamentos arquitectónicos acerca de una obra de arquitectura trascendente y representativa de nuestro tiempo. Considero que la intervención de las Setas es globalmente una buena aportación a la ciudad de Sevilla.

Unos días después llegó hasta mí un artículo periodístico gracias a mi amiga Virgnia de Estudio a Escala con el siguiente título: Las setas de la Encarnación costarán ahora a cada sevillano 143 euros. Poco a poco fui investigando y vi que este no era el único artículo que iba en este sentido. El edificio de las Setas, a los ojos de muchos medios de comunicación era un derroche innecesario, un gasto excesivo y fuera de control, que se estaba retrasando en el plazo, que estaba costando dinero al ciudadano y que además dañaba la imagen de la ciudad. La imagen de una ciudad tradicional, cuyo centro histórico parece ser intocable.

El gran dilema

En este momento fui consciente del gran dilema que sufre todo arquitecto.

Por un lado el arquitecto tiene la voz de la ilusión, la que analiza las necesidades de un proyecto y propone la mejor solución posible, aquella que ofrezca las mejores cualidades arquitectónicas. Y, por otro lado, el arquitecto tiene la voz de la realidad, que le urge en plazos, le constriñe en presupuestos y le ataca con duras críticas, fundadas o infundadas.

Gracias a la voz de la ilusión, el arquitecto hace todo lo posible por ofrecer:

• El mejor edificio posible al menor precio
• El edificio que mejor resuelva las necesidades de su cliente, el que sea más útil y bello para los usuarios
• El edificio que mejor encaje en su entorno urbano, el que resuelva de manera más eficiente y armónica las circulaciones
• El edificio que distribuya de manera más ordenada y proporcionada las diferentes funciones
• Los materiales que soporten con mayor dignidad el paso del tiempo, aquellos que acompañen al edificio a lo largo de los años y cuya belleza sea eterna.

Por la voz de la realidad, el arquitecto debe:

• Recibir críticas de cualquier persona, con formación o sin ella, porque la arquitectura afecta a la ciudad y a la forma de vivir de sus habitantes
• Coordinar y motivar a un gran equipo formado por el cliente, los técnicos, los contratistas y los subcontratistas y ponerlos de acuerdo en la persecución de un ideal común: obtener el mejor proyecto posible.
• Saber discernir si cada agente de la construcción está trabajando por el bien del proyecto o solo pretende enriquecerse, a costa de la calidad del conjunto.
• Ajustarse a un presupuesto que siempre es escaso en comparación con las expectativas del cliente
• Ajustarse y hacerse responsable de unos plazos limitados que en la mayoría de los casos no ha impuesto y que varían sin que él tenga nada que ver en ello.
• Recibir la presión de los medios de comunicación , especialmente cuando se trata de obras dependientes de presupuesto público

Esta doble realidad a la que se tiene que enfrentar el arquitecto en el día a día es una dura lucha entre los intereses del proyecto y todo el conjunto de condiciones externas que le afectan.

Por eso,

1. la sola lucha diaria en defensa de una arquitectura de calidad es ya de por sí digna de alabanza
2. conseguir acabar dignamente un proyecto, en plazo y presupuesto y conseguir que el cliente, los usuarios y el resto de agentes estén satisfechos es toda una proeza.

Saber llevar esta lucha a buen puerto y construir un edificio digno no es fácil. Requiere mucha experiencia. Por eso se hacen concursos para jóvenes arquitectos de hasta 40 años. También se dice que un arquitecto no lo es realmente hasta que cumple 50 años. Hacen falta muchos conocimientos teóricos y mucha experiencia práctica para conciliar los intereses del proyecto con los de todos los agentes implicados.

De la voz de la ilusión se habla extensamente en la Escuela de Arquitectura y en las revistas y libros de Arquitectura. Pero de la voz de la realidad nadie te habla sincera y abiertamente hasta que es ella quien te persigue cuando empiezas a ejercer la profesión. Si eres estudiante y quieres recibir una dosis de realidad antes de que sea demasiado tarde, haz prácticas de empresa, en una o varias ocasiones. Esto te permitirá saber si el camino que estás haciendo te lleva hacia donde tú quieres.

Una cuestión milenaria

Este dilema ha existido siempre. La construcción de cualquiera de los edificios que hoy admiramos como maravillosas obras de arte, ya sean palacios, catedrales, casas unifamiliares, edificios de oficinas o museos estuvieron sometidos a condiciones similares. Cualquier edificio institucional o eclesiástico de estilo barroco en cualquier ciudad del mundo no fue aceptado con facilidad por sus ciudadanos porque seguro que “no encajaba”. Además estaba construido en gran parte con dinero público por lo que seguro que no hizo ninguna gracia derrochar el dinero de todos. Mientras duraban las obras había grandes detractores que seguro criticaban duramente aquella monstruosidad y a las personas encargadas de ello.

Sin embargo hoy los observamos como obras de arte. Pensamos que han estado ahí siempre y que es maravilloso que en aquella época tuvieran tan buen gusto para construir, no como ahora, que sólo se hacen atrocidades.

Pues en aquel momento en que se construyeron los más importantes templos griegos, las grandes pirámides de Egipto, las basílicas otomanas, la torre Eiffel y todos los monumentos que hoy admiramos, todos ellos en su época eran atrocidades. Así que más nos valdría a todos tener más respeto por el trabajo de los demás. Hacer construcciones de calidad no es fácil, innovar es poner en tela de juicio lo existente y esto no gusta.

Ánimo

De todas las atrocidades construidas en el pasado y que hoy declaramos como monumentos de la humanidad, el arquitecto ha sido siempre el intermediario último responsable, el que ha tenido que dar la cara para bien y para mal de lo que ocurre en la obra.

Por eso, quiero dirigirme a ti, arquitecto que estás en activo:

Has de saber que no estás solo y que no eres el único al que le ocurre. Mantente firme en tus ideales. La lucha es dura pero efímera; el resultado merece la pena y perdurará en el tiempo.

La arquitectura influye de manera decisiva en las ciudades mueve grandes presupuesto, lo que la convierten en blanco fácil para las críticas.

Todo arquitecto lucha constantemente por defender la calidad del proyecto frente a nocivas influencias externas

***

Y tú, ¿qué opinas? ¿Crees que de verdad el arquitecto sufre este dilema en el ejercicio de su profesión? Déjanos tu opinión en la sección de comentarios

***

Próxima publicación

Durante las últimas semanas he estado trabajando a pleno rendimiento en mi próxima publicación que verá la luz en breve. En este nuevo libro te propongo un método de trabajo que te hará aumentar tu rendimiento 9 veces. ¿Qué harías si pudieras ahorrar 1.500 euros cada mes? Si eres arquitecto, te interesará. Sacaré una oferta especial del libro en pre-venta para todos los suscriptores a la Lista de Correo, así que no dejes pasar la oportunidad y apúntate ya.

Llevaba tiempo con ganas de escribir un artículo en el que pudieras descubrir facetas mías más personales y menos relacionadas con el dibujo técnico, la arquitectura o trabajar en el extranjero.

Pretendía que hubiera sido para mi cumpleaños, por lo que habría enlazado los 32 años que cumplí el pasado mes de julio (hace 6 meses) con 32 aspectos de mi vida. Puesto que este tipo de relaciones a veces me parecen absurdas, que en aquel momento no encontré la inspiración y, además siempre he preferido hacer las cosas cuando me ha apetecido en lugar de cuando está establecido (cumpleaños, regalos de navidad, día de San Valentín…) os traigo hoy (un día cualquiera) mis 25 (un número cualquiera) debilidades… Bueno, pues porque hoy es cuando me ha apetecido.

Son aquellas cosas que me encantan y que disfruto con locura hasta tal punto que se convierten en un punto débil, algo que no puedo controlar. También podría denominarlas pasiones.

Me gustaría saber si tenemos algunas en común Si es así, déjalo en los comentarios

25. La danza contemporánea

Este medio de expresión era desconocido para mí hasta que lo probé por primera vez en el Centro de Artes Escénicas de Jaén en 2011 y desde entonces ha quedado enraizado en mí como una de mis grandes pasiones. En lugar explicar lo que siento cuando veo danza o, sobre todo, cuando la practico os dejo algo que escribí el 7 de septiembre de 2013 mientras aún vivía en Basilea:

Me parece que sigue reflejando lo que siento y pienso

Clica para ver más grande

Os dejo a continuación un vídeo de danza contemporánea, para quien desconozca lo que es. Uno de los bailarines principales es un buen amigo que poco a poco se está abriendo camino profesional en la danza.

24. La natación

Esto me viene desde la adolescencia, desde que tenía 12 años. Estuve casi 7 años entrenando en el Club Natación Jaén. Aparte de aprender valores esenciales como el espíritu de superación, el compañerismo y la lealtad, nadar durante tanto tiempo me dio grandes amigos y me hizo amar el deporte para cuidar cuerpo y mente.

Una tendinitis probablemente crónica en el hombro me apartó de la natación. Ahora no puedo hacer más de 1.500 metros seguidos y voy al Club Natación Masters Jaén (los mayores de 25 años) solo para saludar, pero las sensaciones cuando terminas de la piscina siguen siendo incomparables. Me siento más ligero, más feliz, más tranquilo, más en forma…

23. Las hamburguesas

Sí, me gusta hacer deporte pero las hamburguesas son una debilidad. Me gusta probarlas en todos los sitios a donde voy. Me encanta pringarme las manos con las salsas y disfruto cada bocado, cada segundo. Quienes me conocen lo saben

Considero que son muy importantes dos cosas:

1. La buena compañía. Con todo el mundo no puedes chuparte los dedos.
2. Que tengan un huevo frito, eso ya las hace irresistibles.

22. La música que…

• Me activa: ACDC, Moby, Franz Ferdinand, U2, Radiohead
• Me emociona: Ludovico Einaudi, People help the people, Bonobo

La música que me relaja está bien, pero tampoco la definiría como una de mis pasiones.

Si tuviera que poner una banda sonora que representara algo de mi personalidad, creo que me decantaría por estas 2 canciones:

Black Sands, de Bonobo

Lotus Flower, de Radiohead

El concierto que he visto una y otra vez y no me canso de ver es U2 en Chicago en la gira Vertigo Tour.

21. Los olores

Pasar por la calle y de repente reconocer un olor es algo que me encanta. A veces no sé a qué me recuerda pero sé que me recuerda a algo. En otras ocasiones me viene directamente la imagen a la mente. Por ejemplo, podría poner ahora mismo un agradable olor a la cocina de la oficina en la que trabajaba en Ámsterdam. O a una piscina cubierta. Me sigue fascinando la cantidad de recuerdos y emociones que algo tan liviano como un olor puede traer. Es como volver a vivirlo todo otra vez.

20. Volar en avión

Lo encuentro superemocionante. La fuerza que siento, la velocidad que alcanza y de la que solo soy consciente al despegar y al aterrizar, el verme allí tan arriba, dando curvas de vez en cuando… Y lo rápido que te lleva a cualquier punta del planeta. En el rato que vas en metro de tu casa al teatro te lleva el avión de Cádiz a Bilbao. Me parece fascinante.

19. Disfrutar del silencio

Es ese rato para disfrutar de mí, escuchar lo que normalmente es inapreciable y entrar en calma conmigo mismo. En un mundo ruidoso, rápido y atropellado, el silencio y la calma me llenan el espíritu y me reportan gran energía.

18. Comunicarme en otros idiomas

Más que aprender idiomas, diría que me apasiona llegar a comunicarme con personas en idiomas diferentes de mi lengua materna. Por supuesto, si el que ha aprendido el otro idioma soy yo, la satisfacción es aún mayor. Supongo que por esa pasión me ha llevado a dominar con bastante soltura el inglés y el alemán y a aprender holandés, suizo y catalán hasta el punto de poder manejarme en la vida cotidiana. Incluso he diseñado mi propio método para aprender alemán en 4 meses

17. Dormir la siesta

Esto que tanto se nos atribuye a los andaluces está profundamente arraigado en mí. Comer y no dormir la siesta es algo que no llevo bien. Lo necesito aunque solo sean diez minutos. Me gustaría además remarcar que no hay solo una siesta como mucha gente piensa. Los “profesionales del buen siesteo” sabemos que existen al menos tres siestas diferentes:

1. Después de desayunar. Sí, no me mires así. A quien se la he enseñado y la ha probado, repite, es irresistible. Con la barriga un poco llena del desayuno te vuelves a meter otra vez calentito en la cama y ya me contarás. Reconozco que esta cada vez la practico menos.
2. Antes del almuerzo, cuando te quedas dormido mientras ves los Simpsons porque estás esperando a alguien para comer juntos o estás haciendo hora. Se caracteriza porque se suele caer la baba. Si es en invierno, recomiendo que te dé un poco el solecito en las piernas.
3. Después del almuerzo, es la más popular. A quienes no la controlan suelen dormir dos o tres horas y levantarse peor de lo que se acostaron. El secreto está en dormir entre 10 minutos y una hora y media. Aunque tengo un amigo que recomienda que la siesta del verano sea de 16.00 a 20.00 horas… Yo esto lo encuentro un poco exagerado, pero quizá él ha alcanzado el siguiente nivel.

Nunca debes intentar hacer las tres el mismo día, es contraproducente. Prueba como máximo dos e incluye entre ellas siempre la tercera.

16. Leer

Buscar un sitio cómodo, tranquilo, coger mi libro y ponerme a leer es uno de esos pequeños grandes placeres que me gusta regalarme. Lógicamente me gustan los libros con los que entro en sintonía y estos suelen ser los que me ponen las pilas. En los últimos tiempos los que han tenido más efecto han sido The Millionaire Fastlane de MJ de Marco, La semana laboral de 4 horas de Tim Ferriss y Sex Code de Mario Luna. Los tres son espectaculares, pura energía.

Inspirarme y llenarme de buena energía sentado tranquilamente es disfrutar de la vida.

15. Preparar bocadillos

Cocinar en general está bien, pero preparar bocadillos es lo mejor, especialmente si llevan salsas de tipo mahonesa, kétchup o parecidas y si mezclo varios ingredientes. Siempre me lo han dicho: cuando me como el bocadillo lo disfruto pero casi disfruto más cuando lo preparo. El ingrediente secreto, el que nunca falla, es el tomate natural, cortado en rodajas; cualquier bocadillo mejora inmediatamente.

14. Ver deportes en directo

Hay dos cosas que me encantan de ver gente haciendo deporte:

1. La energía que transmiten: el deporte saca lo mejor del ser humano, su espíritu competitivo y de superación.
2. El espíritu de equipo: la colaboración con los demás y el respeto hacen que mejore el resultado final.

En ocasiones en que estoy triste o de bajón, sólo el hecho de ver a alguien practicar un deporte me anima. Verlo por la tele me parece sin embargo demasiado distante.

No obstante, si hay algo mejor que ver deporte es practicar deporte. Cualquiera. Los que más disfruto son: squash, fútbol sala, baloncesto, tenis y pádel, aparte de la natación como ya he comentado antes. Todos ellos dejan una sensaciones espectaculares en mí.

13. Bañarme de noche

Esto es algo que en Jaén se puede hacer muy bien en verano, porque las temperaturas no suelen superar los 32ºC. Pegarse un chapuzón en el silencio y en la oscuridad no tiene precio.

12. Subir a los sitios más altos

Me encantan las vistas desde los puntos más elevados de las ciudades o de las montañas. Subir a un rascacielos, a una catedral o a una colina me permite llevar los ojos al infinito. Esta sensación de grandeza, de amplitud, de estar lo más alto posible me hace sentir estupendamente. Siempre me ha gustado subir a las azoteas de los edificios.

11. Los parques de atracciones

Supongo que las montañas rusas y este tipo de atracciones un poco radicales me hacen sentir vivo, que mi corazón y mis pulmones funcionan y se pueden poner al máximo rendimiento. A veces soy un poco cagao antes de animarme pero lo hago decididamente y el resultado siempre merece la pena. ¡Un subidón de adrenalina!

10. El tapeo

Eso de que en Jaén, Granada y algunas otras provincias tengas una tapa junto con la caña de cerveza crea mucha afición. Acompaña mucho a cualquier conversación. El mejor tapeo es a mediodía en los días soleados de invierno, donde incluso puedes sentarte en una terraza a comerte unas aceitunitas. Pero a cualquier hora sienta bien Una de las cosas que más me gusta es rebañar los platos, comerme las miguitas que quedan mientras aún mantienes la conversación.

9. Mi familia

He aquí una de mis grandes debilidades, de las que cada vez tienen más peso y que con más gusto se llevan. Además, puesto que cada vez es más grande, hay más ilusión para repartir. Con mis padres, cuatro sobrinos y tres hermanos con sus respectivas parejas siento que empezamos a ser una gran familia que está cada vez más unida, aun a pesar de la distancia.

Ellos tuvieron en gran parte la culpa de que volviera del extranjero, ¡los echaba tanto de menos! Aunque seguimos sin vernos muy a menudo, la distancia ahora es menor y eso se nota.

8. Un botellón con mis amigos

Puede valer también una barbacoa, una comida o una cena. Lo importante es que nos juntemos, hablemos de lo que estamos haciendo, de lo que nos preocupa, de lo que nos ilusiona y en poco rato estemos contando chistes y haciendo bromas. No importa el tiempo que pase ni lo que a cada uno le ocurra; en pocos minutos todos tenemos la sensación de que todo sigue igual.

Me alegra saber que tengo un buen grupo de amigos y que nos llevamos bien desde hace muchos años. ¡A alguno lo conozco desde hace 29 años! Siempre están ahí para transmitirme apoyo, alegría, inspiración y confianza.

Después de mi familia son lo que más echo de menos desde que vivo lejos de mi tierra. De todas formas, aunque volviera a vivir a Jaén tampoco estarían allí. Debido a la situación financiera y a las decisiones de cada uno, todos han tenido que irse a vivir a otras ciudades en Andalucía, Madrid, Gran Bretaña, Dinamarca o Estados Unidos.

7. Un vaso de Coca-Cola bien frío, con mucho hielo y limón

Abrir una lata de Coca-Cola (una botella también vale, pero el sonido inconfundible de la lata le da aún más glamour), verterla completamente en un vaso grande de cristal que contenga MUCHOS cubitos de hielo y una rodajita de limón, escuchar el sonido de las burbujas y notar cómo te salpican en los labios cuando le das el primer trago… Este es uno de mis grandes placeres especialmente en días calurosos, aunque vale para todo el año. (Nota: se puede usar también un vaso grande de plástico, los conocidos como “cubas”, “macetas” o “litros”)

Lo mejor de todo, como siempre, la buena compañía, que sonríe mientras me ve disfrutar de algo tan sencillo.

6. Mis sueños no cumplidos

Esas cosas que deseo con fuerza y que aún no he conseguido me hacen vibrar y vivir con ilusión. Especialmente los viajes. Desde hace ya más años de los que me gustaría (al menos 5) sueño con hacer un viaje largo por Sudamérica de al menos 6 meses. Tengo ganas de conocer especialmente Chile, Colombia, Argentina y Brasil y visitar buenos amigos que tengo allá. Cuba también estaría entre mis destinos favoritos.

Si me propones un viaje de este tipo, será difícil que no me veas brillar los ojos de ilusión.

5. La feria de Jaén

¡Esa feria buena! En parte esta debilidad mía tiene que ver con los buenos recuerdos que guardo y con encontrarme a gente conocida por allí. Pero no es solo eso, porque cuando viene algún amigo de fuera a visitarla, siempre repite, y él no tiene recuerdos previos ni conocía a nadie más.

La feria de Jaén es alegre y abierta. Si quieres visitar Jaén creo que esta sería la mejor época. San Lucas es el patrón y se celebra el 18 de octubre.  He faltado algunos años por estar viviendo fuera de España pero espero que no se vuelva a repetir

4. Bromear y hacer el tonto

Me encanta hacer reír a los demás. No soy bueno contando chistes, la verdad es que soy bastante malo, pero me gusta hacer paridas e incluso ponerme en ridículo si eso hace reír a quienes tengo a mi alrededor. Siempre estoy para una broma y una de las herramientas que utilizamos mucho (en Andalucía, en Jaén y en mi familia) es el sarcasmo. Esto lleva a veces a confusiones con gente de fuera, pero es parte de la gracia de la vida.

Es cierto que con el paso de los años esta faceta de hacer el tonto va perdiendo protagonismo en mi personalidad. Tendré que trabajarla más intensamente porque la considero MUY IMPORTANTE y tú también deberías.

3. El chocolate

Tengo que reconocerlo, el chocolate y la Nutella son una de mis grandes debilidades. A mí me parece que no como tanto, pero quienes me conocen dicen que como más chocolate de lo que debería… En realidad, quizá ellos comen menos de lo que deberían… Bueno, la verdad es que me pirro por un helado de chocolate, o por unas galletas de chocolate, o por… ¡basta!

2. La playa

En cuanto a entornos en la naturaleza podría decir que me gustan mucho las choperas por ese orden natural y el espacio que dejan abovedado, en sombra… Es muy bonito. También podría decir que me gusta subir a las montañas, caminar por ellas y escuchar el silencio y el viento.

Pero si tengo que decantarme por uno entre todos, quizá elegiría la playa. El mar, tan inmenso ante mí me transmite paz y me hace sentir que nada de lo que piense o me preocupe tiene importancia. Me hace sentir tan pequeño y ver que todo está en orden, que todo sigue su curso natural. El ir y venir de las olas, los pies clavados en la arena recibiendo un agradable masaje, la brisa silbando en los oídos…

¡Tengo ganas de playa!

Además, me considero un poco anfibio, no sólo por haber nadado muchos años, sino porque me encanta estar en el agua y la diversión que traen las olas del mar agudiza este interés.

1. Anna

Esta es mi gran debilidad, la mayor de todas, con lo dulce que es

Nos conocimos gracias a Esteban al borde del Rhin en Basilea y ya no pude quitarle la vista de encima nunca más

***

¿Cuál es tu mayor debilidad/pasión? ¿Coincidimos en alguna?

Hola, ¿qué tal?

Estoy encantado de poder anunciar que la próxima semana publicaré mi segundo libro. Estoy impaciente por ver qué acogida tiene entre vosotros. Han sido muchos meses de ilusión y trabajo. ¡Veremos cómo va!

Pero antes de eso, vamos con el artículo hoy y una de las capacidades más sorprendentes que he descubierto del ser humano: la capacidad de aprender de manera acelerada. Cuando tienes que aprender algo en un breve plazo de tiempo, por algún motivo los planetas se alinean, tú le pones todas las ganas del mundo y al final consigues tu objetivo.

En este artículo quiero compartir contigo 5 casos de aprendizaje express reales que demuestran que es posible aprender a un ritmo que puede parecer impensable para los demás.

No te pongas límites, supéralos. No subestimes tu capacidad de aprender, uedes conseguir lo que quieras. Eres una máquina. Como dice Inknowation, lo que tienes entre las orejas es pura dinamita. Aprovéchala.

1. Aprende a dibujar en perspectiva en 20 días: el caso de Ramón

Hace unas semanas tuve un caso de un alumno excepcional. Ramón tiene 35 años, lleva casi 20 años trabajando y nunca estudió bachillerato ni secundaria. El año pasado decidió prepararse para las Pruebas de Acceso a la Universidad para mayores de 25 años. ¡Menuda fuerza de voluntad la suya! El caso es que consiguió pasar los exámenes y ha empezado a estudiar una ingeniería por la UNED, la Universidad a Distancia.

Miércoles 7 de enero de 2015

Ramón se pone en contacto conmigo por primera vez. Me cuenta que tiene el examen el día 28 de enero y que no tiene mucha idea del dibujo técnico pero que está dispuesto a hacer todo lo posible por aprobar la asignatura. Según dice ha pedido dos semanas de vacaciones en el trabajo para poder estudiar y quiere dedicarse con intensidad al dibujo técnico.

Esta buena predisposición me gusta mucho y tenemos la primera clase al día siguiente.

Jueves 8 de enero de 2015

Ramón trae un montón de ejercicios y modelos de examen. Selecciono uno de entre todos ellos que me parece sencillo para ver qué nivel tiene y me dice que no sabe por dónde empezar. Es un ejercicio en el que hay que dibujar una perspectiva a partir de las vistas de una pieza relativamente sencilla. He de reconocer que se me viene el alma a los pies. A falta de 20 días para el examen y sin saber siquiera coger las reglas para dibujar en perspectiva. Ramón no tiene las nociones mínimas de dibujar en perspectiva ni de resolver piezas. Ante este panorama, auguro lo peor.

Tenemos clase durante 3 horas y al terminar me pregunta qué ejercicios puede resolver y me pide clase para el día siguiente. Con gusto por ver tanta motivación acepto

Viernes 9 de enero de 2015

Compruebo para mi sorpresa que Ramón ha intentado resolver al menos 5 piezas con las pocas nociones que habíamos visto el día anterior. En muchas de las cosas se equivoca, lógicamente, pero veo que ha aprendido mucho de tanto intentarlo y empieza a aplicar correctamente coeficientes de reducción y escalas. Tenemos nuevamente 3 horas de clase. Al terminar le doy para su casa muchos ejercicios sencillos, al menos 8 perspectivas de nivel básico de bachillerato para que se vaya soltando desde el nivel básico, vaya afianzando los conceptos fundamentales y así pueda afrontar los ejercicios de nivel de universidad con una buena base.

Al marcharse vuelve a pedirme clase para el fin de semana. Me cuenta que está de vacaciones y que es el momento de apretar con la asignatura. Con mucho gusto acepto.

Domingo 11 de enero de 2015

Ramón me trae TODOS los ejercicios que le había mandado resueltos y la mayoría están perfectos. Apenas 3 días de trabajo intenso con mi tutela durante 6 horas de clase le han bastado para ponerse al menos al nivel de 1º de bachillerato.

No salgo de mi asombro.

Calculo que habrá trabajado en su casa una media de 6-7 horas diarias, aparte de las 6 horas totales de clase, lo que hacen un total de unas 25 horas intensivas de trabajo en 3 días.

Termino de introducirle algunos conceptos básicos, métodos como el de dibujar la circunferencia en todos los tipos de perspectivas que necesita (isométrica, dimétrica y caballera) y desde el punto de vista de la teoría estamos listos; solo falta hacer muchos ejercicios hasta que se sienta seguro y capaz de resolver cualquiera.

Así se van sucediendo los días, con una media de 4 o 5 clases a la semana de 3 horas cada una y con Ramón trabajando al máximo en casa, resolviendo al menos 4 ejercicios completos cada día.

Jueves 15 de enero de 2015

Ha pasado tan solo una semana desde que Ramón vino por primera vez y consigue resolver casi completamente perspectivas de selectividad. A veces se queda atrancado, se lía con tanta línea y se bloquea. Yo creo que es más por miedo e impaciencia que por desconocimiento, pero hay que reconocer que su evolución ha sido impresionante y es perfectamente razonable que cometa errores, que se sienta inseguro y que se desespere.

En clase empezamos a resolver ejercicios propios de su carrera, que son más difíciles y él va resolviendo en casa los más sencillos de nivel de selectividad.

A partir de este día Ramón empieza a repartir sus fuerzas. Tiene otra asignatura a la que tiene que dedicarle esfuerzo y su nivel de dedicación al dibujo técnico disminuye. Aun así, seguimos teniendo clase cada día o cada dos días hasta el domingo 18 de enero.

Lunes 19 de enero de 2015

Ramón vuelve a su trabajo, se acabaron las vacaciones.

A partir de este momento solo podemos dedicar una o dos horas cada 3 días; además se nota que el cansancio del trabajo le está haciendo mella. No solo resuelve menos ejercicios en casa sino que en clase está más disperso y agotado. Compatibiliza el dibujo técnico con la otra asignatura y está empezando incluso a perder horas de sueño.

Comienza a plantearse si debe hacer el examen el día 28 de enero o dejarlo para septiembre.

Miércoles 28 de enero de 2015

Ramón decide hacer su examen. En cierto modo yo era de la misma opinión. Es cierto que no va perfectamente preparado, pero al menos podrá defenderse. Lo único que le va a faltar es tiempo. Si tuviera el doble de tiempo para el examen estoy casi seguro de que lo aprobaría. No tiene mucha costumbre de dibujar, solo lo que ha aprendido conmigo en los últimos 21 días, así que, aunque lo va haciendo correctamente, va un poco lento. Es normal.

Me comenta que se ha defendido como ha podido y que necesitaría un milagro para aprobar. Yo le digo que a veces los milagros ocurren. Aún estamos a la espera de las notas.

Conclusión

El caso de Ramón es el más sorprendente que me he encontrado de aprendizaje express en un alumno de dibujo técnico. En solo 7 días pasó de no tener ni idea de cómo empezar a dibujar una perspectiva a resolver piezas de 1º de bachillerato y en 11 días a resolver piezas de 2º de bachillerato. Lamentablemente los últimos días tuvo que bajar el ritmo debido al trabajo y a la otra asignatura pero pienso que, de no haber sido por eso, en 20 días habría llevado perfectamente preparado el examen de nivel de Ingeniería en la universidad.

Aun así no perdemos la esperanza. Quizá lo haya aprobado. Si es así, en solo 20 días habría pasado de 0 a aprobar un examen de nivel universitario.

En todo caso, Ramón ha conseguido en 20 días lo que a cualquiera le lleva 2 o 3 años de instituto. Quien me diga que aprender a un ritmo especialmente acelerado es imposible y no tiene sentido, tiene que conocer este caso.

¿Cuáles fueron las claves de este aprendizaje acelerado?

Comprobaremos con los siguientes ejemplos que estas mismas claves se repiten.

1. Motivación: Ramón entró en la universidad por iniciativa propia, nadie le obligó, sabía que era lo mejor que podía hacer. Vino a mí porque quería aprobar. Vino a darlo todo, al máximo, a no dejar escapar la oportunidad. Había incluso reservado los días de vacaciones del año para dedicarlos a estudiar.
2. Acción: Ramón podría haber adoptado una actitud pasiva: podía haberse quedado en su trabajo lamentándose toda la vida por no haber estudiado; podía haberse quedado en casa quejándose por no haber aprendido nunca dibujo técnico y por no entender nada de los ejercicios, pero en lugar de eso buscó ayuda y se implicó activamente. Supo que nadie le regalaría nada, que los conocimientos no entrarían en su cabeza simplemente porque sí. Así que no escatimó en medios y buscó un profesor particular que se implicara con él al 100%. Pero ir a clases puede ser también pasivo: vas, escuchas lo que te cuentan y vuelves a casa. Pero dedicarle 6 horas al día aparte de las clases es asumir la responsabilidad y adoptar una actitud activa.
3. Dedicación exclusiva: durante los primeros días Ramón no tenía ningún otro objetivo en la cabeza, nada que le distrajese de su meta. Estaba dedicado al 100% a aprender dibujo técnico y a aprobar el examen. Cuando se despertaba dibujaba, después de comer dibujaba, luego se iba a clases de dibujo y antes de acostarse dibujaba. Tenía la mente totalmente enfocada en su objetivo, dormía con él en mente y así es difícil no progresar de forma acelerada.
4. Constancia: Una vez que pasó a la acción, buscando un profesor de dibujo e implicándose al máximo en la realización de los ejercicios mantuvo la mente fría y la fuerza de voluntad de seguir hasta el final, hasta que no le quedara más tiempo o más energía. Recuerdo que cuando empezó a trabajar venía cansado y se le notaba en la concentración. Ahí era fácil desistir, pero se mantuvo firme en su creencia y prosiguió.

Cuatro claves para un objetivo:

1. Motivación
2. Acción
3. Dedicación exclusiva
4. Constancia

Si falla alguna de las cuatro, estás perdido.

2. Haz un proyecto de Arquitectura en 4 días: los workshops

La primera vez que oí hablar de workshops fue en 4º de carrera, en la asignatura de Proyectos. Hicimos un intercambio con la Universidad de Copenhague, con la Royal Danish Academy of Fine Arts. Haríamos un workshop de 4 días de duración en la Universidad de Granada y otro igual en Dinamarca, en equipos de 4 personas, con 2 personas de cada universidad.

La experiencia fue genial. Se trataba de conseguir un proyecto coherente y lo mejor explicado posible en solo 4 días. Normalmente un proyecto durante la carrera dura entre 2 y 4 meses, así que el reto estaba servido.

4 días intensos de trabajo

El primer día se presentaban las bases del proyecto, se definía el lugar, se hacía una visita para verlo y cada grupo empezaba a trabajar. Los 2 días siguientes eran totalmente intensivos de trabajo: producción de maquetas, producción de dibujos a mano o a ordenador, a línea o manchados, investigación, retoque de fotografías… Todo valía. Es superinspirador trabajar en un ambiente así. Era motivador ver que el grupo de al lado estaba haciendo algo totalmente distinto a lo de tu grupo, a pesar de haber partido de las mismas premisas.

Todo fluía, la información, las formas de representar, los conceptos… Dar una vuelta por aquella aula te permitía empaparte de la forma de trabajar de 30 personas, tomar lo que más te gustaba y transformarlo a tu gusto, para adaptarlo a tu proyecto, a tu forma de pensar y a tu forma de trabajar.

En el último día, además de correr para terminar las presentaciones se exponían todos los proyectos.

Los resultados eran sorprendentes. En solo 4 días de trabajo cada grupo había conseguido producir lo que normalmente se lleva 1 o 2 meses. Obviamente los proyectos no estaban terminados, pero estaban suficientemente bien argumentados como para poder seguir trabajando sobre ellos de manera coherente hasta desarrollar un proyecto definitivo.

El Máster en Vivienda Colectiva

Haber conocido cómo se trabajaba y cuánto se aprendía en un workshop fue decisivo para que optara por hacer el Máster de Vivienda Colectiva en 2009. Tras reunirme con su director José María de Lapuerta (a quien entrevisté yo hace poco) y que este me informara de que se hacían al menos 8 workshops o talleres intensivos lo tuve claro. El aprendizaje sería express y eso me encantaba.

Paneles resumen del resultado de un workshop de 4 días en colaboración con Kattalin Aurtentxe

Tras haber hecho al menos 12 workshops universitarios de arquitectura en mi vida puedo decir que:

1. La obligación de tener que producir un resultado en un plazo breve de tiempo te obliga a eso mismo, a producir. Hablar, divagar y pensar no sirve de mucho hasta que no se plasma en algo concreto. Un workshop te hace pasar a la acción. Pensar es pasivo. Es necesario actuar.
2. Puesto que la dedicación es exclusiva y los plazos muy cortos, el aprendizaje es superacelerado. ¿No sabes cómo retocar una fotografía? Le preguntas al de al lado y en media hora ya manejas los programas y las herramientas básicas. ¿No sabes dónde encontrar cierta información que necesitas? Ya te buscarás la vida para conseguirlo en pocos minutos porque si te duermes se te pasa el tiempo. ¿No sabes cómo hacer una maqueta de cartón o de porexpan? No tienes tiempo que perder, pruebas hasta que aprendes y en media hora tienes tu maqueta. Aprendes a base de producir rápido.
3. Aprendes a dejar que fluya. Trabajar en grupo es una de las habilidades más importantes para el éxito. En este tipo de workshops aprendes a confiar en tu compañero; quien tienes al lado está igual de capacitado que tú y sus ideas son igual de válidas. Si lo dejas que actúe libremente, seguro que da lo mejor de sí. Aprovechando lo mejor de cada uno se llegará al mejor proyecto posible. No puedes tener todo controlado: da lo mejor de ti, confía en tu compañero y sigue trabajando con ilusión porque sabes que terminará saliendo bien.

Conclusión

Trabajar en workshops intensivos de 4-5 días es una de las maneras más aceleradas de aprendizaje que he visto. Para toma de datos, análisis, realización de bocetos, maquetas y croquis, producción de planos, imágenes y esquemas y presentación del material final, los workshops son una máquina de aprendizaje.

Me atrevo incluso a decir que funcionan mejor que el largo plazo. El plazo es muy corto así que te tienes quedar con lo esencial, con lo importante. El objetivo está claro y tienes que ir a por él en solo un par de días.

Cuando tienes varios meses para hacerlo te pierdes dando vueltas, andas por las ramas, vas de aquí para allá hasta que te das cuenta de que se está aproximando la fecha en que tienes que entregar y es cuando te pones las pilas. Entonces tienes que retomar el objetivo desde el principio, ir a las bases y ver, de todo lo que has analizado, qué te sirve y qué no. Es decir, de todo el trabajo que has hecho desecharás mucho por ser inútil. Y esto tiene que ver con haber perdido el foco durante largo tiempo, por haberte despistado de tu objetivo.

3. Aprende alemán de manera autodidacta en 4 meses

Ya te he hablado en diversas ocasiones de que es posible aprender un idioma en 4 meses. No me extenderé mucho, porque en este artículo te conté con detalle cómo hacerlo de manera autodidacta. Solo comentarte que en realidad las 4 claves que necesitas para aprenderlo son las mismas de las que he hablado en el primer apartado: motivación, acción, dedicación exclusiva y constancia.

Aprovecho esta ocasión para contestar públicamente a quienes me han hecho algunas consultas por email, así todos os podéis beneficiar de ello y aplicarlo.

¿Realmente es posible en 4 meses?

Sí, yo lo he hecho. Y si yo lo he hecho, cualquiera puede. El 15 de septiembre de 2011 empecé a estudiar yo solo y a mediados de enero estaba ya aproximadamente en un nivel B2, quizá no para aprobar el examen sobrado pero sí para defenderme bien.

¿Creerías que es posible aprenderlo en 4 meses si se tratara de un curso de inmersión en Alemania, con 6 horas de clase diarias y convivencia con nativos? Yo lo único que te propongo con mi método es que te ahorres miles de euros en ese tipo de cursos y lo hagas tranquilamente desde tu casa.

Hay incluso quienes dicen que en 3 meses se puede hacer y yo me lo creo. Recuerda que yo lo aprendí de forma autodidacta mientras vivía en Jaén así que mis posibilidades para poner el idioma en práctica eran nulas. Si te buscas unas condiciones de contorno mejores, aprender un idioma en 3 meses es posible.

¿No sería mejor apuntarse a una academia?

Depende del ritmo de la academia. Si se trata de una academia tradicional, entonces no. Una academia hace un curso cada año. Para alcanzar un nivel B2 con el que te puedas comunicar bien con la gente e incluso trabajar en alemán necesitarías 4 o 5 años. Si quieres aprender alemán en 5 años, adelante, pero si quieres aprenderlo en 4 meses necesitarás más caña.

En una academia tienes 3 horas de clase semanales y se supone que tienes que trabajar en casa 2 o 3 horas a la semana. Si en lugar de eso te dedicas de manera exclusiva 6 horas al día, el avance que hagas en un día es el que haces en la academia en una semana. Multiplica eso por 4 meses de trabajo y tienes la respuesta a todas tus preguntas.

Además, si no te apuntas a una academia te ahorrarás un buen dinerillo que podrás invertir luego en viajar por Alemania y poner en práctica el idioma

Un truco de regalo

Para que veas que esto es posible y que solo hay que pasar a la acción e intentarlo voy a compartir contigo un pequeño truquillo del alemán. Hay muchos pequeños trucos como este y en el siguiente apartado te comentaré alguno más. Si sumas esos pequeños avances que te facilitan el aprendizaje, manejar el idioma en pocos meses empieza a ser una idea más realista.

Como sabes, en alemán existen 3 géneros: masculino (der), femenino (die) y neutro (das). Estos géneros se aplican a cada sustantivo de manera totalmente arbitraria, igual que en español. Sin embargo, si utilizas el diminutivo de cualquier sustantivo (aplicando el sufijo –chen), ese sustantivo se convierte directamente en neutro y ya no te tienes que preocupar por su género.

• Por ejemplo, die Tür (femenino, la puerta) tiene como diminutivo das Türchen.
• O por ejemplo der Tisch (masculino, la mesa) tiene como diminutivo das Tischchen.

De un plumazo te he quitado uno de los mayores problemas a los que se enfrenta quien quiere aprender alemán, así que ¡punto para mí! En el caso de que lo aplicases, hablarías siempre en diminutivo, lo cual es muy tierno pero sería algo provisional hasta que consiguieras memorizarlos.

Para completar el regalo te diré que en holandés ocurre lo mismo. En holandés existen sólo dos géneros (como en español) y los determinantes artículos son “het” para el neutro y “de” para masculino y femenino. Si utilizas un sustantivo en diminutivo añadiendo el sufijo –je cualquier sustantivo pasa a ser neutro.

• Por ejemplo, de Tafel (la mesa) pasa a ser het tafeltje.

Y eso es todo por hoy de clases aceleradas de idiomas

4. Conviértete en un chef (o en un experto en lo que sea) en 6 meses

Tim Ferriss es una de las personas más sorprendentes que me he encontrado (no en persona). Ha escrito 3 libros que han llegado a ser best-sellers en el New York Times, ha ganado el campeonato nacional de kickboxing en China y ha ideado un método para leer 300% más rápido en solo 20 minutos.

Esta es una de las personas más efectivas sobre la tierra. Defiende por supuesto que se puede aprender un idioma en 3 meses y ha escrito un libro, The 4-Hour Chef, en el que explica no solo cómo convertirte en un chef profesional en solo 6 meses sino a llegar al máximo nivel mundial en cualquier disciplina en ese tiempo o menos. Puedes ver más detalles de la explicación aquí: 4-Hour-Chef . Hace unos días descubrí que se puede descargar el audiolibro de The 4-Hour Chef de manera gratuita si te suscribes a su lista, clicando en el botón naranja de su blog “Get Exclusive Updates”.

Lo he estado escuchando y es sorprendente. Te dice cómo y de quién debes aprender para poder tener un aprendizaje acelerado. Habla de dónde merece la pena dedicar el esfuerzo. Y ciertamente no se centra solo en cocina sino que da trucos, por ejemplo, sobre aprender idiomas. Él aprendió japonés en pocos meses (3 si no recuerdo mal). Comenta por ejemplo que no es necesario memorizar la conjugación de los miles de verbos existentes en cualquier idioma sino que basta con aprender los verbos auxiliares y combinarlos con el infinitivo de cualquier otro verbo. Esta clave que parece tan sencilla te ahorrará cientos de horas de estudio y te permitirá empezar a hablar en un idioma en pocas semanas.

No te cuento más porque al fin y al cabo es su libro, pero no tiene desperdicio.

Si quieres saber de aprendizaje acelerado y cómo convertirte en un crack mundial en cualquier disciplina, lee The 4-Hour Chef.

5. Trabajos de escuela: tú también has aprendido de manera acelerada

Para terminar y para que compruebes por ti mismo que el aprendizaje express no es un don divino ni algo destinado a una selecta estirpe, te demostraré que tú mismo lo has experimentado y has aprendido de manera acelerada.

Cuando en el colegio allá en primaria te decían un martes: “para el jueves quiero que me traigáis un trabajo de 25 páginas sobre el papel de los Reyes Católicos durante la Reconquista”, quienes entregaban el trabajo (prácticamente todos casi siempre) habían experimentado el aprendizaje express. En el momento en que te encargan el ejercicio no tienes ni idea de qué va o al menos no sabes cómo producir un trabajo en profundidad sobre ese tema. Así que por la tarde te pones las pilas y buscas información por todos sitios: enciclopedias (antes existían), internet, libros, le preguntas a tus padres… Por la noche cuando te vas a la cama ya tienes prácticamente toda la información, tienes fotos, datos, sabes cómo organizar el trabajo. Al día siguiente solo tienes que empaquetarlo todo en un documento de 25 páginas y entregárselo el jueves al profesor.

Como tú, aparecen otros 30 trabajos de los compañeros que han experimentado el mismo proceso.

Eso es aprendizaje express y es aplicable a cualquier faceta. Quien no haya hecho algo así nunca, que me lo diga, porque en principio no me lo creo. Así que, tú también eres capaz. Solo necesitas motivación, acción, dedicación y constancia, los 4 ingredientes para aprender de manera acelerada.

 * * *

Hemos visto 5 maneras de aprendizaje express, la última de las cuales seguro que la has experimentado tú mismo:

1. Dibujo Técnico: aprender a dibujar en perspectiva
2. Arquitectura: elaboración de proyectos y material explicativo
3. Idiomas: aprendizaje de alemán
4. Cocina y cualquier otra disciplina
5. Trabajos de escuela

¿Qué opinas?¿Crees que las limitaciones del ser humano son tan cortas como lo que nos pensamos? ¿Crees que es posible aprender un idioma en 3 meses o hacer un proyecto de arquitectura en 4 días?

Cuéntanos tu experiencia.

¡Ah! Y no te pierdas el artículo de la próxima semana con la publicación! Apúntate a la lista de correo para recibirlo en tu email.

 Por fin está aquí mi nuevo libro,

después de muchos meses de trabajo

¿Eres arquitecto mileurista y estás harto de que no reconozcan tu formación ni tu responsabilidad?

¿No encuentras trabajo de arquitecto y el que te ofrecen está mal remunerado?

Imagina que hubiera una forma de cobrar el triple por hacer el mismo trabajo.

Descubre en este libro cómo conseguirlo PASO-A-PASO

49 segundos de vídeo

También puedes ver el vídeo en Youtube

Encuentra trabajo de arquitecto y cobra 3.400 €/mes

El método para dejar de ser mileurista en solo 6 meses

Si no encuentras trabajo es porque no quieres

Trabaja lo mismo, rinde 9 veces más

Encontrar trabajo de arquitecto bien remunerado en una oficina comprometida con la calidad constructiva y el diseño no es una utopía, aun a pesar de la crisis financiera. Solo hacen falta 6 meses de preparación para conseguir un sueldo de 3.400 euros con el que poder ahorrar hasta 1.520 euros cada mes. 

6 meses para incrementar tu tasa de ahorro neta un 918,2% parece una buena inversión de tiempo, especialmente si se compara con los 6 años de carrera universitaria (72 meses) que te permiten alcanzar un sueldo de solo 1.000 euros. Lamentablemente no todo el mundo está dispuesto a hacer ese esfuerzo y deciden vivir con un sueldo mínimo que apenas les da para pagar las facturas. 

Este libro es para aquellos arquitectos inconformistas y exigentes que quieren ejercer su profesión dignamente y que su trabajo sea reconocido.

Deja de intentarlo de manera intuitiva y aprende de mi experiencia. En mi constante búsqueda de un trabajo mejor he ejercido como arquitecto desde 2007 en tres de los países de referencia de la arquitectura mundial: España, Holanda y Suiza. En las tres ocasiones tardé menos de 5 días en encontrar trabajo aplicando el método que aparece en este libro

Ojalá hubiera tenido este libro en mis manos cuando terminé la carrera! 

Libro muy recomendable para todos aquellos que: 1) estén a punto de terminar la carrera y no sepan por donde seguir, 2) los que acabáis de terminar y sigáis perdidos, 3) aquellos que tuvisteis trabajo por un tiempo y de repente os encontréis con nada que hacer, 4) y todo aquel que le haya gustado el título!

Os puedo asegurar que el método que expone a mi también me ha funcionado

Miriam Tocino es arquitecta y web developer y

ha trabajado desde 2008 en Holanda, Austria y Alemania

Lee el libro Encuentra trabajo de arquitecto y cobra 3.400 €/mes, aplica el método paso a paso y podrás:

Un método para trabajar de arquitecto

Sobre todo para aplicarlo en el extranjero y más concretamente en países germanoparlantes, donde los sueldos son en general más altos, está muy desarrollado al detalle y personalmente creo que si se aplica al pie de la letra funcionaría.

Esta bien escrito y estructurado y se lee rápido. Si eres arquitecto y estás pensando en emigrar te lo recomiendo.

Al final incluye una lista de recursos muy interesantes

 Carlos Moreno es el webmáster de Arquiparados.com,

una web para que arquitectos encuentren trabajo y amplíen su formación.

Carlos reside y trabaja actualmente en Bélgica

Encuentra trabajo de arquitecto y cobra 3.400 €/mes es un libro electrónico que consta de 222 páginas. En él encontrarás:

Encuentra trabajo de arquitecto y cobra 3.400 €/mes, con todo lo anterior incluido, debería costar más de 25 euros pero quiero que este libro beneficie a mucha gente, así que su precio habitual es de 9,90 €.

Como oferta especial de lanzamiento, consigue el libro hasta el próximo viernes 27 de febrero de 2015 por tan solo 7,90 €.

Precio estimado: 25 €

 Precio habitual: 9,90 €

OFERTA : 7,50 € (solo hasta el 27 de febrero de 2015)

Compra el libro y, además de todo lo anterior, consigue el siguiente material adicional con herramientas e información que te serán de máxima utilidad:

1. Cómo acceder a prácticas de empresa remuneradas y becadas
2. Trámites administrativos para trabajar en Suiza
3. Cómo conseguir el subsidio por desempleo cuando vuelvas a España
4. Entrevistas a 4 arquitectos trabajando en el extranjero.
5. Entrevista a Carlos Moreno, webmáster de Arquiparados.com
6. Entrevista a María Manero, CEO de MM Atelier.
7. Otros bonus que deberás descubrir tú mismo

Todo este material está lleno de recursos y páginas web que podrás poner en práctica inmediatamente.

…te puedo decir que compensa económicamente [trabajar en Suiza], porque en definitiva, hay mayor diferencia entre tu salario y los gastos normales (piso, cesta, etc.) que aquí en España. Como referencia te diría que el sueldo es tres veces mayor, y el alquiler no llegaría al doble.

…hay una estabilidad laboral [en Suiza] que te permite alcanzar una vida acomodada. De alguna manera me gustaba la sensación de que nada podía ir mal en ese país.

María Manero es CEO de MMAtelier

y ha trabajado como arquitecta más de 3 años en Zürich

Garantía de devolución

Comprar en Amazon.es es garantía de satisfacción. Cuando compras un libro electrónico Kindle tienes 14 días para solicitar la devolución del dinero si no estás satisfecho con tu compra.

 Millones de usuarios compran cada día en Amazon en todo el mundo

Millones de usuarios no pueden estar equivocados.

Preguntas frecuentes

1. Yo no soy arquitecto. ¿Me serviría de algo este libro?

Sí. Aunque este libro se centra en los arquitectos y tiene algunos capítulos específicamente dedicados a este gremio, el mensaje en esencia es aplicable a cualquier disciplina y el 85% del contenido , especialmente disciplinas técnicas (arquitectura, ingenierías, topografías…) y gráficas (diseñadores, delineantes…)

2. No me creo que se pueda ganar un sueldo de 3.400 €/mes. ¿Es verdad o es una estrategia de marketing?

No se trata de ninguna estrategia de marketing. Si aplicas el método realmente es posible. De hecho, el cambio de moneda del franco suizo (CHF) al euro ha variado en los últimos meses y el sueldo de 4.300 CHF, que es fácil de conseguir en Suiza, tendría una equivalencia de 4.040 €. Con lo cual, más que una exageración, los 3.400 euros del título del libro se quedan cortos actualmente.

3. ¿Sirve el libro para estudiantes de arquitectura o solo para arquitectos titulados?

El libro es útil tanto para arquitectos como para estudiantes. De hecho el objetivo desde el principio era conseguir un manual que un estudiante o recién titulado sin experiencia alguna pudiera seguir y tener como guía. Adquirir experiencia profesional, ver cómo funcionan los estudios de arquitectura y probar a trabajar unos meses en el extranjero es una experiencia que recomiendo hacer lo antes posible y este libro te indicará paso a paso cómo hacerlo.

4. ¿Es fácil seguir el método?

Entenderlo es sencillo pero aplicarlo requiere mucho esfuerzo. El camino que se propone es rápido, pero no es fácil. Solo con determinación y constancia podrás alcanzar tu objetivo. Si piensas que sentado en el sofá quejándote por la crisis vas a conseguir un sueldo de 3.400 €, este libro no es para ti.

5. ¿Solo es útil este libro si quieres trabajar en el extranjero?

No. El método que se plantea pretende que consigas el máximo rendimiento por tus horas de trabajo y por eso propone trabajar en Suiza. Pero en realidad el método es efectivo en cualquier sitio. Simplemente no prestes atención a las partes relacionadas con el extranjero si no te interesan.

Con este tipo de relatos te das cuenta que nada es imposible

… que solo es cuestión de proponérselo y de avanzar, reinventándose a sí mismo una y otra vez. Hay que agradecer al autor su capacidad de abrirse totalmente al lector y de transmitir todos y cada uno de los sentimientos en su aventura por alcanzar su sueño aún en los tiempos que corren. Muy recomendable.

José Rodríguez Barbudo es arquitecto,

ha trabajado en Holanda y es cofundador de Lacooperativa Arquitectos

No te lo pienses más, esta es una oportunidad única.

Consigue en un único libro todo lo que necesitas para encontrar trabajo de arquitecto.

Oferta : 7,50 € (solo hasta el 27 de febrero de 2015)

P.D. Piensa que nunca más vas a tener que preocuparte por qué hacer, cómo hacerlo ni qué hacer después. Haz clic aquí y consigue tu libro Encuentra trabajo de arquitecto y cobra 3.400 €/mes

Buenos días,

Hoy es un gran día porque retomamos una de las esencias de 10endibujo: el Sistema Diédrico y en general el dibujo técnico. Vuelvo con más fuerzas que nunca para darte los mejores conocimientos, todos los trucos, todos los casos y explicarlos de la manera más clara posible. Durante las últimas semanas he estado escribiendo mucho sobre arquitectura, maneras de aprender rápidamente e incluso cuestiones personales para que me conozcas mejor.

Las últimas han sido unas semanas de intenso trabajo en mi nuevo libro y ahora vengo con energías renovadas y muchas ganas de retomar el dibujo. Pido disculpas si he tardado en contestar por email más de lo habitual, aunque sé que sois comprensivos y entendéis que he estado muy liado. Muchas gracias por vuestra comprensión, sois geniales. También quiero agradeceros que hayáis empezado a participar más activamente en el blog; así puedo corregir o modificar artículos, completarlos o reorientar las explicaciones en función de lo que necesitéis. Como comprenderéis no puedo hacer todo de manera inmediata, pero todas vuestras propuestas están apuntadas y guardadas en la memoria para retomarlas cuando sea oportuno.

Sin darle más vueltas, volvemos a la teoría pura y dura, aquella que cuando dominas serás invencible en cualquier ejercicio práctico. Quiero empezar una serie de artículos sobre diédrico para ir completando el temario. ¿Te interesa seguir todos? No te pierdas detalle y suscríbete a la lista de correo; allí te informaré cada vez que salga un nuevo artículo.

Vamos con los ángulos.

Ángulos en Sistema Diédrico

En Sistema Diédrico los casos básicos que se nos pueden presentar son los siguientes:

1. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección
2. Ángulo que forma un plano con los planos de proyección
3. Ángulo que forman dos rectas que se cortan
4. Ángulo que forman dos rectas que se cruzan
5. Ángulo que forman dos planos no paralelos
6. Ángulo que forman una recta y un plano

Vamos a ver cada uno en detalle y a explicar cómo se resuelven paso a paso.

1. Ángulo que forma una recta con los planos de proyección

Los planos de proyección, como sabes, son el Plano de Proyección Horizontal (PH) y el Plano de Proyección Vertical (PV). Se llaman así porque sobre ellos proyectamos cualquier objeto dado en el espacio. El ángulo que forma una recta cualquiera con los planos de proyección no se ve directamente en verdadera magnitud, ya que, de forma genérica, las rectas serán oblicuas a ellos.

La forma más sencilla de encontrar el ángulo será mediante un cambio de plano.

Ángulo de una recta con el Plano de Proyección Horizontal (PH)

Para encontrar el ángulo que forma una recta con el plano horizontal tienes que hacer un cambio de plano vertical, es decir, debes mantener la proyección horizontal de la recta y encontrar su nueva proyección vertical, de manera que la recta quede en el cambio de plano como frontal. Para ello, la nueva Línea de Tierra debe ser paralela a la proyección horizontal de la recta.

Todo esto que parece muy complejo queda explicado más rápida y claramente con un dibujo. Sitúa una nueva Línea de Tierra paralela a la proyección horizontal r de la recta y encuentra su nueva proyección vertical, llevando la cota de dos puntos desde la nueva Línea de Tierra. Si utilizas como yo el punto traza horizontal, es punto los puedes situar directamente sobre la línea de tierra, ya que su cota es cero.

¡El ángulo que forma una recta frontal con el PH sí está en verdadera magnitud!

Ángulo de una recta con el Plano de Proyección Vertical (PV)

Razonando de la misma manera, ahora necesitamos un cambio de plano horizontal, con una nueva línea de tierra paralela a la proyección vertical de la recta. Obtendremos así una recta cuya proyección vertical es paralela a la nueva línea de tierra, con lo que se trata de una recta horizontal de plano.

¡El ángulo que forma una recta horizontal con los planos de proyección sí está en verdadera magnitud!

En la perspectiva utilizada en el dibujo anterior he situado la línea de tierra justo sobre la proyección vertical de la recta, mientras que en el dibujo diédrico la he situado a una pequeña distancia. Ambos dibujos son correctos. De hecho, la manera más sencilla de encontrar los ángulos sería haciendo coincidir las nuevas líneas de tierra con las proyecciones.

Veámoslo dibujado de la manera más sencilla y rápida:

En este dibujo quedan simplificados y resumidos los dos anteriores

2. Ángulo que forma un plano con los planos de proyección

El ángulo que forma un plano oblicuo con los planos de proyección tampoco se puede ver directamente en verdadera magnitud. Necesitaremos nuevamente hacer un cambio de plano para conseguir ver el plano como proyectante.

Ángulo de un plano con el Plano Horizontal

Necesitamos ver el plano como proyectante vertical, es decir perpendicular al plano vertical. Para ello tenemos que hacer un cambio de plano vertical con la nueva línea de tierra perpendicular a la traza horizontal. Esta quedará fija y tendremos que encontrar simplemente la nueva traza vertical.

Ángulo de un plano oblicuo con el Plano Vertical

Para poder ver el ángulo que forma un plano oblicuo con el plano vertical necesitamos verlo como plano proyectante horizontal.

Para ello tendremos que hacer un cambio de plano horizontal, en el que mantendremos fija la traza vertical del plano, dibujaremos una nueva línea de tierra perpendicular a esa traza vertical P’ y tendremos que encontrar la nueva traza horizontal.

3. Ángulo que forman 2 rectas que se cortan

Puesto que dos rectas genéricas en el espacio que se cortan están en posición oblicua a los planos de proyección, el ángulo que forman no se verá en verdadera magnitud.

¿Cuál es la manera más sencilla de encontrar dicho ángulo? El abatimiento.

Este es el caso genérico.

Podremos abatir las rectas de 3 maneras diferentes:

3.1. Encontrar las trazas del plano que forman y abatir plano y rectas

Esto es sencillo, ¿no?

Encuentras los puntos traza de la recta, dibujas las trazas del plano, lo abates y abates las rectas, ya que están contenidas en ese plano. Todo quedó explicado en este artículo.

3.2. Abatir el punto de intersección y las rectas sobre el PH (o el PV si lo prefieres)

Más sencillo que el caso anterior es abatir simplemente el punto de intersección. Así te evitarás tener que encontrar el plano y abatirlo.

Para hacer esto habrá que seguir los siguientes pasos:

1. Encuentra el punto traza horizontal de cada recta, únelos y utiliza la recta resultante P como charnela (en realidad es la traza horizontal del plano que forman las dos rectas).
2. Por la proyección horizontal del punto de intersección a dibuja una recta paralela a P y otra perpendicular.
3. Mide sobre la paralela la cota del punto A (es decir, la distancia desde la línea de tierra a su proyección vertical a’)
4. Dibuja un arco de circunferencia con centro en el punto de intersección de la perpendicular con P, y radio hasta la medida anterior.

Una vez abatido el punto (A) puedes unirlo con los puntos traza de las rectas y obtendrás el ángulo.

3.3. Abatir sobre un plano auxiliar horizontal (o frontal si así lo deseas)

Esta tercera opción es igual que la segunda pero considerando un plano paralelo al de proyección. Encontraremos igualmente los puntos de intersección de las rectas con este plano y abatiremos el punto A sobre dicho plano.

4. Ángulo que forman 2 rectas que se cruzan

Dos rectas en el espacio que se cruzan son aquellas que no se cortan, es decir, que no tienen ningún punto en común.

Para saber si dos rectas en el espacio se cortan o se cruzan basta con mirar los puntos de intersección de sus proyecciones. Si el punto en el que se cortan las proyecciones verticales coincide verticalmente con el punto en el que se cortan las proyecciones horizontales, entonces las rectas se cortan (existe un punto en común). En caso contrario se cruzan.

Para encontrar el ángulo que forman estas rectas simplemente necesitaremos dibujar una recta paralela a una de ellas que corte a la otra y repetir el proceso del apartado 3.

En este caso, dibujaré una recta T(t´t) paralela a S (s’-s) por un punto A cualquiera de R (r’-r) y a partir de ahí solo tienes que encontrar el ángulo de estas dos nuevas rectas que se cortan.

5. Ángulo que forman dos planos no paralelos

Para hallar el ángulo de dos planos que se cortan debes saber que el ángulo que forman dos planos es el mismo ángulo que forman las rectas perpendiculares a dichos planos.

Así que, dados dos planos P’-P y Q’-Q bastaría con dibujar una recta r’-r perpendicular a P pasando por un punto cualquiera A (a’-a)  y una recta s’-s perpendicular a Q pasando por ese mismo punto A. El ángulo que forman estas dos rectas es el ángulo que forma los planos entre sí.

6. Ángulo que forman una recta y un plano

La forma más sencilla de encontrar el ángulo en verdadera magnitud que forma una recta y un plano es utilizando nuevamente el recurso de la perpendicular. Para ello diremos que el ángulo que forma una recta con un plano es el complementario del ángulo que forma dicha recta con una perpendicular al plano. (El ángulo complementario de uno dado A es igual a 90º-A)

Dicho de una manera sencilla, dibujaremos una recta perpendicular al plano por un punto cualquiera, hallaremos el ángulo que forman las dos rectas (la perpendicular y la dada) y hallaremos su complementario.

Habría otras maneras de encontrar la solución pero esta es la más sencilla.

Como he dicho, puedes utilizar cualquier punto de la recta para pasar una perpendicular S al plano. Yo en este caso he utilizado el punto de intersección de la recta R(r’-r) con el plano P(P’-P). El siguiente es abatir el punto de intersección I de las rectas R y S. Para ello puedes utilizar un plano horizontal auxiliar H, con traza vertical H’. Encuentra la intersección de las rectas R y S con el plano H y obtendrás una recta horizontal de plano con proyección horizontal h. Esta recta será la charnela.

Ahora abate el punto I alrededor de la charnela. Para ello tienes que dibujar una recta paralela y otra perpendicular a la charnela que pasen por la proyección horizontal i del punto. Sobre la paralela coloca la diferencia de COTA entre H’ e i’. En el punto donde la perpendicular corta a la charnela pincha con el compás y traza un arco para conseguir el punto abatido (I).

Ya solo queda abatir las rectas R y S. Une los puntos de intersección de las proyecciones horizontales r y s con el (I) abatido y obtendrás (R) y (S) abatidas. Recuerda que el ángulo A que forman las rectas R y S no es la solución del ejercicio sino que es su complementario 90-A. Para encontrarlo dibuja una recta perpendicular a (R) por el punto (I).

Este último ejercicio ha sido un poquito más trabajoso, pero en realidad el razonamiento es muy sencillo: el ángulo que forma una recta con un plano es el complementario del que forma la recta con la perpendicular al plano. No hay más que ejecutarlo

Bueno, en realidad esto es todo lo que hay que saber de ángulos. Cualquier ejercicio que te encuentres será como estos, más sencillo o una combinación. Espero que te sea de utilidad y si es así no te olvides de compartirlo por las redes sociales, me ayudarías a seguir con este blog.

¡Muchas gracias y hasta el próximo artículo!

Ey, muy buenas,

Hoy estoy encantado de poder contarte algo antes de empezar con las intersecciones. Un jueves hace varias semanas me escribió un chico para preguntarme si había alguna manera de que le impartiera clases a distancia.

Le dije:

“No lo he hecho nunca, pero si tú estás dispuesto a intentarlo, yo también“

Así que ese sábado tuvimos la primera clase de prueba, para ver cómo iba. Me comentó que tenía una pizarra blanca de 120×80 cm que pensaba que sería útil, así que yo, para probar, compré una pequeñita de 50×70. Pensé: “si funciona compro una más grande pero si no, tampoco tiene sentido gastar más“. La clase fue sobre ruedas, aunque con alguna dificultad por el tamaño de mi pizarra, pero nada que no se pudiera solucionar con buena voluntad.

Parece que le vino bien la clase y le gustó porque me confirmó que seguiría asistiendo. Así que yo me compré mi pizarrón

El miércoles tenía examen de piezas y perspectiva isométrica, así que dimos 2 clases rápidas, lunes y martes. El jueves me mandó un whatsapp diciendo que ya sabía la nota…

Me dijo que la nota hacía referencia a mi web. ¡¡Había sacado un 10 en dibujo!!

¡¡Subidón!!

Esto fue una buena señal. Hasta el momento hemos dado casi 10 clases y va progresando rápidamente. Sigue encantado, tanto que fíjate lo que ha escrito.

Y yo tanto como él, viendo que avanza y que se siente más seguro con el dibujo. Además nos llevamos muy bien. Me ha dicho que quiere un 10 en selectividad para poder entrar en la carrera que le gustaría y yo creo que podemos conseguirlo, aunque para eso hay que trabajar mucho, mucho. ¡¡Vamoooos!!

Desde esta experiencia he decidido incluir una nueva sección en la web porque es totalmente gratificante impartir clases de dibujo técnico online. Quizá te interese

Ahora sí, vamos con las intersecciones

.

A. Intersección de planos: casos. Empieza por aquí

Las intersecciones de planos es un tema sencillo del sistema diédrico si se comprenden los conceptos claramente desde el principio. Así que tengo ante mí el reto de explicarlo lo mejor posible para que lo entiendas de forma definitiva. Empezaremos por lo más básico: 1. La intersección de 2 rectas en el espacio es un punto. Esto quiere decir que cuando dos rectas se cortan, existe un único punto en común, es decir, un punto que pertenece a ambas y se llama punto de intersección. Dos rectas se cortan en el espacio si son coplanarias. Si dos rectas no tienen ningún punto en común, entonces estas rectas se cruzan en el espacio. La manera de detectar que dos rectas se cortan es mirando si los puntos de corte de las proyecciones verticales coincide con los puntos de corte de las proyecciones horizontales. 2. La intersección de 2 planos en el espacio es una recta. Esta recta obviamente es común a ambos planos, es decir, pertenece a ambos planos simultáneamente. Para definir cualquier recta solo necesitamos 2 puntos de la misma y eso es lo que haremos para encontrar la recta de intersección. Estos dos puntos los conseguiremos de la intersección de dos pares de rectas. 3. La intersección de 3 planos en el espacio es un punto. Si tenemos por ejemplo los planos A, B y C, los planos A-B dan una recta de intersección i1, los planos B-C dan otra recta de intersección i2. La intersección de estas dos rectas i1-i2 es un punto, como he explicado en el primer punto. Este será el punto de intersección de los 3 planos.

B. Intersección de 2 planos

Como he dicho, para definir la recta de intersección de dos planos necesitamos 2 puntos de la misma y estos puntos los obtendremos de la intersección de dos pares de rectas. Para que dos rectas se corten hemos dicho que tenían que ser coplanarias y, por tanto, lo más sencillo será que utilicemos las trazas del plano. Las trazas del plano son las rectas de intersección de un plano con los planos de proyección. Por tanto, si utilizamos las trazas de los planos estamos utilizando rectas coplanarias y como consecuencia nos estamos asegurando que se cortan. Volviendo al ejemplo anterior de los planos A y B, la intersección del plano A con el plano vertical de proyección es la traza A’ (una recta). De la misma manera, la intersección del plano B con el plano vertical de proyección es la traza B’ (también una recta). La intersección de las trazas A’ con B’ nos da necesariamente un único punto, porque son rectas coplanarias (ambas pertencen al plano vertical de proyección). El punto que conseguimos en la intersección es V definido por su proyección horizontal v y vertical v’. Si sigues el mismo razonamiento para las trazas horizontales verás que obtenemos el punto H (h’-h). Si unes H con V, es decir h’-v’ y h-v obtienes la recta intersección I (i’-i) de los planos A, B. Hasta aquí la explicación puramente teórica de por qué y cómo se hace lo que se hace. Veamos ahora…

B.1. Casos prácticos: los diferentes planos

La ventaja de trabajar con trazas del plano es que normalmente las soluciones son muy intuitivas y no tienes que hacer todo el razonamiento teórico. Aquí te dejo los casos más comunes ordenados por categorías.

B.2. El Método Maestro de intersección de planos

Es el método que siempre funciona. Como las llaves maestras, abre todas las puertas. Es un método que te servirá para cualquier problema de intersección de planos. Además, puesto que funciona siempre, te puede servir en los casos en que tengas dudas y cuando quieras confirmar que lo has hecho correctamente. El método consiste en utilizar dos planos auxiliares Pongamos el caso de que tenemos dos planos P, Q de los que tenemos que encontrar la intersección y que, por ejemplo, las trazas se cortan fuera de los límites del papel. En este caso podemos utilizar dos planos auxiliares A, B. Haremos en primer lugar la intersección del plano A con los planos P, Q. Puesto que se trata de la intersección de 3 planos, el resultado es un punto. A continuación haremos la intersección del plano B con los planos P, Q y obtendremos otro punto. La unión de estos dos puntos es la recta de intersección. Fíjate que he utilizado los planos más sencillos posibles, un plano A horizontal y un plano B frontal. La intersección de A con P y Q da como resultado el punto M. La intersección de B con P y Q da como resultado N. La recta M-N es la intersección de los planos P, Q. Esto que yo he hecho con planos auxiliares paralelos a los de proyección se puede hacer con cualquier otro tipo de plano: oblicuo, proyectante, paralela a la línea de tierra… Busca el que más te convenga o el que más fácil te resulte y utilízalo.

C. Intersección de 3 planos

Aunque ya hemos hecho algún ejemplo de intersección de 3 planos, haré un último caso, para que quede completamente claro. Como sabes, el resultado será un punto. Bueno, después de todo lo explicado en el artículo esto prácticamente no merece comentarios. Aun así aclararé que la recta I1 es la intersección de los planos B, P; que la recta I2 es la intersección de los planos B, Q. Y que el punto I es la intersección de las rectas I1, I2. Como comentario adicional puedes observar que la proyección horizontal del punto de intersección está contenido en la traza oblicua del plano proyectante Q. Debe ser así necesariamente. El punto I pertenece a los tres planos y, como sabes, para que un punto esté contenido en un plano proyectante una de sus proyecciones debe estar contenida en la traza oblicua a la línea de tierra. Como puedes comprobar, I pertenece a los 3 planos. Al final, las intersecciones son un ejercicio de pertenencia

Espero que te haya resultado útil el artículo y no haber defraudado tus expectativas. ¿Está suficientemente claro como para que nunca más se te olvide? Deja un comentario si tienes alguna duda o quieres hacerme saber algo. Si lo compartes a través de las redes sociales te estaré muy agradecido. No te pierdas ningún artículo: suscríbete a la lista de correo y recibe cada nuevo artículo en tu bandeja de entrada.

Una vez que hemos visto la intersección de planos nos queda solo un pequeño anexo a esa parte que es la intersección de rectas y planos. Como verás en este artículo es muy sencillo, siempre que hayas llegado a comprender la intersección de planos.

Te explicaré a continuación el método general, por qué y cómo se utiliza y lo veremos aplicado en tres dimensiones y en sistema diédrico.

1. Método general en 3 pasos

Dados un plano P y una recta R tendremos que encontrar la intersección de R con P. Este es el método en 3 sencillos pasos

1. Dibuja un plano Q que contenga a la recta R. Esto es lo mismo que decir que dibujes un plano Q cuyas trazas Q’-Q contengan a los puntos traza de la recta R. Lo más sencillo y lo que yo recomiendo es utilizar planos proyectantes (proyectante horizontal o vertical) o planos paralelos a los de proyección (plano horizontal o frontal). Veremos por qué.
2. Encuentra la recta intersección S de los planos P, Q. Esto es lo que vimos en el artículo de intersección de planos.
3. El punto de intersección I (i’-i) de la recta S con la recta dada R es la solución, es decir, la intersección del plano P con la recta R. Dibujar las dos proyecciones del punto.

¿Por qué es conveniente que uses planos proyectantes y paralelos a los de proyección que contengan a la recta? Hay dos motivos:

• Son los más sencillos de dibujar, ya que no tienes que encontrar los puntos traza de la recta. En planos proyectantes (como ves en el ejemplo) solo tienes que hacer coincidir una de las proyecciones con la traza oblicua del plano; la otra traza sería perpendicular a la línea de tierra. En el caso de planos paralelos a los de proyección (horizontales y frontales) simplemente hay que definir la proyección paralela a la línea de tierra como traza del plano.
• Tienen la intersección más sencilla posible con los demás planos. Una de las proyecciones de la intersección coincide con la traza oblicua y por tanto solo tienes que encontrar la otra.

Yo creo que está claro, ¿no? Vamos a verlo con una recta paralela a alguno de los planos de proyección, por ejemplo una recta frontal. En lugar de utilizar un plano proyectante podemos usar un plano Q frontal para contener a la recta R.

Como ves, la intersección del plano frontal con el plano oblicuo es de lo más sencillo, solo tienes que dibujar una paralela a la traza vertical desde el punto en que se cortan las trazas horizontales.

2. Más casos prácticos de intersecciones

Ya con estos dos ejemplos explicados queda poco más que decir. Pondré algunos casos particulares y ya podemos irnos a tomar una cocacola bien fría con mucho hielo y una rodaja de limón

En el primer ejemplo he tomado un plano proyectante horizontal Q que contiene a R. Puesto que P es también proyectante horizontal, la recta de intersección será vertical, coincidiendo justo con el punto donde se cortan las trazas.

El segundo ejercicio tiene un plano paralelo a la línea de tierra, pero se resuelve lo mismo. Introduzco la recta R en un plano Q proyectante vertical y hago la intersección de este con el plano P. La recta de intersección S corta en el punto I a la recta R.

En el tercero la recta R es paralela a la línea de tierra. He optado por un plano horizontal que obviamente da como resultado una recta de intersección horizontal S con el plano P.

Como te decía, utilizar planos proyectantes o planos paralelos a los de proyección es la mejor forma de simplificarte la vida. Si utilizas este tipo de planos te voy a dar simplemente dos consejos:

• Decide conscientemente qué plano vas a utilizar. Si es proyectante, será vertical u horizontal. Tener esto claro te evitará errores, créeme.
• Dibuja las trazas del plano auxiliar y ponles el nombre. Como has visto, yo he colocado siempre la Q y la Q’ para indicar que contenía la recta en un nuevo plano Q proyectante. Esto te servirá por un lado para aclararte tú mismo y por otro para que las demás personas lo entiendan (y tú mismo cuando mires el dibujo un tiempo después)

3. Intersecciones con rectas de punta

Acabo simplemente con unos de ejercicios más que pueden ser singulares: las rectas de punta. Una recta de punta se reconoce porque una de sus proyecciones se concentra en un único punto. Cualquier punto de toda la recta tiene una de sus proyecciones en ese punto. En los ejercicios de intersección lo único que tendremos que buscar es concretamente qué punto de todos ellos pertenece también al plano P con el que buscamos la intersección.

El primer caso se puede resolver de dos maneras. La primera ha sido utilizando una recta S cualquiera del plano P que pasa por la proyección vertical r’ de la recta. Al encontrar la proyección horizontal s de esta recta obtenemos directamente el punto I de intersección.

La segunda forma de solucionarlo es mediante un plano de perfil (segundo dibujo). Basta con llevar el plano y la recta al perfil para encontrar el punto de intersección.

El último ejemplo es el de un plano oblicuo. Puedes hacer lo mismo. Pasa una recta S cualquiera (yo he utilizado una recta horizontal de plano pero puede ser cualquier otra) por la proyección horizontal r de la recta y encuentra su proyección vertical de manera que la recta esté contenida en el plano P.

* * *

Me parece que con esto es suficiente para que haya quedado el tema suficientemente claro. Si no es así, puedes dejar tu comentario e intentaré explicarlo de otra manera.

Si te ha gustado el artículo, suscríbete a la lista de correo para no perderte ninguna publicación nueva. También puedes seguirme en Facebook, Twitter y Youtube.

Ahora sí podemos irnos ya a por esa cocacola

Buenos días,¿qué tal todo?

Antes de empezar con el artículo de distancias quiero contarte cómo siento que me está cambiando la vida justo en estos momentos y por qué está ocurriendo. Si prefieres ir directo al artículo, busca un poquito más abajo, yo no me molesto

Acabo de empezar a leer un libro que sé que es un life-changing book (un libro que te cambiará la vida).

Siempre hablo de la importancia de aprender alemán para destacar de manera rápida y definitiva respecto a tus competidores en la búsqueda de trabajo como arquitecto o lo que sea. Lógicamente, el primer paso y más importante es aprender inglés y dominarlo, porque te abre las puertas al mundo, te permite viajar prácticamente a donde quieras y, quizá lo más importante, te permite adquirir conocimientos inaccesibles si solo sabes español. Muchos de los mejores libros, muchas de las mejores webs, muchos de los mejores blogs están escritos en inglés.

De pequeño tuve la suerte de que mis padres me llevaron a aprender inglés a una academia y desde los 18 años siempre me ha encantado viajar, hablar con gente en otros idiomas y manejarme en inglés de manera fluida. Esto me permitió por ejemplo hacer workshops de arquitectura en Dinamarca o exprimir al máximo el Máster de Vivienda Colectiva en Madrid.

Todo este tema sobre el inglés te la cuento porque a principios de 2015 escuché esta entrevista que me cambió profundamente la forma de vivir en enero y febrero. La entrevista es en inglés y si no lo manejas bien, tendrás problemas para entenderla y te estarás perdiendo algo brillante. Así que, aprende inglés El libro es de Hal Elrod y se llama The Miracle Morning (La Mañana Milagro). Habla de cómo cambiar tu vida cada día antes de las 8 de la mañana simplemente cambiando tus hábitos. Por el momento solo he leído la introducción pero ha sido fantástico y ¡¡quiero más!!

Te iré contando la progresión. Como te decía, en enero y febrero tuve una actitud diferente ante la vida, pero esta se volvió a modificar en marzo debido a pequeñas circunstancias como una lesión en el hombro y a que dejé de aplicar lo aprendido en la entrevista. Pero empezar este libro es algo muy grande, al menos el comienzo es superinspirador y sé que no me defraudará. Ya te contaré. A mis mejores amigos ya se lo estoy recomendando

Y sin más vueltas, vamos allá con las distancias, tema fundamental en Sistema Diédrico.

Las distancias son un tema muy importante en Sistema Diédrico porque nos permitirán conocer la verdadera magnitud de segmentos, las dimensiones de los objetos, etc. Cuando nos piden que encontremos la distancia entre dos elementos (planos, rectas, puntos…) siempre nos están pidiendo la distancia mínima entre ellas. Por eso se pide por ejemplo la distancia entre planos paralelos, porque en los planos que no son paralelos, la distancia mínima es cero, ya que siempre tienen una recta de intersección. Por eso también es importante la perpendicularidad, porque las rectas y planos perpendiculares nos conducen al camino de menor recorrido. En este artículo explicaré todos los casos básicos de distancias que existen, que son los siguientes:

1. Distancia entre 2 puntos
2. Distancia entre un punto y un plano
3. Distancia entre dos planos paralelos
4. Distancia entre 2 rectas paralelas
5. Distancia entre un punto y una recta
6. Distancia entre un plano y una recta paralela
7. Distancia entre 2 rectas que se cruzan.

El primer caso es el más importante y sencillo de todos. El objetivo de cualquiera de los otros casos es conseguir reducir el ejercicio a la distancia entre 2 puntos. Veamos cada uno de estos supuestos básicos con detalle.

1. Distancia entre 2 puntos

Para conocer la distancia entre dos puntos basta con encontrar la Verdadera Magnitud del segmento que los une. Como sabes, esto se puede hacer por giro, por abatimiento o por cambio de plano. Yo te voy a explicar el método más sencillo y rápido que es por un cambio de plano, solo que muy simplificado. Para un segmento cualquier oblicuo A-B, dibuja una recta perpendicular a la proyección horizontal a-b por el punto b. Sobre esa perpendicular mide la diferencia de altura entre a’ y b’. Une el punto resultante con a y tendrás la verdadera magnitud D. El resultado es que colocamos el segmento A-B como una recta frontal de plano y por tanto se puede medir en Verdadera Magnitud. ¡Esto es todo lo que hay que saber de distancia entre 2 puntos! No obstante, puesto que este es el caso más importante al que reduciremos cualquiera de los otros casos, te explicaré brevemente unos casos particulares, aunque sean fáciles de deducir. Además sé que te gusta que te lo dé bien explicadito ¿eh?

1. Recta horizontal o frontal de plano: Si los dos puntos tienen la misma cota (recta horizontal) o el mismo alejamiento (recta frontal), la distancia se puede medir directamente en la proyección oblicua a la línea de tierra.
2.  Recta de perfil: Si los dos puntos están alineados en una perpendicular a la línea de tierra necesitarás una tercera proyección mediante un plano de perfil para conocer la distancia real.
3. Recta de punta: si los puntos están alineados en una recta de punta se puede medir directamente la distancia entre ellos en verdadera magnitud.

De ahora en adelante presentaré la solución a cada tipo de ejercicio de dos maneras diferentes:

• Bien indicaré con una D en rojo la distancia en Verdadera Magnitud.
• O bien dejaré indicados dos puntos (por ejemplo A y B) en rojo que indican los extremos del segmento del que hay que hallar la verdadera magnitud, en cuyo caso habría que acabar el ejercicio según el apartado 1.

2. Distancia entre un punto y un plano

Para hallar la distancia entre un punto A y un plano P es suficiente con que dibujes una recta R perpendicular al plano P por el punto A y encuentres el punto de intersección I de la recta y el plano. La distancia entre el punto y el plano será la distancia entre el punto dado A y el punto de intersección I. Esto es el caso genérico de un plano oblicuo. Veamos algunos casos particulares más sencillos, con planos proyectantes, planos paralelos a los de proyección y planos paralelos a la línea de tierra. En los dos primeros casos no tendrás más que dibujar la recta perpendicular a la traza del plano. En el tercer caso solo tienes que buscar una tercera vista auxiliar de perfil.

3. Distancia entre dos planos paralelos

Nuevamente empezaremos en este caso con el ejercicio genérico de planos oblicuos para pasar después a solucionar casos concretos más sencillos. La distancia mínima entre dos planos paralelos la define una recta perpendicular a ambos. Por tanto, dados dos planos P y Q dibuja una recta R perpendicular a ellos, encuentra la intersección con ambos y la distancia entre los planos será la verdadera magnitud entre esos dos puntos de intersección. Los casos particulares son incluso más sencillos y se resuelven como en el apartado anterior, simplemente mediante rectas perpendiculares en el caso planos proyectantes o paralelos a los de proyección y mediante planos de perfil en el caso de planos paralelos a la línea de tierra.

4. Distancia entre dos rectas paralelas

Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas hay que medir en perpendicular a ellas y para ello tendrás que dibujar un plano perpendicular y encontrar la intersección de cada recta con él. La distancia será la verdadera magnitud entre los puntos de intersección. Veamos ahora 3 casos particulares: 1. Rectas paralelas a uno de los planos de proyección, por ejemplo distancia entre dos rectas horizontales. El proceso es el mismo que el indicado para el caso general. La única singularidad es que el plano es proyectante. 2. Rectas paralelas a la línea de tierra: estas rectas ser verán en la proyección de perfil como rectas de punta que marcarán directamente la distancia en verdadera magnitud. 3. Rectas de perfil: para poder dibujar un plano perpendicular necesitas una vista auxiliar de perfil. En ella dibujaremos el plano P perpendicular a R y S y llevaremos las intersecciones I1, I2 de la recta a las proyecciones horizontal y frontal. Ahí podremos medir la distancia.

5. Distancia entre un punto y una recta

Bueno, pues ya llevamos unos cuantos ejercicios y casos de distancias. Aunque sean muchos tipos diferentes puedes comprobar que siempre está el patrón común de encontrar el elemento perpendicular que nos lleva a encontrar la menor distancia posible y posteriormente hacer la intersección correspondiente. Conocer todos los casos te va a dar seguridad a la hora de realizar los exámenes. Para encontrar la distancia entre un punto y una recta haremos uso nuevamente de un plano perpendicular a la recta que pase por el punto. El proceso será el siguiente:

1. Plano P perpendicular a la recta R dada por el punto A dado.
2. Intersección de R con P.
3. Distancia en verdadera magnitud desde A hasta el punto de intersección I.

Veamos ahora 3 casos particulares:

• Recta horizontal: el proceso es el mismo, con la única singularidad de que el plano que utilizamos es proyectante que pasa por el punto A.
• Recta paralela a la línea de tierra: el plano utilizado es un plano de perfil cuya intersección con la recta se ve directamente en las proyecciones. Solo hay que encontrar la verdadera magnitud
• Recta de perfil: necesitamos como siempre una tercera proyección de perfil sobre la que proyectamos la recta y el punto A. Por A pasaremos un plano perpendicular a la recta que nos dará el punto de intersección i’’ en tercera proyección. Lo llevamos a las proyecciones ortogonales horizontal y vertical i, i’ y seguidamente solo queda obtener la verdadera magnitud del segmento A-I.

6. Distancia entre un plano y una recta paralela

Esto es ya demasiado fácil, ¿no? Estoy pensando que este no lo hago, que simplemente te lo explico brevemente. ¿Cómo se hace? Bueno, pues sencillamente tomando un punto A cualquiera de la recta y repitiendo el proceso del apartado 2: Distancia entre un punto y un plano. Para ello, dibuja una recta perpendicular al plano por ese punto A seleccionado de la recta. Encuentra el punto I de intersección de esa perpendicular con el plano y encuentra finalmente la verdadera magnitud del segmento A-I. Venga, lo dibujo también Los casos particulares se hacen como en el mencionado apartado 2.

7. Distancia entre 2 rectas que se cruzan

Este sí que es un ejercicio singular y distinto de todos los demás de distancias. Tendremos que hacer 2 cambios de plano hasta conseguir que una de las rectas se vea como recta de punta y entonces podemos reconocer la distancia mínima, además en verdadera magnitud. Así que, dadas dos rectas oblicuas R y S por sus proyecciones, haz un cambio de plano para situar (por ejemplo) la recta S como frontal de plano. Para ello sitúa una nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal s y encuentra la tercera proyección s’’. Encuentra asimismo la proyección r’’ de la otra recta. A continuación haz un segundo cambio de plano de manera que la nueva línea de tierra sea perpendicular a la proyección s’’. Si obtienes la cuarta proyección de la recta s’’’ comprobarás que se trata de una recta de punta. Al cambiar de plano y obtener r’’’ podrás ver la distancia mínima en verdadera magnitud que separa ambas rectas. Y esto ha sido todo. Espero que te hayan quedado claras las distancias. Si tienes alguna duda déjala en la parte de debajo de comentarios.

Tengo ahora mismo una agradable sensación de satisfacción.

Hace unos minutos he terminado el artículo que tienes ante ti y me parece que no me equivoco si digo que es el más extenso hasta el momento. Más de 7.000 palabras y más de 40 dibujos. Ha sido mucho trabajo, muchísimo, pero sé que merece la pena y tengo la impresión de que será un artículo MUY ÚTIL PARA MUCHA GENTE. Y esto me hace sentir muy bien. Quiero que cada uno de vosotros, cada uno de los que sigue mi blog sea capaz de sacar un 10 en dibujo.

Selectividad está a la vuelta de la esquina y vamos a dar lo mejor de nosotros mismos.

¡A por ello!

Pero antes de nada, te voy a poner la canción que más me ha acompañado durante la elaboración y que me trae muy buenos recuerdos: “Girl you are amazing, just they way you are”… que viene a ser algo así como “chica eres impresionante, sencillamente como eres”. Quizá te guste a ti también… o quizá no

Secciones en sistema diédrico

El tema de las secciones es en mi opinión uno de los más apasionantes del sistema diédrico. En primer lugar me parece muy divertido poder modificar un objeto volumétrico a mi antojo; elijo el plano que quiero y corto una pirámide, un cono o un prisma. En segundo lugar las secciones son algo muy tangible, muy intuitivo; es fácil imaginarse un corte en un trozo de queso, en una longaniza o en una naranja. Todo esto son cuerpos reales a los que les podemos hacer cortes reales. Dejamos atrás abstracciones como los puntos o las rectas con sus puntos traza para pasar a objetos físicos de nuestro entorno.

Es muy conveniente que aprendas las secciones bien, especialmente si te vas a dedicar a una carrera técnica, porque es algo que te acompañará siempre. Dependiendo de qué carrera elijas, tendrás que hacer secciones en edificios para ver cómo funcionan por dentro, en terrenos para ver qué desniveles tienen, en piezas mecánicas para ver cómo se fabrican… Por eso voy a intentar explicarlos de la manera más completa, sencilla y precisa posible.

¿Qué nos piden cuando tenemos que hacer una sección?

Cuando nos piden dibujar una sección normalmente nos dan un cuerpo de caras planas (poliedros: pirámide, cubo, prisma…) o de revolución (cono, cilindro, esfera) y nos dan también un plano por el que tenemos que cortar ese cuerpo.

El objetivo es que dibujes el corte que realizaría el plano en ese poliedro. Dicho de otra manera, se trata de que encuentres los puntos que tienen en común el plano y el cuerpo. Esto lo podemos conectar directamente con temas de los que ya hemos hablado como intersecciones de planos o de rectas con planos, en los que igualmente se trataba de encontrar los puntos que eran comunes a ambos elementos. Así que utilizaremos razonamientos similares.

Una vez que encuentras las dos proyecciones de la sección es muy probable que te pidan que encuentres su verdadera magnitud. Puesto que se trata de una sección plana (realizada por un plano) podrás encontrar la verdadera magnitud por abatimiento de ese plano.

En algunos de los ejercicios que explicaré dejaré solo indicada la sección con sus proyecciones y en otros encontraré la verdadera magnitud. En tu caso, lee con detenimiento el enunciado para ver exactamente qué te piden.

1. Secciones de poliedros

En primer lugar estudiaremos los poliedros (cuerpos facetados, es decir, con caras planas) y luego pasaremos a los cuerpos de revolución. Vamos con el tipo de plano más sencillo.

1.1. Sección por plano de perfil

La sección por un plano de perfil siempre produce dos proyecciones en sistema diédrico que son rectas coincidentes con las trazas del plano que empiezan y acaban junto con el contorno aparente de la pieza.

Como sabes por este artículo de planos, cualquier elemento contenido en un plano de perfil tiene sus proyecciones sobre las trazas, así que el único objetivo es encontrar la verdadera magnitud.

Pirámide recta

La sección en proyecciones diédricas la puedes ver en el dibujo como dos rectas perpendiculares a la línea de tierra y esas son las que tenemos que abatir. Como ves, los extremos de las líneas rojas (sección) coinciden con el contorno aparente de la pirámide.

CONSEJO

Para abatir correctamente esta sección te recomiendo que pongas nombres a los vértices y que, de manera ordenada vayas llevando el corte de cada arista al abatimiento.

Por ejemplo: Puedes ver en proyección horizontal que la traza P está cortando a la arista a-b en el punto que he denominado 1. La proyección vertical de este punto 1 se encuentra en la arista a’-b’ que es una arista sin altura, es decir, situada en la línea de tierra. Por tanto, llevaré el punto 1 al plano de perfil (abatimiento) utilizando el punto O como centro del arco de circunferencia y lo dejaré en la línea de tierra porque su cota=0.

Así iremos haciendo sucesivamente con el resto de los 4 puntos de la sección.

El punto 2 en proyección horizontal corta a la arista b-v así que, como puedes ver en proyección vertical, este punto sí tiene altura. Fíjate en que la arista b-v es parte del contorno aparente de la pirámide en proyección vertical. Llévalo al perfil usando el mismo camino que antes hasta encontrar el punto (2)

El punto 3 contenido en la arista C-V tiene altura y se hace igual que el 2, mientras que el punto 4 se hace igual que el 1 porque no tiene ninguna altura. Con los 4 puntos abatidos y unidos en el orden correcto tienes la ¡¡sección de la pirámide por el plano de perfil!!

Este es uno de los ejercicios más sencillos pero he querido explicarlo con todo detalle porque si entiendes este tenemos mucho camino recorrido. Es la esencia de las secciones. Básicamente se trata de encontrar el punto de intersección de las aristas con el plano. Repasa el ejercicio hasta que estés seguro de que lo has comprendido.

Vamos con otro.

Pero ya el último, que hay muchas secciones que ver

Un tetraedro apoyado sobre una arista

Aquí tenemos un caso singular. Como ves en la proyección horizontal, existen 3 puntos en los que la traza horizontal corta al tetraedro. No obstante, si te das cuenta, el punto central está cortando 2 aristas simultáneamente. ESO ES LO QUE NOS INTERESA: las aristas cortadas.

El punto 1 en proyección horizontal pertenece a la arista c-d y se encuentra a una altura media en proyección vertical. Del punto 3 tampoco hay dudas: en proyección horizontal pertenece a la arista a-b y en proyección vertical esta arista a-b es inclinada. En proyección vertical, los puntos 1’ y 3’ casi son coincidentes.

Como puedes comprobar, por el momento solo hemos definido los puntos 1’ y 3’ y estos se corresponden con puntos centrales de la sección en proyección vertical. Para que la sección se complete necesitamos dos puntos más, uno arriba que es el 2’(corte con la arista d’-b’) y otro abajo que es el 4’ (corte con la arista a’-c’). Ahora tenemos que encontrar la proyección horizontal de estos puntos y vemos las aristas b-d y a-c se cortan en un punto que coincide con la traza.

De esta manera hay que llevar los puntos 2 y 4 al abatimiento por el método general y ya tendremos la sección en verdadera magnitud.

1.2. Sección por plano horizontal o frontal

Estos son probablemente los más sencillos y directos, incluso más que los de perfil, ya que obtenemos la verdadera magnitud directamente. Como podrás comprobar, el método a utilizar es el mismo: ver cuáles son los puntos de corte de las aristas con el plano de sección y nuevamente el CONSEJO es el mismo: nombra los vértices y lleva cada punto de manera ordenada.

Veamos el caso más fácil que se me ocurre.

Cortamos esta pirámide por un plano horizontal en primer lugar y por un plano frontal en el segundo.

En el primer caso, el plano horizontal P corta a la arista a’-v’ en el punto 1’. Este baja hasta encontrar su proyección horizontal en la arista a-v. Siguiente punto de corte, el punto 2’ que está en la arista b’-v’ baja hasta la arista v-b y obtenemos su proyección 2. De igual manera la traza P’ del plano corta a la arista c’-v’ en el punto 3’ que tiene su proyección horizontal 3 en la arista c-v.

Nada más sencillo, ¿no?

Encuentras los puntos donde el plano corta a las aristas y hallas su proyección horizontal.

En el caso del plano frontal es exactamente lo mismo. La traza del plano P corta a la pirámide en los puntos 1, 2, 3 y 4. El punto 1 pertenece a la arista a-b por lo que su proyección vertical estará en la arista a’-b’. De igual manera se obtienen el resto de puntos y la sección definitiva.

Prisma con bases paralelas a un plano de proyección

Ahora vamos a ver el caso de este prisma de base rectangular con las bases paralelas al plano vertical de proyección.

Como ves, el plano horizontal P corta al prisma en las aristas a’-b’ y b’-c’. Estos dos puntos de corte ya los podemos llevar a su posición en proyección horizontal. Puesto que se trata de un prisma, tiene dos bases y estas se ven superpuestas en proyección vertical. Los dos puntos de corte van en proyección horizontal a las aristas a-b y b-c, pero también a la otra cara a1-b1 y b1-c1.

Así obtenemos el rectángulo de la sección.

Pirámide con arista de perfil

Aparentemente esta pirámide es tan sencilla como los ejercicios anteriores pero esconde un punto de dificultad que ahora veremos. Como siempre, ponemos nombre a los vértices, desde el A hasta el F y el vértice V. Está claro que el plano corta a la pirámide en 1’, 2’, 3’, 4’, 5’. Los puntos 2 y 4 se encuentran directamente en las aristas a-v y c-v.

Por su parte, el punto 1’ se encuentra en la arista a’-f’ que como puedes comprobar es de punta, es decir que cualquier punto de la recta tendrá su proyección horizontal en un único punto, donde están a y f. Lo mismo le pasa al punto 5.

El punto complicado es el 3, porque al bajar con una recta perpendicular a la línea de tierra no corta a la arista b-c. En estos casos tenemos 2 formas de resolver el ejercicio:

a) Por cambio de plano (plano de perfil)

Colocaremos la arista B-V paralela al plano de proyección mediante un plano de perfil. He dibujado el cambio de plano completamente con la arista E-V porque quizá te resulta más fácil de entender, aunque como ves no sería necesario. Cuando llevas la arista y el plano P al perfil obtienes directamente la posición del punto 3’’ en el perfil y así tienes su posición en altura. Ahora solo tienes que llevarlo a la proyección horizontal.

b) Por giro

Gira 90º la arista B-V alrededor de un eje de punta que pasa por V. Esto la situará en paralelo a la línea de tierra. Gira asimismo el punto de intersección 3’. El giro del punto B produce en proyección horizontal un desplazamiento horizontal hasta hacerlo coincidir con la vertical desde 3’. Sobre esta arista girada b1-V sí puedes llevar el punto 3 girado hasta su posición 3’’. Solo falta llevarlo a la proyección horizontal 3.

Al igual que con los planos de perfil prefiero explicar este tipo de movimientos con todo el detalle posible para que posteriormente no tengas dudas en ejercicios más complejos. Si no has entendido algo, vuelve a leerlo y mirar los dibujos hasta que te quede claro, porque merece la pena. Si aun así hay algo que no está claro, siempre puedes preguntarme.

1.3. Sección por plano proyectante

Poco a poco vamos entrando en el meollo de las secciones. Como ves, es un tema amplio. Si necesitas, ve a tomarte un respiro porque aún nos queda un tironcillo

Los planos proyectantes siguen siendo parte de los casos sencillos de secciones ya que una de las proyecciones se ve como una recta y es directa.

La siguiente sección de pirámide la resolveremos de dos maneras diferentes.

Método 1: Por aristas

Es el que hemos usado antes y es el más común que verás explicado en libros. Buscamos los puntos en los que la traza vertical del plano corta a las aristas de la pirámide. Así tenemos los puntos del 1’ al 5’ que tienen sus proyecciones horizontales bajando directamente en vertical hasta las aristas a-v para el punto 1, b-v para el punto 2 y así sucesivamente.

Método 2: Por homología

Encontramos un punto de la sección, por ejemplo el punto 1 en proyección horizontal y a partir de ahí vamos deduciendo el resto de puntos por homología. Veamos cómo:

En esta homología, los puntos 1 y a son homólogos, la traza horizontal P del plano es el eje y el punto v es el centro de homología.

Una vez que tienes la proyección horizontal de 1, para conseguir el siguiente punto de la sección podemos buscar la recta homóloga de a-e, así que la prolongamos hasta el eje (traza P) y lo unimos con el punto 1. Esto nos dará el punto de corte 2 en la arista b-e e incluso la recta de corte en la superficie.

Para el punto 3 solo tienes que prolongar a-b hasta la traza P y unirlo con 1.

Los puntos 4 y 5 se conseguirían lo mismo, siempre partiendo de puntos conocidos de la sección. Este segundo método que te he contado no es muy usual pero realmente es cómo en determinadas circunstancias.

Veamos otro ejemplo

En esta pirámide es fácil encontrar cuatro de sus puntos de corte, todos menos el 5 porque se encuentra en una arista de perfil. Podemos utilizar los dos métodos descritos anteriormente para solucionarlo (plano de perfil o giro) pero también podemos usar la homología como acabamos de ver.

Sinceramente esto es bastante más sencillo que el giro y el cambio de plano y, además, más preciso, porque te da directamente la inclinación de la recta de corte.

Bueno, pues, ejemplos de secciones por planos proyectantes hay tantos como te puedas imaginar pero todos se resuelven con los métodos descritos hasta ahora.

1.4. Sección por plano paralelo a la línea de tierra

El método sencillo, directo, rápido e inmediato es, en este caso, llevar todo al plano de perfil, evidentemente

Llega aquí el primer caso curioso. Aparentemente este plano no corta a la pieza ya que ninguna de las trazas corta a las proyecciones del prisma. En cambio, si dibujamos el plano de perfil… voila! Ahí lo tenemos. El plano corta completamente a la pieza.

Una vez que tanto el plano como la pieza están en el perfil (acuérdate de poner nombre a los vértices para no equivocarte) es fácil hacer el corte como si fuera un proyectante. Cada punto de la sección tiene que ir a su correspondiente posición en las proyecciones horizontal y frontal.

Empecemos con la proyección vertical: Los puntos extremos de la sección en proyección vertical los determinan 1’’ y 4’’. El plano corta a la arista B que está en la parte superior. Esto quiere decir que en la proyección vertical se verá ese punto como cortado. Lo mismo ocurre con las aristas A y C con los puntos de corte 2’’ y 3’’. Por último, el límite por abajo lo define 4’’ y como puedes ver el plano está cortando la base delantera del prisma, es decir, la cara a2-b2-c2-d2. Por tanto, cortará a las dos aristas que pasan por D, que son A-D y D-C (casi como el grupo de rock) en una línea horizontal.

Para la proyección horizontal nos llevamos los puntos 1’’, 2’’ y 3’’ desde el perfil hasta su arista correspondiente B, A y C respectivamente. El punto 4 que, como hemos visto, son en realidad dos puntos, se situará en la cara delantera. Para definir su posición en anchura la puedes bajar desde la proyección vertical.

Y así queda resuelta la figura.

Retomamos de nuevo el tetraedro del principio para ver otro ejemplo.

Lo primero que hay que hacer es llevar tanto el plano como el tetraedro al perfil. Si eso lo haces bien, tienes el 70% del ejercicio resuelto. Sé cuidadoso.

Con esto hecho, solo tienes que marcar los puntos de corte con aristas en el plano de perfil, que son 1”, 2” y 3” y llevarlos a las proyecciones. El 1” se va en paralelo a la línea de tierra hasta la arista a’-b’ y luego baja en perpendicular para obtener su proyección horizontal, ahora sobre a-b. El punto 2 hace el mismo recorrido hasta la arista A-D.

Puesto que el 3 está sobre el suelo y no puede cortar a su arista A-C lo llevaremos por la proyección horizontal primero. Ahí sí corta a la arista a-c en 3 y lo subimos hasta la línea de tierra en el punto 3’.

Como te había dicho, una vez que estaba hecho el plano de perfil correctamente esto era de lo más sencillo.

1.5. Sección por plano oblicuo

Esto ya son palabras mayores

En realidad, si has seguido el artículo completo y tienes los conocimientos básicos que he ido poniendo en 10endibujo verás que no te cuesta tanto como puede parecer. ¡Vamos!

Para hacer la sección de un sólido por un plano oblicuo te voy a dar 3 métodos que funcionan perfectamente en todos los casos y además te voy a dar 2 trucos de regalo.

Método #1 para seccionar un poliedro: Por cambio de plano

El cambio de plano es el método estrella para hacer una sección por plano oblicuo, funciona siempre y es muy sencillo.

Esto es tan sencillo como poner las cosas a nuestro favor. Si me dan un plano oblicuo y, la verdad, no me da mucha información, cambio mi punto de vista y me pongo a mirar el plano en una posición más favorable.

Con un plano oblicuo, el mejor cambio de plano posible es aquel en el que el plano se ve como proyectante.

Para conseguir esto podemos hacer un cambio de plano horizontal o vertical. Veamos el caso más sencillo de una pirámide. Tú ya sabes cómo se hace un cambio de plano, ¿verdad?

Cambio de plano de la pirámide

Por si no lo recuerdas, para poner un plano como proyectante tenemos que poner la nueva línea de tierra perpendicular a una de las trazas del plano. En este caso, yo la pongo perpendicular a la traza horizontal P del plano. Para cambiar de plano la pirámide tengo que llevar cada punto en proyección horizontal (a, b, c, d, e, V) hacia la nueva línea de tierra en perpendicular a esta. Por último tengo que colocar la altura de cada punto en la nueva línea de tierra para obtener las nuevas proyecciones (a”, b”, c”, d”, e”, V”). En nuestro caso, todos los puntos tienen cota cero (por lo que su nueva proyección vertical estar en la línea de tierra) salvo el punto V, que tiene una altura que he definido como “Hv” y es la que ponemos en la nueva línea de tierra.

Cambio de plano del plano

Para cambiar de punto de vista el plano solo tengo que tomar un punto de la traza vertical M(m’-m) y encontrar su nueva proyección m” gracias a la cota “Hm”. Una vez obtenido m” puedes unirlo con el punto de intersección de P con la nueva línea de tierra y obtienes P”, es decir, la nueva traza vertical del plano.

Una vez que tenemos el plano P como proyectante vertical y la pirámide también en el cambio de plano, podemos hacer la sección como hemos visto en el apartado anterior 1.4. Vemos cada punto de corte de la traza vertical P” con las aristas y los llevamos a la proyección horizontal.

Tenemos nuevamente el inconveniente de una arista de perfil, la B-V. Como hemos visto, la manera más rápida e inmediata de resolverlo es por homología, así que lo hago de esta manera, apoyándome en la arista A-B.

El último paso será encontrar la proyección vertical de la sección.

Quizá a ti te pidan encontrar la verdadera magnitud de la sección, así que te tocaría hacerla ahora, pero a mí no, porque yo mismo he definido el enunciado Solo tendrías que hacer el abatimiento del plano oblicuo, como siempre. En ocasiones también te pueden pedir que rellenes la sección con un rayado.

Por si no ves claramente la pieza seccionada, aquí te la dejo limpia de líneas auxiliares y con la sección rayada.

Como te decía, el método del cambio de plano funciona siempre, así que, si quieres, puedes dejar de leer esta Sección 1 de poliedros y pasar a los cuerpos de revolución. De todas formas no te lo recomiendo, porque en ocasiones no será necesario hacer un cambio de plano y puedes ahorrarte mucho tiempo.

¡Ah! Y lo mismo que hemos hecho con un cambio de plano vertical puedes hacerlo con uno horizontal. Estúdiate bien el tema de cambios de plano porque es una estrategia muy útil.

Método #2 para seccionar un poliedro: Por aristas contenidas en planos

Este método está basado en las intersecciones de rectas con planos. En este caso, la arista es la recta y el plano de sección el plano dado.

Lo que tienes que hacer es contener una arista en un plano cuya intersección con el plano dado sea fácil.

Tomamos el mismo ejemplo de la pirámide.

Si nosotros contenemos la arista C-V en un plano proyectante Q, podemos hacer fácilmente la intersección de este plano Q con el plano P que nos dan. La intersección de dos planos es una recta, en nuestro caso, la recta I(i’-i) de intersección. La intersección de esta recta I(i’-i) con nuestra arista C-V será la intersección del plano P con la arista C-V y, por tanto, uno de los vértices de nuestra sección.

Veámoslo gráficamente.

He introducido la recta C-V en un plano proyectante vertical Q: traza vertical perpendicular a la línea de tierra y traza horizontal oblicua, coincidente con la proyección horizontal de la arista c-v. A continuación he encontrado la intersección de los planos P, Q. El punto en que la proyección vertical de i’ corta a c’-v’ es un punto de la sección que podemos bajar a su proyección horizontal en la arista c-v.

Sencillo, ¿no?

Ahora podemos repetir el ejercicio con las otras 4 aristas de la pirámide o utilizar el método de homología en proyección horizontal para encontrar la sección. Puesto que este apartado está dedicado a los planos que contienen rectas, seguiré usando el mismo método.

• El plano U contiene a la arista B-V y la recta de intersección J es la intersección de U,P.
• El plano W contiene a la recta D-V y la recta de intersección K es la intersección de W,P.

• El plano X contiene a la arista E-V.
• Con la arista A-V tenemos un pequeño inconveniente y es que la intersección con el plano P sale muy lejos del dibujo. Podemos utilizar un método alternativo para encontrar la sección mediante un plano auxiliar, podemos hacer el cambio de plano solo para esa arista o podemos facilitarnos la vida utilizando la homología. Me decido por esta última opción

Con esto queda hecha la sección y puedes comprobar que sale exactamente igual que con el primer método de cambio de plano.

Método #3 para seccionar un poliedro: Por planos que contienen caras

Este método funciona perfectamente igual que los anteriores, pero tiene el inconveniente de que puede ser complicado contener una cara en un plano. Por eso este método está especialmente indicado cuando las caras sean perpendiculares a los planos de proyección. En estos casos, podremos contener la cara completa en un plano proyectante y el ejercicio será sencillo.

En el caso de pirámides, por ejemplo, las caras no suelen estar paralelas a los planos de proyección. Por tanto habría que contener las caras en planos oblicuos y el tiempo y la cantidad de líneas que supone hacer esto no merecen la pena.

Veamos un caso en el que es recomendable aplicar este método:

Los prismas

Si en el siguiente prisma de base pentagonal contengo la cara vertical que pasa por los puntos A, E en un plano proyectante horizontal Q y hago la intersección de P, Q, estaré obteniendo la recta completa de intersección I(i’-i) de dichos planos. Solo me tengo que quedar con el tramo correspondiente a la cara del prisma (remarcada en rojo)

• El plano U contiene a la cara E-D y su intersección J con el plano P da la intersección en esa cara.
• El plano V contiene a la cara C-D y su intersección K es parte de la sección del prisma.

¿Te das cuenta cómo van coincidiendo las rectas de sección de cada cara unas con otras? Se va formando lógicamente una sección continua.

Hasta ahora hemos hecho la intersección de 3 caras con el plano P. Podríamos seguir con las otras dos pero quiero mostrarte una alternativa. De hecho, si hiciéramos contener las caras A-B y B-C en dos planos proyectantes, ambas intersecciones con el plano P quedarían lejos del dibujo. Para estos casos puedes utilizar el método 2 explicado anteriormente, que es contener una arista en un plano.

Puesto que ya conocemos los puntos de corte del plano P con las aristas A, C, D y E, solo nos faltaría conocer la intersección con la arista B. Pasamos entonces un plano W frontal (porque es el más sencillo) por la arista B y encontramos su intersección con el plano P.

La intersección de un plano oblicuo con un plano frontal es una recta frontal, que podemos dibujar a partir del punto de corte de sus trazas horizontales.

¡Aquí has de tener mucho cuidado!

No te quedes con toda la recta. Hemos contenido la arista vertical en un plano, por tanto la recta de intersección que obtenemos nos da un punto.

Puesto que el plano P corta a todas las aristas verticales, la proyección horizontal de la sección coincide con el contorno del prisma. En el siguiente apartado te explicaré los trucos que te había prometido y comprobarás que hay casos en los que la sección no coincide con la proyección horizontal completamente.

Te dejo el plano P y la sección que le hace al prisma, sin líneas auxiliares. He quitado la parte superior.

Truco nº1 para secciones de poliedros: la cara superior

En numerosas ocasiones tendrás que hacer la sección de un prisma o cualquier otro poliedro que esté limitado superiormente por una cara plana horizontal. Por ejemplo el caso del prisma anterior o de los que te indico a continuación.

Un buen punto de partida es encontrar la intersección de dicho plano horizontal con el plano P que nos dan. Si la recta de intersección corta la proyección horizontal de esa cara, ya tenemos 2 puntos de la sección. Si queda fuera de la cara, sabemos que la sección quedará cerrada más abajo.

Aunque pueda parecer confuso es útil para empezar. Veamos dos ejemplos, uno en el que corta a la cara superior y otro en que no.

En este primer ejemplo, el plano P corta a la cara superior. Hacemos contener esa cara en un plano Q horizontal, obtenemos la intersección de P con Q, que es la recta horizontal h. Esta corta a la cara superior del prisma en proyección horizontal en los puntos 1 y 2. Sube estos puntos a la proyección vertical porque son definitivos de la sección.

Ahora solo quedaría encontrar la intersección de la cara C-D (mediante plano proyectante U) con el plano P y tendríamos los puntos 3 y 4. Al unirlos con 1 y 2 obtenemos la sección definitiva.

Vamos con el segundo ejemplo.

En este caso, al seguir el mismo proceso anterior de contener la cara superior en un plano Q vemos que la recta de intersección h queda fuera de la proyección horizontal del prisma. Esto significa que el plano no corta la cara superior del prisma y simplemente tendremos que proceder según alguno de los métodos anteriores. Yo tomo el tercero, porque es más adecuado para prismas. Contengo dos caras verticales del prisma en sendos planos proyectantes y hago la intersección de estos planos con el plano P.

Truco nº2 para secciones de poliedros: caras apoyadas en los planos de proyección

Cuando tengas una cara completa de un poliedro sobre uno de los planos de proyección puedes estar seguro de que la sección que produce el plano pasará exactamente por la traza del plano.

En este caso, la base del prisma está apoyada en el plano horizontal y la traza horizontal P atraviesa la base, así que los puntos 1 y 2 pertenecen directamente a la sección. Para terminar de resolver el ejercicio meto las dos aristas verticales en planos frontales, lo cual da una recta de intersección frontal con el plano P.

Si en lugar de una cara es una arista, la sección pasará por el punto en que la traza toca a la arista. En el siguiente ejemplo, la arista A-C está contenida en el plano horizontal de proyección y la traza P la corta, así que el punto 1 de corte entre P y A-C es un punto de la sección.

¿Cuál sería el mejor método para resolver esta sección?

Bueno, ahora sí, una cocacola, ¡¡por favor!!

Tómate un respiro porque vamos con la Sección 2.

2. Secciones de cuerpos de revolución

2.1. El cono

Hablaremos en este artículo del cono recto, ya que es el más común a nivel de bachillerato. Aunque hay diferentes tipos de conos, daré aquí un método que servirá para resolver cualquiera.

En primer lugar vamos a definir las formas de las secciones que podemos tener en un cono:

• Circunferencia: cuando el plano de sección es perpendicular al eje del cono.
• Elipse: cuando el plano de sección es oblicuo al eje y no es paralelo a ninguna generatriz.
• Parábola: cuando el plano de sección es paralelo a una única generatriz del cono
• Hipérbola: cuando el plano de sección es paralelo a 2 generatrices del cono.

Este último caso se da cuando consideramos las dos ramas de un cono. Es decir, puesto que las generatrices son infinitas y se cortan en un punto (vértice del cono) existirá una rama del cono a cada lado del vértice. Nosotros en general solo tendremos conos de una rama, por lo que no es necesario que tengamos en cuenta este caso.

Existe un último caso de sección que es cuando el plano contiene al eje. En este caso la sección es un triángulo.

Veamos los casos más sencillos de secciones por planos paralelos a los de proyección.

Sección del cono con planos paralelos a los de proyección

En el primer caso tenemos un plano horizontal, que es perpendicular al eje del cono. La sección que produce es una circunferencia. Para saber el diámetro debes entender que el contorno del cono en proyección vertical viene definido por las generatrices paralelas a la línea de tierra, es decir, la recta paralela a la línea de tierra que pasa por el vértice.

Si bajas los puntos de corte 1’, 2’ del plano P con el contorno del cono en proyección vertical hasta esas generatrices conseguirás el radio. Lógicamente la circunferencia de la sección es concéntrica a la base del cono.

En el segundo caso tenemos un plano frontal que es paralelo al eje del cono. La traza del plano corta directamente a la base en los puntos 1 y 5 que podemos llevar a la proyección vertical directamente sobre la línea de tierra.

Para encontrar sucesivos puntos tomaremos diferentes generatrices del cono. En este caso he dibujado únicamente 3 porque ya son suficientes, formando 45 y 90º con la línea de tierra. Hagamos por ejemplo la generatriz A. Dibújala en proyección horizontal, es decir, une V con a. Seguidamente encuentra la proyección vertical del punto A que está en la línea de tierra a’ y únelo con V’. La recta a’-V’ es una generatriz del cono. Ahora observa que el plano P corta a la generatriz a-V en el punto 2. Lleva ese punto a la proyección vertical y obtendrás 2’, exactamente sobre la proyección vertical de la generatriz a’-V’.

Haz lo mismo para obtener el punto 4’.

Para el punto 3, puesto que se encuentra en una generatriz que está de perfil, utilizaremos un giro de 90º. Llévalo con el compás en proyección horizontal hasta la generatriz paralela a la línea de tierra y súbelo hasta el contorno de la proyección vertical. Desde ahí, desplázalo en horizontal hasta su generatriz y obtendrás 3’.

Estas secciones, una vez que has obtenido suficientes puntos, deberás dibujarlas a mano. Aquí entran en juego tus fantásticas habilidades

Bueno, pues, mucho más difíciles no van a ser los ejercicios.

Sección del cono con planos proyectantes

El caso de un plano proyectante paralelo al eje es muy similar al segundo ejercicio de los que hemos visto anteriormente, simplemente que con un plano girado. Veamos cómo se resuelve.

En este caso es importante remarcar algunos puntos concretos:

1. Los puntos de la base: los puntos de corte de la traza horizontal con la circunferencia de la base. Son por así decirlo el arranque de la sección. (Puntos 1 y 2 en el dibujo)
2. El punto más alto de la sección: es el situado en la perpendicular al plano que pasa por V. (Punto 3) Para encontrar este punto necesitamos la generatriz perpendicular a la traza P del plano, la generatriz A-V.
3. El punto de tangencia: el punto donde la sección es tangente al contorno del cono. Este punto lo obtendrás en la generatriz paralela a la línea de tierra que, como hemos dicho antes, es la que define el contorno. (Punto 4)

Para terminar de completar el ejercicio, busco la sección con la generatriz B-V para tener un punto adicional, el punto 5’. Lo he resuelto igualmente por giro, como en el caso anterior.

En muchas ocasiones es posible que te pidan la verdadera magnitud con lo que simplemente tendrás que abatir el plano proyectante y cada uno de los puntos que has conseguido.

Vamos con el plano proyectante vertical

El caso genérico es el que tenemos más abajo. Para resolver esta sección que será una elipse tenemos dos métodos.

Método 1: por generatrices

Divide la circunferencia de la base en 8 partes iguales (a 45º cada división), dibuja la proyección vertical de cada una de esas 8 generatrices y encuentra los puntos en proyección vertical en que el plano corta a las generatrices. Encuentra su proyección horizontal y ¡listo!

Método 2: por ejes de la elipse

Este método es más preciso. La traza vertical P’ produce una sección en línea recta con extremos 1’, 2’. Estos puntos llevados a la proyección horizontal (recuerda que es en las generatrices paralelas a la línea de tierra que son las que definen el contorno) nos dan los extremos del eje mayor de la elipse.

El eje menor se encuentra en 3’-4’ como recta de punta en el punto medio del segmento 1’-2’. Podemos encontrar su longitud mediante un giro.

Sección del cono con planos oblicuos

Mi mejor recomendación para hacer la sección de un cono por plano oblicuo es hacer un cambio de plano para colocar el plano como proyectante y a partir de ahí seguir el proceso explicado anteriormente. Es la mejor manera porque así puedes encontrar los ejes de la elipse.

Como sabes, tienes que dibujar una nueva línea de tierra perpendicular a la traza horizontal P del plano. Hay que cambiar de plano la traza vertical P’ y para ello tomamos un punto de la misma y lo proyectamos hacia la nueva línea de tierra. Coloca la misma altura “cota” y obtendrás P”. Lleva también el cono a la nueva proyección vertical con su altura “H”.

Una vez que tienes la nueva proyección del cono y el plano como proyectante ya puedes hacer el proceso del apartado anterior.

Pero, ¿cómo encontrar en este caso los ejes de la elipse, cuando la elipse está cortada?

Muy sencillo. Tienes que dibujar el cono como si fuera continuo hasta que el plano lo corte en el otro extremo 2”. Así obtienes el eje mayor de la elipse. El eje menor, como en el ejercicio anterior.

Para llevar los puntos a la proyección vertical habría que utilizar los diámetros conjugados de la elipse 1’-2’ y 3’-4’. Para encontrarlos hay que utilizar las generatrices que pasan por dichos puntos. Encuentra también el punto de tangencia de la curva con el contorno del cono, que está en la generatriz paralela a la línea de tierra.

La alternativa al método del cambio de plano sería dividir el cono en 8 generatrices y hacer la intersección de cada generatriz con el plano de sección P. Para ello, como recordarás del apartado de poliedros tenías que pasar un plano proyectante que contuviera cada generatriz. Es un método válido aunque no tan precios como el que he explicado.

2.2. El cilindro

El cilindro es aún más sencillo que el cono.

Si consideramos un cilindro apoyado por una de sus bases en el plano horizontal de proyección:

• Un plano paralelo al plano horizontal produce una sección circular del mismo diámetro que las bases.
• Un plano paralelo al frontal produce una sección rectangular vista en verdadera magnitud.

• Un plano proyectante horizontal produce una sección rectangular en proyección, que habrá que abatir o cambiar de plano para ver en verdadera magnitud.

• Un plano proyectante vertical produce una sección en forma de elipse, cuyo eje menor tiene siempre la misma dimensión que el diámetro de las bases. La longitud del eje mayor depende de la inclinación del plano.

• Un plano oblicuo se puede simplificar mediante cambio de plano a uno proyectante.

Esta es la receta típica y clara para las secciones de cilindros.

La alternativa para hacer la sección por un plano oblicuo que no sea mediante cambio de plano es utilizar planos proyectantes (o frontales) que contengan generatrices completas del cilindro y encontrar la intersección de estos planos con el plano dado. Veámoslo con un ejemplo

En primer lugar podemos utilizar el truco que te enseñé para los poliedros, por el que utilizamos un plano horizontal Q que contenga a la base superior del cilindro y hacemos su intersección con el plano P. La intersección es una recta horizontal que en nuestro caso sí corta al cilindro, por lo que ya tenemos dos puntos de la sección 1 y 2.

Como ves, el plano no cortará a la base inferior porque la traza no lo toca.

Ahora dividimos la circunferencia de la base en 8 partes iguales y hacemos pasar por esas generatrices planos frontales. Encontramos a continuación la intersección de esos planos frontales con el plano P.

Por ejemplo, el plano frontal U contiene a la generatriz de base A. La intersección de los planos P, U es la recta frontal J, la cual corta a la generatriz de base A en el punto 3’. Este punto 3’ pertenece a la sección.

Por el resto de generatrices aplicamos el mismo método:

Como ves, todas las generatrices dan puntos de corte, del 3 al 8. Las dos únicas que no dan puntos de corte son las generatrices que he denominado a y b. Estas tendrían sus puntos de corte por fuera del cilindro (más arriba) y por tanto quedan fuera de la sección real. La sección termina en los puntos 1 y 2.

Con esto queda terminado el cilindro, en lo más básico.

2.3. La esfera

Vamos allá con la esfera, la última pieza de revolución y el último volumen que estudiaremos en este artículo. Espero que sigas ahí

La sección de una esfera por un plano es SIEMPRE una circunferencia.

Fácil, ¿no? La única dificultad en este caso es dibujarla correctamente, en su posición y con su diámetro adecuados.

Sección de la esfera por planos paralelos a los de proyección

Cuando la sección de una esfera viene dada por un plano frontal o uno horizontal, la sección siempre se ve en verdadera magnitud. El diámetro de la sección lo dan los extremos 1 y 2 de la sección, en la proyección en que se ve como una recta. Tendremos que llevar esos puntos 1 y 2 sobre el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.

Recuerda que el contorno aparente de la circunferencia en una proyección viene determinado por el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.

Sección de la esfera por planos proyectantes

En este caso nuevamente la sección es una circunferencia pero ahora no se verá en verdadera magnitud, sino como una elipse en una proyección y como una recta en la otra.

Los puntos 1, 2 en que la traza horizontal corta al perímetro de la esfera en proyección horizontal tienen su proyección vertical 1’, 2’ en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Ahí tenemos los extremos del eje menor de la elipse.

Para encontrar el eje mayor de la elipse tomamos el punto medio del segmento 1-2 (puedes hacerlo con una perpendicular desde O). En este punto medio están 3 y 4, los extremos del eje mayor de la elipse. Para encontrar su posición en proyección vertical tenemos que hacer una sección por un plano frontal que contenga a estos puntos.

Esa sección la hemos visto antes y es simplemente una circunferencia con un radio hasta el punto a’. En esa circunferencia se encuentran las proyecciones verticales 3’ y 4’.

Por último encontramos los puntos de tangencia de la elipse que se pueden ver en el diámetro paralelo a la línea de tierra en proyección horizontal. Es el punto T que tiene como proyecciones verticales los puntos T1 y T2.

Así que la sección y su abatimiento quedarían así:

La sección de la esfera por un plano oblicuo se realiza como siempre por cambio de plano, colocando el plano de sección P como proyectante.

- THE END -

Bueno, aquí se acaba el artículo por hoy. No recuerdo un artículo tan extenso como este. Al principio no pensé que fuera tan extenso el tema de secciones pero se ha llevado muchas horas.

Solo espero que te haya quedado claro. Si tienes cualquier duda estaré encantado de contestarte en los comentarios de más abajo.

Si te ha gustado el artículo, compártelo a través de las redes sociales o suscríbete a la lista de correo.

Las intersecciones de rectas con cuerpos geométricos, es decir, con volúmenes, es simplemente una continuación del artículo anterior sobre secciones. Como comprobarás en un momento, no tiene mucha mayor dificultad que eso.

¿Qué es la intersección de una recta con un cuerpo geométrico?

Cuando una recta corta un cuerpo geométrico, dado que la recta es infinita, tendrá al menos 2 puntos de intersección, los que podemos llamar punto de entrada y punto de salida. Son los que denominaremos en los dibujos I1 (i1-i1’) e I2(i2-i2’).

Estos 2 puntos de intersección son lo que nos están pidiendo que encontremos.

En los casos en que un cuerpo geométrico sea más complejo puede tener más de dos puntos de intersección. En todo caso será siempre un número par de puntos, porque tiene que haber tantos puntos de entrada como puntos de salida.

Método general

Este es el método paso a paso que te servirá para resolver prácticamente todos los ejercicios de intersecciones.

1. Dibuja un plano P que contenga a la recta R dada. Lo ideal es que utilices un plano lo más sencillo posible y estos serían los casos:
   1. Para una recta horizontal: usar un plano horizontal
   2. Para una recta frontal: usar un plano frontal
   3. Para una recta oblicua: usar un plano proyectante
   4. Para una recta de perfil: usar un plano de perfil
   5. Para rectas de punta y rectas verticales veremos una manera más sencilla de resolverlo.
2. Encuentra la sección que produce el plano P en la pieza.
3. Encuentra los puntos de intersección de la recta R con la sección realizada en el apartado anterior.

Con esto tienes prácticamente todo resuelto. Así que el artículo que te tienes que estudiar bien es el de secciones.

Recta oblicua con pirámide

Veamos un ejemplo genérico y muy común: la intersección de una recta oblicua con una pirámide.

En general tendremos siempre 2 opciones sencillas de resolver. En este caso podemos:

• Introducir la recta en un plano proyectante horizontal cuya traza horizontal P coincida exactamente con la proyección horizontal r de la recta
• Y también podemos introducir la recta en un plano proyectante vertical Q cuya traza vertical coincida con la proyección vertical de la recta.

Veamos el primer caso: Hacemos coincidir la traza horizontal P con la proyección horizontal r. La traza vertical P’ sería perpendicular a la línea de tierra. El segundo paso será encontrar la intersección del plano P con la pirámide. Para ello sube los puntos de intersección a y b con la base de la pirámide hasta su proyección vertical a’, b’ en la línea de tierra. El otro punto de corte con la pirámide es el vértice V, por lo que la sección será un triángulo indicado en línea roja fina en el dibujo.

Los puntos I1, I2 de intersección de la recta r’ con la sección triangular dibujada serán la solución del ejercicio. Solo queda encontrar su proyección horizontal, lógicamente sobre la proyección horizontal r de la recta.

Vamos con el segundo caso:  Introducimos la recta R en un plano proyectante vertical y para ello hacemos pasar la traza Q’ del plano por la proyección vertical r’ de la recta. La traza horizontal del plano será Q, perpendicular a la línea de tierra.

La sección que produce el plano Q será un hexágono cuyos puntos del 1 al 6 vienen determinados por la traza vertical Q’. Baja esos puntos hasta sus correspondientes aristas. El punto de corte de esta sección hexagonal con la proyección horizontal r de la recta serán los puntos I1 e I2 que buscábamos. Encuentra su proyección vertical sobre r’.

Y lo mejor viene al superponer los dos casos. Como ves, ¡¡coinciden!!

Da igual el plano que utilices: si lo utilizas correctamente, la solución es la misma.

Lo único que nos queda por definir son las partes vistas y ocultas.

En proyección horizontal vemos los puntos de entrada y salida de la recta sin problemas: la pirámide en ningún momento se pone en medio, así que la recta será vista, siempre que está por la parte exterior de la pirámide.

En proyección vertical, el punto I1 es visto porque está por delante de las aristas que definen el contorno de la pirámide. En cambio, el punto I2 está por detrás, así que será oculto. El tramo desde i2’ hasta el contorno de la pirámide es oculto y, por tanto, discontinuo.

Como has podido ver, el método es sencillo: plano que contiene a la recta, sección del plano con la pirámide y encontrar el punto de corte de la recta con esta sección.

Vamos con otro ejemplo:

Intersección de recta frontal con pirámide

Este es un caso si cabe más sencillo que el anterior y que resolveremos igualmente de 2 maneras diferentes, para que tú elijas la que prefieras.

Método 1º: Con un plano frontal

Introducimos la recta R en un plano frontal P cuya traza horizontal coincida exactamente con la proyección horizontal r de la recta. Encontramos a continuación la sección que produce este plano P sobre la pirámide. Para ello llevamos los puntos de corte de la traza horizontal P con cada arista a su correspondiente en proyección vertical. Dos puntos van a la base de la pirámide y dos a las aristas en altura. Forma un trapecio simétrico.

La intersección de la proyección vertical r’ con esta sección en forma de trapecio nos da los puntos i1’ e i2’ solución del ejercicio. Las proyecciones horizontales se encuentran lógicamente en r.

Método 2: Con un plano proyectante vertical

Para utilizar un segundo método introduciremos la recta en un plano proyectante vertical que tiene su traza vertical Q’ coincidente con la proyección vertical r’ de la recta y su traza Q horizontal perpendicular a la línea de tierra.

La sección que este plano produce en la pirámide tiene forma de hexágono, en este caso irregular. Encuentra los puntos en que la traza Q’ corta a cada arista de la pirámide y bájalos hasta encontrar la proyección horizontal de su correspondiente arista.

Los 2 puntos en que la proyección horizontal r corta a esa sección hexagonal son los puntos i1 e i2 solución del ejercicio. Sus proyecciones verticales se encuentra en r’.

Al superponer ambos métodos comprobamos nuevamente que los puntos de intersección coinciden.

En este caso la recta es completamente vista, tanto en proyección horizontal como en vertical, excluyendo las partes en que la recta está dentro de la pirámide. En este tramo suele no dibujarse la recta.

Rectas de punta y vertical

Como te decía, las rectas de punta y vertical son dos casos excepcionales que resolveremos de otra manera. De todas maneras, siempre puedes utilizar el mismo método anterior; es el método general que siempre funciona. Por ejemplo, si la recta es vertical podrías introducirla en un plano frontal P y hacer la intersección del plano con el cuerpo geométrico tal como hemos descrito anteriormente.

Obtendríamos una sección en forma de trapecio que la proyección vertical r’ de la recta corta en dos ocasiones, en i1’ y en i2’.

A continuación te explico el método alternativo y más abreviado.

Método alternativo para rectas verticales y de punta

En una recta vertical y en una recta de punta conocemos con precisión cual es una de las proyecciones de todos los puntos de una recta. En la proyección en que vemos la recta de punta, todos los puntos de la recta tienen su proyección exactamente en ese punto.

Los puntos de intersección no son más que aquellos puntos en la otra proyección contenidos en las caras del objeto.

Si tenemos por ejemplo una pirámide y una recta vertical, buscamos las caras que atraviesa la recta y encontramos los puntos de la recta en contacto con esas caras. Para ello utilizamos una recta auxiliar contenida en la cara de la pirámide que pasa por la proyección horizontal de la recta (el punto), la recta 1-v. Seguidamente encontramos la proyección vertical de esa recta 1’-v’ y el punto de corte de esta proyección con la recta r’ será el punto de intersección buscado.

Esto es mucha explicación para algo tan fácil como lo siguiente.

Date cuenta de que cuando hay un punto de entrada SIEMPRE hay un punto de salida. En este caso será por la base. El punto 2 es el centro de la base de la pirámide. La recta 1-2 tiene su proyección vertical en 1’-2’ y así obtenemos I2.

Para todas las demás figuras geométricas (cubo, octaedro, tetraedro, prismas, etc.) el proceso es exactamente el mismo, así que no merece la pena repetirlo más. Vamos con los cuerpos de revolución, que merecen una mención especial.

Intersección de rectas con cuerpos de revolución

Aunque con los cuerpos de revolución funciona igualmente el método general, te voy a dar a continuación algunas ideas para evitar que tengas que encontrar la sección en forma de elipse o parábola de uno de estos objetos.

Así trabajarás más rápido y con mayor precisión.

1. La esfera

El caso de una recta horizontal o frontal es muy sencillo y se hace aplicando el método general. Veamos una recta horizontal: utilizamos un plano horizontal P que la contiene y le hacemos su correspondiente sección. Para encontrar la sección de este plano encontramos el punto 1’ en que P’ corta al contorno de la esfera en proyección vertical. Este punto tiene su proyección horizontal 1 en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Con centro en O y radio O-1 trazamos una circunferencia que es la sección del plano P sobre la esfera.

La intersección de r con esta circunferencia de sección da los 2 puntos de intersección i1 e i2 que tienen su proyección vertical en r’.

Bueno, este caso es sencillo. Vamos con una recta oblicua.

Para resolver la intersección de una recta oblicua con una esfera tenemos varias posibilidades:

1. Encontrar la sección elíptica que produce un plano proyectante auxiliar.

Hay que introducir la recta en un plano proyectante P y encontrar la sección de este plano sobre  la esfera. La intersección de esta sección con la recta nos da los dos puntos de intersección. Este es el método más impreciso y que menos recomiendo.

2. Encontrar la sección por cambio de plano

En este caso introducimos igualmente la recta en un plano proyectante P, igual que antes, pero ahora aplicamos un cambio de plano con el que veremos el plano P como frontal y la sección que produce será una circunferencia. Así ganamos en precisión.

No olvides cambiar de plano también la recta.

En el cambio de plano, la sección que produce un plano frontal con la esfera es una circunferencia. La intersección de esta circunferencia con la proyección r’’ de la recta da como resultado los puntos i1’’ e i2’’. Al llevar estos sobre sus proyecciones correspondientes en r y r’ obtenemos el resultado, que, lógicamente coincide con el método anterior.

3. Resolver mediante giro

Este es el método más rápido a la vez que preciso pero también posiblemente el que más esfuerzo mental requiere.

Consiste en girar la recta R hasta colocarla como frontal R2. En este momento hacemos la sección que produce un plano P frontal que contiene a R2 sobre la esfera, que será una circunferencia vista en verdadera magnitud. La intersección de esta sección en forma de circunferencia con la proyección vertical r2’ de la recta girada nos da los puntos de intersección en el giro.

Para encontrar los puntos definitivos I1 e I2 solo hay que deshacer el giro.

Con estos 3 métodos queda suficientemente clara la intersección de una recta oblicua con una esfera, ¿no?

2. Cono

Aunque el método general explicado al principio sirve también para cono y cilindro, en general los planos proyectantes producen secciones con forma de elipse o parábola y de esta manera el proceso es laborioso y, sobre todo, impreciso.

Vamos a utilizar un método por el que conseguiremos siempre secciones triangulares en el cono y secciones rectangulares en el cilindro.

Para el cono el proceso es el siguiente:

1. Tomar un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
2. Dibujar la recta S(s’-s) que une A(a’-a) con el vértice del cono V(v’-v)
3. Hallar y unir los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
4. La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cono es triangular, pasa por el vértice y por los puntos de corte de la traza con la base del cono.

Esto sucede solo en el caso de que el cono esté apoyado en el plano horizontal de proyección.

En este caso hemos utilizado también un plano que contiene a la recta R, solo que no es proyectante, sino que es un plano que pasa por el vértice. Así tendremos siempre una sección triangular, que son más rápidas y precisas de dibujar.

Hemos conseguido que el plano pase por el vértice porque hemos utilizado una recta S que corta a la recta R en el punto A y hemos hecho que esta recta S pase por el vértice.

3. Cilindro

El caso del cilindro es similar al del cono. La única diferencia es que en el caso del cilindro el vértice es un punto impropio, lo que quiere decir que en lugar de tomar una recta que pase por el vértice, utilizaremos una recta paralela a las generatrices.

Veámoslo paso a paso:

1. Toma un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
2. Dibuja una recta S(s’-s) que pasa por A(a’-a) y es paralela a las generatrices del cilindro.
3. Halla y une los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
4. La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cilindro es rectangular, con dos lados paralelos a las generatrices del cilindro y pasando por los puntos de corte de la traza con la base del cono.

Sencillamente fantástico, ¿no? Una manera de simplificarte la vida

Tu turno

Eso ha sido todo por mi parte en cuanto al tema de intersecciones. Se pueden poner obviamente mil ejemplos, pero todos se resuelven con las claves que hemos visto en este artículo.

¿Tienes alguna duda? ¿Quieres dejarnos tu opinión? Quizá conoces algún método más sencillo para resolver alguno de los casos… estaremos encantados de conocerlo.

Sin más, hasta la próxima, un saludo.

Hoy tenemos uno de los temas más bonitos que hay en dibujo técnico. Y es que, ahora que estamos acabando el sistema diédrico, todo luce más. El arduo trabajo abstracto de los temas anteriores empieza a mostrar ahora sus frutos más hermosos, con piezas geométricas regulares que estoy seguro que podrás ver fácilmente de manera espacial. Los poliedros son cuerpos limitados por polígonos planos que se llaman caras. Cada cara está limitada por aristas y las aristas confluyen en vértices. Son poliedros regulares aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares, que tienen todas las aristas iguales y a cuyos vértices concurren idéntico número de caras.

Cuáles son los poliedros regulares

Únicamente existen 5 poliedros regulares:

1. Tetraedro: que tiene 4 caras en forma de triángulos equiláteros
2. Hexaedro o cubo: que tiene 6 caras en forma de cuadrados.
3. Octaedro: que tiene 8 caras en forma de triángulos equiláteros
4. Dodecaedro: que tiene 12 caras en forma de pentágonos regulares
5. Icosaedro: que tiene 20 caras en forma de triángulos equiláteros.

El resto de poliedros son irregulares y, si no se te ocurre ninguno, en general todas las pirámides y los prismas son poliedros irregulares.

Sección principal

La sección principal de un poliedro regular es una sección por un plano de simetría que nos ofrece la información fundamental sobre el poliedro: dimensión de la arista, de la altura de cara, de la diagonal de cara, de la diagonal del poliedro, de la distancia entre caras paralelas. Veremos la sección principal en cada poliedro. Es fundamental que las aprendas bien porque te pueden resultar muy útiles en cualquier examen. Aunque el examen no vaya de poliedros, siempre pueden aparecer. Verás que, si llegas a entender lo que significan, no te será difícil recordarlas.

Tetraedro

El tetraedro es un poliedro regular limitado por 4 caras en forma de triángulos equiláteros. Una de las cosas que me parecen más fascinantes de los poliedros regulares es poder dibujarlos a partir de un lado. Por ejemplo, dado el lado L de un tetraedro es posible dibujarlo entero. Veamos cómo. Lo dibujaremos en primer lugar apoyado sobre una cara:

1. Dibuja en proyección horizontal un triángulo equilátero ABC, que será la base del tetraedro. Coloca uno de los lados perpendicular a la línea de tierra para facilitarnos la tarea.
2. Encuentra el circuncentro del triángulo equilátero, con la intersección de las mediatrices de sus lados. Es el mismo que el incentro, o intersección de las bisectrices de los ángulos. Une ese centro V con los tres vértices del triángulo y ¡ya tienes la proyección horizontal!
3. Para encontrar la altura abatiremos una de las caras del tetraedro. Sabemos que la cara ABV es en realidad un triángulo equilátero, así que si dibujas un triángulo equilátero cuyo lado sea a-b obtendrás (V) abatido. Esto se hace dibujando dos arcos de circunferencia, ambos con un radio a-b y con centros uno en a y otro en b.
4. La distancia 1-(V) es la altura de la cara, que es la que veremos de perfil en la proyección vertical. Dibuja un arco de circunferencia con centro en a’=b’ y radio 1-(V) que cortará a la perpendicular desde v en v’. ¡Ya tienes la altura del tetraedro!
5. Une v’ con a’ y con c’ y tendrás el dibujo del tetraedro.

Precisamente en esta posición del tetraedro es fácil leer su sección principal. En la sección principal vemos la altura de cara H en la base, la altura de cara H en un lado de la sección y el lado o longitud de la arista L en el otro. Así que a partir de ahora, cuando conozcas el lado de un tetraedro puedes dibujar su sección principal inmediatamente de la siguiente manera. Ahora vamos a ver algunas posiciones especiales del tetraedro. Puesto que ya sabemos hacer giros, eso es lo que haremos. El primero será un giro alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice superior V hasta colocar una de las aristas de perfil. Para ello tendrás que girar el vértice a hasta alinearlo con el v y a partir de él dibujar nuevamente el triángulo. Como sabes, el vértice V no se mueve porque pertenece al eje de giro y los otros 3 vértices A, B y C se desplazan en proyección horizontal en paralelo a la línea de tierra. Volvamos a la posición original y hagamos ahora un giro con una recta de punta que pasa por la arista A-B hasta situar la arista C-V como recta horizontal y paralela a ambos planos de proyección. Obtenemos una posición en la que el tetraedro tiene dos aristas horizontales, una apoyada en el plano horizontal y la otra elevada y perpendicular a la anterior. Otra posición interesante es aplicando a la anterior un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa justo por el centro del tetraedro, o, lo que es lo mismo, por el centro del cuadrado en proyección horizontal. Se consigue así una vista en la que el tetraedro queda inscrito en un cubo y las dos proyecciones tienen el contorno perfectamente cuadrado. Se podría decir mucho más del tetraedro pero con esto es suficiente para nivel de bachillerato. Lo más importante es que conozcas cómo construirlo si lo único que conoces es un lado o la sección principal y que conozcas las posiciones características para reconocerlo y poder trabajar fácilmente con ellas.

Octaedro regular

El octaedro regular tiene 8 caras que son todas triángulos equiláteros. Dibujar un octaedro a partir de un lado es algo de lo más sencillo. Una de las posiciones más comunes y sencillas del octaedro es colocarlo apoyado en un vértice, poner una de sus diagonales vertical y 4 aristas paralelas al plano horizontal. Estas 4 aristas se ven como un cuadrado cuyo lado es el lado del octaedro.

Sección principal del octaedro

Al igual que nos pasó con el tetraedro, también es en esta posición como se ve directamente la sección principal del octaedro regular. La sección principal es un rombo, cuyos 4 lados tienen la dimensión de la altura de cara y cuya diagonal menor es el lado del octaedro. La diagonal mayor es la diagonal del octaedro. Si conocemos el lado del octaedro es fácil construir su sección principal. Solo hay que poner un segmento con la dimensión del lado y dibujar dos triángulos, uno a cada lado de este segmento, cuyos lados sean de la dimensión H (altura de cara)

Posiciones características del octaedro

Vamos a encontrar algunas posiciones singulares mediante giros del octaedro. Por ejemplo, si a la posición original que teníamos le hacemos un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa por los vértices superior F e inferior E obtenemos una posición en la que las dos proyecciones se ven como cuadrados con sus diagonales dibujadas. Esta posición es fácil de dibujar porque el lado de cada cuadrado es el lado del octaedro. Desde la posición original hacemos un giro alrededor de un eje horizontal y de punta que pasa por el vértice E, de tal manera que una de las caras queda apoyada en el plano horizontal y otra queda paralela al plano horizontal. En esta posición vemos la proyección horizontal del octaedro con un contorno en forma de hexágono regular que tiene en su interior dibujados dos triángulos equiláteros que son las caras del octaedro en verdadera magnitud, uno como una cara vista (la superior) y otro como una cara oculta (línea discontinua, la cara inferior). Daremos aún un último giro al octaedro, en este caso alrededor de un eje vertical que puede pasar por cualquier punto, por ejemplo tomo el centro del hexágono. Hacemos un giro de tal manera que dos lados del hexágono queden perpendiculares a la línea de tierra. Así, en proyección horizontal seguimos viendo un hexágono con dos triángulos equiláteros inscritos y, en proyección vertical tenemos un contorno de forma rectangular cuya altura es exactamente la distancia entre caras.

Hexaedro regular o cubo

De entre todos los poliedros, el más conocido y utilizado es sin duda el hexaedro regular o cubo. Tiene 6 caras que son cuadrados y en cada vértice confluyen 3 caras perpendiculares entre sí. Construirlo dado un lado es de lo más sencillo, puesto que solo tenemos que dibujar el cuadrado con ese lado, dibujar perpendiculares desde cada vértice, poner sobre cada una la dimensión del lado y unirlas. Aquí tienes en primer lugar la posición en que el cubo se ve como dos proyecciones cuadradas. Y en la segunda imagen le he aplicado un giro de 45º alrededor de un eje vertical, de manera que en la proyección vertical las caras se ven oblicuas.

Sección principal

La sección principal del cubo es aquella en que este se corta por un plano perpendicular a dos caras que pasa por la diagonal del cubo. En la segunda vista que teníamos en el dibujo anterior podemos ver la sección principal directamente. Esta sección principal es un rectángulo con dos lados opuestos iguales que son dos lados L del cubo y los otros dos lados opuestos que son diagonales d de cara. La diagonal de la sección principal es la diagonal D del cubo. Así que, esta sección contiene toda la información importante del cubo. Construir la sección principal a partir del lado del cuadrado es muy fácil. Dibuja el cuadrado completo con un lado de dimensión L. Dibuja una diagonal d del cuadrado. Esta diagonal será el lado de la sección principal, así que lleva esta dimensión con el compás hasta el lado inferior y desde ahí dibuja el rectángulo. Es más fácil de entender con un dibujo. Una de las posiciones más peculiares que tiene el cubo es apoyado sobre un vértice y con la diagonal del cubo en posición vertical. Esto lo podemos conseguir a partir de la posición definida anteriormente. Solo tenemos que aplicar un giro alrededor de un eje de punta que pasa por el vértice inferior B hasta que la diagonal D queda como recta vertical. En esa posición, el punto H se superpone al B. Es característico de esta posición que la proyección horizontal tiene contorno de hexágono regular. La proyección vertical tiene las alturas divididas en 3 tercios y también se puede inscribir en una circunferencia.

Dodecaedro

El dodecaedro es un poliedro regular compuesto por 12 caras que son pentágonos regulares. Este empieza a ser más complejo que los poliedros anteriores, pero te enseñaré cómo dibujarlo de una manera sencilla. Consideraremos para nuestra comodidad que el dodecaedro está apoyado en una cara. Dibuja un pentágono regular ABCDE con lado igual al lado del dodecaedro, de manera que este pentágono sea la cara del dodecaedro apoyada en el plano horizontal. Para mayor facilidad dibuja uno de los lados AB perpendicular a la línea de tierra. Para dibujar las caras adyacentes utilizaremos el desabatimiento: dibujaremos las caras abatidas sobre el plano horizontal de proyección y en el movimiento de desabatimiento de ambas encontraremos la posición de un nuevo vértice. Las caras que comparten lado con AB y AE tienen un vértice común, que es el vértice (F) abatido. Si desplazamos este vértice en perpendicular a su correspondiente charnela AB y AE encontraremos la posición del vértice f en proyección horizontal Para encontrar su proyección vertical tendremos que hacer un giro de la arista A-F hasta ponerla como frontal de plano a-f1 (recta a-f en posición girada). Con un arco de circunferencia de radio L con centro en a’ obtendremos la posición de f1’. El giro se deshace en proyección vertical con una recta paralela a la línea de tierra. Tendremos otros 4 vértices G, H, I, J del dodecaedro a esta misma altura que f’. En proyección horizontal se encuentran en una circunferencia con centro en O y radio O-f y los puedes encontrar uniendo el centro O con los vértices b, c, d y e. El nivel superior de vértices lo podemos deducir a partir del desabatimiento de la cara ABFGK. Esta cara se encuentra en un plano proyectante, así podemos encontrar la posición de k’ como prolongación de la arista a’-f’ y trazando el arco de circunferencia del desabatimiento. Para encontrar el punto L de este segundo nivel superior solo tienes que prolongar la recta O-e y l se encuentra en su intersección con la circunferencia de radio O-f.  El punto m se encuentra en la prolongación de la recta O-a y así sucesivamente. Todos estos puntos l, m, n, p tienen su proyección vertical en una recta paralela a la línea de tierra a la altura de k’. Por último solo queda dibujar los vértices de la cara superior, que es también paralela al plano horizontal de proyección. Se trata de un pentágono simétrico al dibujado originalmente, que tiene sus vértices en la circunferencia de radio O-a y en las rectas que pasan por el punto medio de cada lado de ABCDE. Por ejemplo el punto q se encuentra en la mediatriz del lado a-b, o lo que es lo mismo, en la prolongación de la recta O-d. En cuanto a la proyección vertical, la distancia H desde la base inferior hasta la primera altura de vértices (F, G, H, I, J) es la misma que desde la base superior hasta la segunda altura de vértices (K, L, M, N, P). ¿Cómo dibujar el dodecaedro? Puedes empezar dibujando el contorno en proyección horizontal, que es todo visto: f-k-g-l-h-m-i-n-j-p. Seguidamente puedes dibujar la cara superior formada por los vértices q-r-s-t-u, ya que sabemos que será vista. Por último puedes unir cada uno de estos vértices con el que se encuentra en la prolongación de su radio: q-k, r-l, s-m, t-n, u-p. El resto serán aristas ocultas. En proyección vertical, tendremos muchas aristas que se superponen, gracias a que hemos colocado una de las caras como plano proyectante vertical. Todas las aristas ocultas quedan tapadas por las vistas, así que, aparte del contorno existen pocas líneas en el interior que haya que remarcar. Ve siguiendo con detenimiento la sucesión de puntos en las caras de la proyección horizontal para unirlas en proyección vertical. Y así queda terminado el dodecaedro. Es cierto que la elaboración es tediosa, pero en realidad el concepto es sencillo. Fíjate que en proyección horizontal se trata solo de dos circunferencias divididas en 10 partes. La interior contiene dos pentágonos simétricos inscritos y la exterior un decágono regular.

Sección principal

En la posición que hemos dibujado el dodecaedro se puede ver la sección principal en verdadera magnitud. La sección principal pasa por dos aristas opuestas y corta 4 caras por el punto medio, así que la sección es un hexágono irregular formado por 2 alturas de cara a, 1 lado L y nuevamente 2 alturas de cara a y un lado L. Se puede ver también la distancia H entre caras paralelas y las distancias h entre los diferentes niveles de vértices.

Icosaedro regular

Vamos con el último de los poliedros regulares. El icosaedro es un poliedro regular formado por 20 caras que son todas triángulos equiláteros. En cada uno de sus vértices concurren 5 aristas y 5 caras. El conjunto forma un total de 30 aristas y 12 vértices. Para construir el icosaedro a partir de la dimensión de una arista lo consideraremos apoyado en uno de sus vértices, con la diagonal que sale desde ese vértice en diagonal. Visto en esta posición, el icosaedro se puede entender como una parte una pirámide superior de base un pentágono regular, una franja intermedia formada por 10 caras y otra pirámide inferior pentagonal. La proyección horizontal es sencilla de conseguir: dibuja un pentágono regular cuyo lado sea la dimensión L de la arista y une cada uno de sus vértices con el centro. Esta será la pirámide superior. Ahora dibuja otro pentágono inscrito en la misma circunferencia (es decir, de las mismas dimensiones y con el mismo centro) cuyos vértices estén en las mediatrices de los lados del primer pentágono. Esta será la pirámide inferior y, por tanto, tendrás que dibujarla en discontinua. La proyección horizontal se completa uniendo los vértices de ambos pentágonos, de manera que el contorno es un decágono. Como puedes ver, la altura H1 de la primera línea de vértices (los vértices situados en la base de la pirámide inferior) se encuentra trazando un arco de radio L desde el vértice inferior 1. Para ello es necesario que una de las aristas (la arista 1-2 en este caso) esté en posición frontal, es decir, con la proyección horizontal paralela a la línea de tierra. Para encontrar la segunda altura H2 utilizaremos nuevamente una recta frontal de plano, en este caso la arista 3-4. Traza desde el vértice 3’ un arco de circunferencia de radio L que cortará a la recta de proyección del punto 4 en 4’. La altura de la pirámide superior es igual a la de la inferior con lo que ya puedes completar el icosaedro. En esta posición del icosaedro se reconoce directamente la sección principal. La altura a del triángulo equilátero la puedes obtener abatiendo una de sus caras. Para mayor facilidad, toma como charnela para el abatimiento una recta horizontal. Quizá la posición en que hemos dibujado el icosaedro no sea muy reconocible porque tiene las aristas posteriores ocultas por las que se encuentran delante. Si aplicamos un pequeño giro alrededor de un eje vertical de manera que una arista de la pirámide superior quede como de perfil obtendremos una imagen que posiblemente te resulte más familiar.

Poliedros conjugados

Para terminar debes conocer esta propiedad de los poliedros regulares: se dice que dos poliedros son conjugados cuando los vértices de uno de ellos coincide con los centros de las caras del otro. Así:

• El tetraedro es conjugado de sí mismo
• El cubo es conjugado del octaedro y a la inversa
• El dodecaedro es conjugado del icosaedro y a la inversa.

En principio esto es todo lo que debes saber de poliedros regulares. Este ha sido un artículo largo, pero en realidad es sencillo de entender porque todo es muy lógico, basta con que lo razones para llegar a entenderlo. Como te decía al principio, este tema es muy importante porque puede salir en cualquier examen, aunque no lo esperes. No es necesario tener un examen de poliedros regulares para tener que resolver un problema de poliedros regulares. Espero que te haya servido el artículo. Si es así, compártelo en Facebook o en Twitter y me estarás ayudando a que mantenga vivo el blog.

Este es un post de invitado de Adrían M. García.

Adrián me escribió hace unos días. Se presentó como arquitecto dibujante y me pasó su página de Facebook. Me quedé fascinado con lo que vi, así que no lo dudé ni un segundo y le pedí que si quería participar en el blog.

Muchos de vosotros me preguntáis si es difícil el dibujo artístico en la carrera de Arquitectura. En mi opinión Adrián es un maestro y está por encima de la media en esta materia; pienso que uno de sus puntos fuertes es su capacidad para representar atmósferas. Si te interesa el dibujo a mano, lee este artículo porque nos desvela trucos muy interesantes interesantes.

Os dejo con el artículo que ha escrito Adrián.

El dibujo arquitectónico

El dibujo es una herramienta fundamental para el arquitecto porque ejerce de  intemediario entre el mundo del concepto abstracto y el mundo real, físico. La arquitectura nace de las ideas sin forma con las que queremos responder a necesidades que se nos plantean en el entorno, y es el arquitecto quien a través del dibujo, las moldea, expone, y construye. Dibujar significa transmitir.

Hoy en día existen programas informáticos con los que se puede dibujar y diseñar, pero nunca dibujar con ordenador puede ser más efectivo que a mano porque estos programas tienen ciertos límites, y si intentamos plasmar lo que tenemos en el cerebro a través de dichos programas, nos amarramos a esos límites y probablemente no obtenemos con precisión lo que buscábamos. Ya sea dibujando o incluso modelando una maqueta, el trabajo que construimos con nuestras manos siempre será más expresivo por el hecho de ser imperfecto. Suena contradictorio pero la precisión de diseñar con ordenador a veces perjudica a la precisión abstracta de nuestras ideas.

El dibujo, además de ser el medio transmisor de nuestros pensamientos, es fundamental también para poder traducir las ideas que proponen los clientes, y a ser posible, en directo, delante de ellos. Eso, por lo que yo he vivido, les deja huella y su confianza en tu capacidad creativa se multiplica exponencialmente.

El arquitecto dibujante

Clicar la imagen para ver en grande

Yo llevo desde que tengo uso de razón haciendo garabatos, pero fueron  el paso por la escuela de arquitectura, y mi formación como arquitecto, los elementos que me enseñaron a mirar. Dibujar para mí es consecuencia de saber  mirar, observar, analizar un entorno que, según su morfología, características tectónicas, o incluso por los vacíos que tiene, evocan conceptos y generan sensaciones.

El dibujo es tan potente, que es capaz de transmitir esos conceptos abstractos que poseen los lugares a través del trazo, y en esa búsqueda ando metido ahora.

La idea principal es entender el dibujo como una imagen que construimos en nuestro cerebro, y que transmitimos directamente con la mano a un medio físico para compartirlo con los demás. La diferencia entre un dibujo que emocione y otro que no, no depende de la habilidad del dibujante, de lo real que sea capaz de dibujar un elemento, sino de la capacidad de transmitir que tenga. Por esto, para hacer dibujos expresivos, ya os digo que no hace falta ser un gran dibujante, pero sí un gran observador que elabore en su cerebro la imagen que quiere mostrar sobre lo que está viendo en el entorno.

Barranco de San Telmo, Almería

Yo actualmente estoy en proceso de dibujar unas cuantas “perspectivas emocionantes” de la ciudad donde nací, Almería. El objetivo que persigo es, a través del trazo, crear una atmósfera en los dibujos que permita a quien lo vea viajar a esos lugares, y percibir las sensaciones y conceptos intrínsecos en el lugar, como pueden ser infinito, todo, nada, alegría, tristeza, vacío…. Y para este fin, utilizo dentro de la caja de herramientas que es el dibujo, elementos como profundidad, contraste, trazo, y sobre todo emoción.

La emoción es fundamental, porque el dibujo es algo mental, y si no sientes la emoción que quieres trasnmitir mientras dibujas, nadie  va a percibirla en el dibujo. También influye la sinceridad, en ningún momento pretendo que los dibujos sean hiperrealistas (para eso sacaríamos una foto directamente), y eso añade una riqueza especial a las imágenes.

Arquitectura dibujada: Antigua estación de tren de Almería

Ahora, analicemos un ejemplo práctico de lo que he contado de dibujo que emocione, por ejemplo, uno que hice hace algunos meses, la antigua estación de tren de Almería.

Estacion de tren de Almeria

¿Por qué este edificio?

En la escuela nos enseñan en la asignatura de dibujo a buscar edificios “bonitos” o “emblemáticos” que dibujar (CONSEJO: aprovechad y valorad TODO lo que os enseñen y expliquen en dibujo, yo en aquella época era muy novato y no me enteraba de mucho ni hacía por enterarme, y con el tiempo, viendo los apuntes que repartían, me he dado cuenta de que podría haber aprendido muchísima arquitectura –y expresión gráfica- si hubiera prestado más atención).

En lo que tal vez no se hace demasiado hincapié (hablo por mi experiencia siempre) es en que no es realmente importante dibujar perfectamente el capitel de una columna, sino analizar porqué está ese capitel ahí, qué hace una columna ahí, donde empieza y dónde termina, en resumen saber observar.

En el caso de la estación de tren, es un edificio al que los almerienses le tenemos respeto y cariño (aunque nadie mueva un dedo para restaurarla y reabrirla), y bueno, tiene una composición muy estudiada para actuar como edificio “telón de fondo” o al menos así lo aprecio yo. Su geometría evoca al sitio donde acaba la ciudad , cuyos raíles metálicos te sacan de la misma, además por supuesto del concepto de grandeza, monumentalidad.

Quiero destacar que estos conceptos dependen del lugar en el que está, ¡Almería! Si estuviéramos en Chicago, Madrid o Londres, evidentemente no evocaría estas ideas el edficio.

¿Cómo se dibuja este edificio?

Una vez elegido un edificio que transmite emociones, se elige una perspectiva que sea capaz de plasmarlas en la medida de lo posible. Para esto, busqué el sitio ideal, apoyé el móvil en el suelo (así podía fugar las líneas verticales, luego en el siguiente apartado de perspectiva explico porqué) y saqué la foto (tras varias pruebas claro), y ya en el tablero a echar horas dibujando. Es fundamental para hacer un buen dibujo establecer referencias o módulos y a partir de ellos medir distancias mas o menos. Aconsejo imprimir la foto o con el photoshop o similar, modular la imagen para tener una idea clara de cómo proporcionar. Esa modulación la trasnportamos a nuestro formato y a dibujar!.

En la foto, más allá del encanto del edificio y las sombras que pueda provocar la tarde en los volúmenes te percatas de la cantidad de elementos que son vitales y aportan realismo al dibujo. Son simplemente, barrotes, jardineras, carteles, señales de prohibido aparcar con coches justo debajo… una serie de elementos que llenan de vida la imagen y realmente, dan escala a la perspectiva y sitúan a quien ve el dibujo en ella.

Perspectiva

Respecto a la perspectiva, apuntar que busqué una que potenciara la “característica principal” del edificio, es decir, su horizontalidad, con un punto de fuga en el borde derecho del dibujo aproximadamente, y otro muy fuera (me llevó unos cuantos días los folios pegados con fixo a la mesa para conservar el punto de fuga..), encontré una perspectiva que además de marcar esa horizontalidad remarcaba la monumentalidad, y esta última cualidad, se ve exponencialmente plasmada gracias a la casi inapreciable, pero existente fuga de las líneas verticales.

El dibujo

El dibujo está encajado a lápiz, aunque detalles como ladrillos, carpinterías, etc están hechos ya directamente a tinta (con rotuladores calibrados finos y pilots v5 y 7). Una vez terminado de perfilar y/dar texturas a todo, en photoshop terminé de meter las sombras e hice el cielo, a mano, con la tableta digitalizadora. Lo bueno (y malo) que tiene trabajar con la tableta digitalizadora es que puedes corregir el dibujo pixel a pixel, y claro, esto te permite corregir algunos fallos, pero si eres muy perfeccionista te puedes tirar toda la vida corrigiendo con esta herramienta. También digo que es una herramienta difícil de manejar, a mí me ha costado empezar pero poco a poco voy cogiéndole el tranquillo.

Las sombras merecen comentario aparte, puesto que son lo típico que parece que no hace nada, pero aportan muchísimo al dibujo, sobre todo las que están en primer plano en el caso del ejemplo, cómo, sin aparecer en la imagen, tú ya sabes que a la derecha tienes una valla y unos mástiles enormes. Aparte, al estar fugadas, incrementan el realismo DEL AMBIENTE de la perspectiva. El cielo obviamente también lo hice con este tipo de trazo para potenciar la imagen de la estación, ese concepto de telón de fondo.

Espero que os haya gustado este artículo y os gusten los dibujos también.

Quiero agradecer a Pablo Domingo la oportunidad que me ha dado de publicar este post, sigo fielmente su blog y os recomiendo que leáis todos los artículos!

Podréis encontrar más información sobre mi trabajo en mi página de Facebook AXXI arquitectura y dibujo.

Muy buenos días,

Hoy tengo la enorme alegría de poder compartir contigo la experiencia de Alejandro, un chico de Madrid que sacó un 10 en dibujo técnico en selectividad, en junio de 2015 (descargar examen). Si creías que sacar un 10 era imposible, aprende de las claves que comparte generosamente con nosotros.

Espero que la entrevista te resulta inspiradora y te anime a darlo todo. Te dejo con Alejandro.

PREGUNTA: Hola Alejandro. En primer lugar muchas gracias por acceder a esta entrevista. Son muchos los estudiantes que piensan que es imposible sacar un 10 en dibujo técnico en selectividad y seguro que sirves de inspiración a muchos de ellos.

¿Cuál es la sensación después de haber sacado un 10 en dibujo técnico en el examen de selectividad?

RESPUESTA: Mucha satisfacción y orgullo en primer lugar por ver que el trabajo de estos dos años ha tenido recompensa, a pesar de haber tenido problemas a veces con esta asignatura, en la cual hay una enorme variedad de ejercicios. Por otro lado, gratitud hacia mi profesor de dibujo técnico y hacia las webs que me ayudaron este año, en especial 10endibujo.

Alejandro Sánchez Sanz

P: Cuéntanos algo sobre ti: de dónde eres, dónde has estudiado, cuáles son tus aficiones…

R: Mi nombre es Alejandro Sánchez Sanz y soy un chico de 18 años de Madrid. Me encanta el deporte, destacando el baloncesto y el ajedrez, y soy un chico bastante sociable. He estudiado en el Colegio Virgen de Atocha desde Primaria y ahora tengo intención de estudiar el Doble Grado Ingeniería Informática – Matemáticas en la UAM.

1. Preparación del examen

P: Me gustaría que nos contaras cómo te has preparado la asignatura de dibujo técnico durante el curso. ¿Ha sido suficiente con las clases regulares del instituto o has necesitado clases particulares? ¿Ibas aprobando los exámenes y con buena nota?

R: Las clases del instituto han sido suficientes, aunque sí es cierto que en el último trimestre nos faltó algo de tiempo y el profesor explicó mucho temario muy rápido y escasamente, por lo que varios compañeros tuvimos que indagar por internet para resolver ciertas dudas. Fue así como descubrimos 10endibujo. Los exámenes, debido a tener 1 hora en los parciales y 1 hora y media en los globales (y 5 ejercicios siempre), fueron de un 6 y un 10, respectivamente; hasta la última evaluación antes mencionada, donde hubo más problemas. Pero al final subiendo nota en el global del curso, también obtuve el 10 en dibujo técnico.

P: ¿Qué páginas web, libros y otros recursos has utilizado?

R: Libros obviamente el del curso (el de SM); y webs, sobre todo www.10endibujo.com , pero además www.escuadraycartabon.net  (para ver exámenes de otros años), www.laslaminas.es y www.selectividad.tv

P: Comentas que 10endibujo.com te resultó muy útil para selectividad. ¿En qué te ha ayudado? ¿Qué artículos recomendarías?

R: Los artículos están muy bien explicados con muchos dibujos para ver más claramente todo, y me resultó muy útil para comprender ciertos temas que no se explicaron correctamente en clase o directamente no se explicaron.  Recomendaría Distancias en Sistema Diédrico, Resolver una pieza a partir de sus vistas y Perspectiva Caballera y el truco para el coeficiente de reducción .

P: En general, los profesores de dibujo decimos que es necesario practicar mucho, hacer muchos ejercicios. ¿Podrías decirnos aproximadamente el número de piezas en perspectiva que has resuelto durante el curso? ¿O el número total de ejercicios? 

R: Piezas solo hemos tratado en el último trimestre y diría que unas 20 he debido hacer. El número de ejercicios sería incapaz de decirlo, pero uno bastante elevado.

P: ¿Llevabas un cálculo del tiempo que tardabas en hacer cada ejercicio o examen completo? ¿Cronometrabas el tiempo que tardabas?

R: Sí, yo siempre hago los exámenes con reloj y me gusta controlar el tiempo que llevo y el que debo dedicar a cada ejercicio y a elegir la opción. Al final me sobró un poco de tiempo.

P: ¿Qué parte de la asignatura es la que más te ha gustado? ¿Y la que más te ha costado?

R: Posiblemente la geometría plana haya sido la que más me ha gustado, y la más laboriosa para mí, la perspectiva caballera e isométrica.

P: ¿Cómo han sido las últimas dos semanas de preparación para el examen? ¿Qué has estado haciendo?

R: La verdad es que dibujo técnico no fue la asignatura a la que dediqué más tiempo, debido a que había estudiado ya todo el curso para el examen de subida de nota global de mi colegio y lo llevaba bien, y además porque había otras asignaturas que me resultaban algo más laboriosas. De todos modos, lo que hice para prepararlo fue realizar algunos ejercicios de otros años, sobre todo representar piezas para pillar más soltura, y repasarme algunos artículos de la web como el de distancias o el de ángulos en diédrico.

P: Por tu perfil de Twitter veo que eres bastante deportista. ¿Qué deportes practicas? ¿Crees que tiene alguna influencia el deporte en tus resultados académicos? ¿Sientes que te quita tiempo para estudiar o compensa?

Jugando al baloncesto

R: Me gusta mucho el deporte en general y practico muchos, pero sobre todo baloncesto y ajedrez. Yo creo que sí influye, ya que el deporte es un modo de relajarse por las tardes, de desconectar del posible estrés del curso, por lo que creo que no me quita para nada tiempo, sino que compensa enormemente; no habría aguantado 2º Bachillerato sin el baloncesto.

2. Durante el examen

Aquí puedes descargar el examen.

P: ¿Cómo te fue el examen? ¿Te pusiste nervioso? ¿Qué material llevabas? Cuéntanos tu experiencia

R: Bastante bien la verdad, pues al ser mi tercera específica, iba muy tranquilo, ya que sabía que había hecho unos buenos exámenes de matemáticas y física, y dibujo podía ser un examen asequible para el 10 o una cosa imposible en la que pelearíamos por el 6. Fui sin presión, con tres lápices (2H, HB y 2B), un bolígrafo, una goma, un compás grande y uno pequeño, una regla, escuadra y cartabón.

P: ¿Qué hiciste el día antes del examen?

R: Algún ejercicio por la tarde y comprobar que no tenía grandes dudas mirando algún artículo de la web.

P: ¿Qué opción del examen cogiste y por qué? ¿Cuánto tardaste en decidirlo?

R: Escogí la opción B debido a que aunque ambas las vi asequibles, la verdad es que me pareció más sencilla la pieza a simple vista, aunque luego fue el ejercicio al que dediqué más tiempo.

P: Después de ver tu resultado, está claro que escogiste bien la opción pero, ¿piensas que te habrías podido salir igual de bien la otra?

R: Yo creo que sí, ya que el ejercicio de geometría plana (una parábola) era aun más fácil que el que hice, el de diédrico era algo más pesado que el mío pero sabía hacerlo, y finalmente la pieza era un corte que no parecía muy complicado al ser planos verticales si mal no recuerdo. De todos modos creo que habría corrido algo más de riesgo que con mi opción.

P: ¿Con qué sensación saliste al terminar el examen? ¿Tuviste tiempo de revisarlo con calma? ¿Creías que estaba para un 10?

R: Salí bastante tranquilo y satisfecho, pues había podido repasar todo más o menos bien, y sí, yo confiaba en el 10.

Alejandro en las PAU

Alejandro me cuenta que durante un examen de las PAU entraron a grabar en su aula y esta foto salió en diferentes medios como El Mundo, Cadena Ser, Republica de las ideas, etc. Él es el que está arriba a la derecha, con camiseta blanca.

3. Después del examen

P: ¿Cómo recibiste el 10 en dibujo? ¿Te lo podías esperar?

R: Fue posiblemente el 10 que más me alegró, ya que ha sido una asignatura que ha dado algún problema durante el curso, y me sentí orgulloso de que el esfuerzo mereciese la pena.

P: Sacar un 10 en una asignatura pega un empujón fuerte a la nota media ¿Cómo te ha quedado junto con el resto de asignaturas?

R: Al final un 13,182.

P: La selectividad no es un fin en sí mismo, sino un medio para entrar en la universidad. Cuéntanos qué planes tienes para el próximo curso, cómo van los preparativos, las notas de corte, solicitudes, etc.

R: Desde el año pasado, tengo pensado estudiar el Doble grado Ingeniería Informática – Matemáticas, en la Universidad Autónoma de Madrid; debido a que las matemáticas son el campo en el que más cómodamente me desenvuelvo y el que más me apasiona. Por ahora va todo perfecto, he sido admitido y estos días haré la matrícula.

P: Ahora que eres un experto ¿qué consejos darías a un estudiante de 2º de bachillerato para obtener el mejor resultado posible en selectividad en dibujo técnico?

R: Lo más importante y por lo que creo que he tenido tan buen rendimiento, es ir tranquilo al examen. Si uno va nervioso no es capaz de rendir al 100% de sus posibilidades y se facilita el cometer “errores tontos”. Por otro lado, recomiendo practicar bastante la asignatura con la realización de muchos ejercicios y la búsqueda de información complementaria en webs como 10endibujo.

P: Y por último, ¿qué planes tienes para este verano?

R: El verano de los 18 años dicen que es el mejor de la vida, así que toca comprobarlo. Ya estuve en Mallorca de fiesta, en un campus de baloncesto en Málaga y en el pueblo de un amigo; y ahora toca ir a la playa, a mi pueblo y a las fiestas de los pueblos de algunos amigos.

Espero que te haya gustado la entrevista tanto como a mí. Me resulta muy motivador ver cómo Alejandro es capaz de sobreponerse a algunas dificultades del curso y encontrar la información que necesita por su cuenta para trabajar. También me parece genial que complemente los estudios con el deporte y que recomiende ir tranquilo y descansado al examen. Sin duda, un estudiante 10.

Puedes conocer algo más sobre Alejandro en este artículo y en su perfil de Twitter.

Y tú, ¿qué piensas? ¿qué consejos darías a alguien que tiene que hacer selectividad?

Este es un post de invitado de Joan Peiron, fundador de El Taller – Escola de Dibuix.

Solo quiero comentar que cuando vi los cuadros de Joan me quedé pegado a ellos.

Tenían fuerza.

Reflejaban paisajes derruidos, desoladores y con gran encanto. 

Y me fascinó su técnica.

Así que no dudé en hacerle la propuesta de colaboración y el resultado es fabuloso. A continuación encontrarás preciosas imágenes acompañadas de un texto conmovedor y emocionante escrito por alguien más acostumbrado a expresarse con el dibujo que con las palabras.

(He de decir que los dibujos en la realidad son más imponentes que estas fotografías pero al menos te darán una buena idea)

Te dejo con el texto de Joan Peiron

La Belleza de la Decrepitud

A principios de julio recibí un correo de Pablo Domingo dónde me contaba que había visto unos cuadros míos en el restaurante La Vicaria, en Vic, y me proponía hacer un post sobre mi pintura en su blog.

Me sorprendió mucho y me pareció una idea genial. 

No estoy demasiado acostumbrado a escribir sobre lo que pinto, por lo que me costó un poco encontrar la forma (y el momento). Pero al final creo que más o menos conseguí sintetizar lo que pasaba por mi cabeza:

Me llamo Joan Peiron y nací en Vic en 1984.

Me licencié en Bellas Artes y enseguida empecé a trabajar como profesor en la escuela municipal de dibujo de mi ciudad. El año pasado, después de siete años, dejé este trabajo y abrí mi propia escuela. Durante este tiempo también he ido pintando mis cuadros.

Las pinturas de las que os hablaré a continuación forman parte de una exposición que hice en 2012 titulada “Abstraccions Urbanes”.

Jordi Vilarrodà, el periodista que hizo la reseña en el periódico local, la tituló “La belleza en la decrepitud”, y Pablo, cuando le pedí que me propusiera un título para este artículo, dijo “La belleza en los espacios arquitectónicos degradados”.

Sin duda esto de “belleza” es un elogio que agradezco muchísimo.

Pero es también una coincidencia sorprendente. Sobre todo teniendo en cuenta que, cuando pinto, jamás pienso en la belleza ni en nada parecido. Para mí pintar tiene más que ver con la mala leche. O con el aprovechamiento del cabreo, digamos.

La Opinión Pictórica

Me doy cuenta que pueden interesarme formas de expresión muy distintas.

Pero hay algunas en concreto que me rinden, que me ponen la piel de gallina, que me hacen llorar de emoción.

¿Cuándo sucede esto? Creo que cuando hay cierta coordinación entre la forma que tiene un autor de estar en pie de guerra contra la realidad y la forma que tengo yo de estar en pie de guerra contra la realidad. Funciona como un regalo inesperado. De pronto dices:

“¡Vaya! ¡Esto es exactamente lo que necesitaba!

¡Pero jamás se me habría ocurrido!”

A veces estos regalos te los hace el paisaje.

Vas andando por la calle y de pronto lo ves. Hay algo en la luz y en las formas que te retuerce el estómago, porqué te está dando la razón. Lo que tienes delante es exactamente lo mismo que piensas sobre las cosas. Sobre la vida.

Entonces sacas una foto.

Puede ser una buena foto.

Pero en general es solo una buena foto para ayudarte a pintar el cuadro que has visto.

Luego la imprimes y te pones a trabajar.

Si no sucede nada raro, cuando das por acabado el cuadro, das por acabada la expresión de una opinión: una opinión pictórica.

¿Y qué es una opinión pictórica?

Pues creo que lo mismo que una opinión verbal, pero que se origina en un sitio distinto del cerebro, circula por canales de sensibilidad distintos, se dirige a un lugar distinto también en el cerebro del espectador y sirve para hablar de las cosas de una manera distinta.

Quizás de una manera más general, más climática.

A mi modo de ver, debe de suceder algo parecido con las opiniones musicales, las opiniones fotográficas, las opiniones poéticas, etc.

La verdad es que no tengo ninguna prueba de que esto funcione así. Hablo por intuición.

Sin embargo, lo que sí sé es que podéis encontrarme en una exposición de Pep Ricart, por ejemplo, mirando uno de sus dibujos o una de sus esculturas, y daros cuenta de que tengo los ojos empapados de lágrimas. Eso es porque, sin que nadie me lo haya contado, sé exactamente de qué va todo aquello. Y estoy extremadamente de acuerdo.

Cómic, Arte y Abstracción

Mi primer contacto con el dibujo fue a través de los cómics que mis padres tenían en casa.

Mis primeros maestros fueron Tillieux, Peyo, Franquín, Hergé y Uderzo.

Hoy en día siguen siendo mi principal influencia. Los cuadros que hago, inevitablemente tienen algo de viñetas grandes.

El tema de “EL ARTE” daría para otro artículo, pero el caso es que en la vida de alguien interesado en el dibujo, acostumbra a llegar el momento en el que se plantea si debería dejar de dibujar cómics y ponerse a pintar como los “ARTISTAS DE VERDAD” (risas). Mi respuesta a este dilema es que, en caso que hubiera alguna necesidad de utilizar el término “artista”, no conozco artistas más de verdad que los citados en el párrafo anterior.

A parte de mis dibujantes de cómic favoritos también me ha influenciado la obra de otros pintores.

Pintores que son comúnmente reconocidos como “GRANDES MAESTROS”, en algún caso muy a su pesar. Entre estas influencias están:

• La Vista de Delft y El callejón, de Vermeer,

• La isla de los muertos de Böcklin,

• La Façana posterior de Isidre Nonell (una acuarela de 1883 que tuve la suerte de ver en una exposición en Llançà)

• Egon Schiele
• Paul Klee
• Jean Dubuffet
• y Lucian Freud (en especial un cuadro suyo titulado Wasteground with houses, que también pude ver en Caixa Forum en 2002).

Esto tenía más o menos en la cabeza cuando pinté estas acuarelas en 2012.

El tema de la abstracción también me interesaba.

Me interesaba ese momento en el que una ventana deja de ser una ventana para convertirse en pintura, o sea, en un símbolo. Un símbolo de este lenguaje pictórico que luego permite articular opiniones pictóricas.

Decidí que para provocar esa abstracción, en ninguno de los cuadros podía aparecer el cielo ni tampoco ningún ser vivo.

Tiempo después leí una opinión de Jean Dubuffet según la cual la pintura tenía que ser plana. No me gusta que nadie diga cómo tiene que ser la pintura, pero igualmente me sentí identificado.

Técnica y Dosificación del Defecto

La técnica no me parece un fin, pero tampoco me parece un medio exactamente… más bien me parece una consecuencia.

Cuando tienes algún tipo de motivación estética que te mueve a pintar, escribir, tocar un instrumento o lo que sea, creo que la técnica no es algo que tengas que usar. Es algo que acaba sucediendo.

Mi principal batalla técnica con la pintura consiste en encontrar la forma adecuada de hacer las cosas mal. O, por decirlo de otro modo, encontrar la forma de que las cosas sucedan con la negligencia justa.

¿Y cómo se hace esto?

Pues no lo sé muy bien, porque no se hace adrede del todo. Se trata de provocar una situación de semidescontrol.

En el caso concreto de estas acuarelas usé un truco: dibujé directamente con tinta sin antes haber esbozado nada con lápiz. Empezaba por el sitio que me parecía mejor  y, trazo que hacía, trazo que daba por bueno, hasta que el dibujo quedaba terminado.

Ese método provocaba dos cosas: por un lado todo salía con una “negligencia” bastante “justa”, y por otro, había algo de vértigo en el momento de dibujar. Algo de salto al vacío que me obligaba a un estado de concentración especial. Un poco en plan ritual. Creo que de algún modo esto se plasma también en el resultado final.

Con el color intenté hacer lo mismo: mancha que hacía, mancha que daba por buena.

Para hacer algunas texturas tuve que insistir, pero en general traté de ser generoso con el pigmento y rápido al provocar la mezcla de colores, de forma que al secarse las manchas, de buenas a primeras quedaran con la luz y la intensidad justas.

Bien, pues creo que más o menos he contado todo lo que se podía contar… Muchas gracias a Pablo por dejarme escribir esto. Y muchas gracias a todos los que habéis tenido la paciencia de leerlo.

Hasta la vista.

Joan.

“Nosotros estábamos convencidos que el mercado inmobiliario estaba saturado de construcción cara y de baja calidad en la que los promotores obtenían beneficios del 30-40%. Quisimos buscar una alternativa para ofrecer viviendas de calidad en lugares con demanda y a precios libres de especulación. Es por esto que vimos en la autopromoción de viviendas una buena alternativa”

José Rodríguez Barbudo, arquitecto cofundador de lacooperativaarquitectos

1. Presentación

Si piensas que no hay trabajo para los arquitectos…

Si piensas que los arquitectos se tienen que ir fuera de España para sobrevivir…

…Estás equivocado!

¿No me crees?

Pues te invito a que leas la experiencia de Jose Rodríguez, arquitecto emprendedor y co-fundador de lacooperativaarquitectos.

Desde que conocí a Jose cuando trabajamos juntos en SeARCH en 2011 me sorprendió su determinación. Me decía:

“Yo sé que algún día quiero trabajar por mi cuenta como arquitecto, ser autónomo y no tener jefe. Así que voy a empezar cuanto antes.”

Desde entonces le he seguido la pista y, aunque le ha costado tiempo y mucho trabajo, los resultados llegan y son gratificantes.

No pierdas detalle.

2. Entrevista a José Rodríguez Barbudo

PREGUNTA: Hola Jose. En primer lugar muchas gracias por querer participar en el blog con esta entrevista. Es un honor tener aquí a alguien que persigue sus sueños con tanta pasión y ha conseguido abrirse camino como arquitecto en su propia tierra. Cuéntanos brevemente de dónde eres, tu trayectoria como estudiante y arquitecto y a qué te dedicas actualmente.

RESPUESTA: ¡Hola Pablo! Felicitarte primero por tu página y además por tu trabajo y tesón, sabes de primera mano que admiro tu gran capacidad de reinventarte cada vez y muchas gracias también por la oportunidad que nos brindas con esta entrevista.

Hablando un poco de mi, nací en Córdoba y estudié arquitectura en la Escuela de Sevilla, y desde muy pronto tuve muy claro que quería enfocarme profesionalmente a trabajar de forma autónoma, ya que desde segundo de carrera comencé a colaborar con varios estudios realizando sobre todo trabajos de infoarquitectura, otra de mis pasiones. Actualmente trabajo en el estudio de arquitectura y gestor de autopromoción “lacooperativaarquitectos S.C.” del cual soy co-fundador junto a mis otros dos compañeros y amigos Manuel Heredia y David Rodríguez.

P: ¿Cómo surgió la idea de que trabajar con amigos en este modelo de negocio podía ser una opción viable, incluso en tiempos de crisis inmobiliaria?

R: La idea conjunta surgió en 2011, cuando cada uno estábamos trabajando fuera de España, en Ámsterdam y Praga. Somos amigos desde el principio de la carrera y todos tuvimos claro en ese momento que no todo el mundo tenía que salir al extranjero para poder trabajar en lo que le gusta, ya que consideramos que aún en tiempos de crisis existen herramientas y vías por explorar en el sector inmobiliario, sobre todo si se lleva de la mano conjuntamente precio y calidad.

P: ¿Cuáles son esas herramientas de las que me hablas y cómo pueden ayudar al sector inmobiliario?

R: Nosotros estábamos convencidos que el mercado inmobiliario estaba saturado de construcción cara y de baja calidad en la que los promotores obtenían beneficios del 30-40%. Quisimos buscar una alternativa para ofrecer viviendas de calidad en lugares con demanda y a precios libres de especulación. Es por esto que vimos en la autopromoción de viviendas en el casco histórico de Sevilla una manera de ofrecer al cliente una vivienda en la que precio ajustado se ciñe con la calidad.

P: Háblanos de lacooperativaarquitectos. ¿Cuándo comenzó, qué servicios ofrecéis y cómo funciona? 

R: Nuestros comienzos han sido muy humildes, ya que en 2011 comenzamos trabajando cada uno desde el ordenador de su casa, Manuel en Sevilla, David en Huelva y yo en Córdoba.

Comenzamos con pequeñas obras de reforma y rehabilitación, así como licencias de apertura o infografías. Esta era la gasolina que necesitábamos para poder poner en funcionamiento el que queríamos que fuera nuestro motor de trabajo en un futuro: la gestión de autopromoción de viviendas. Poco a poco pudimos abrir la oficina física en 2013 en Sevilla, dirigiendo a su vez todos nuestros esfuerzos a esta ciudad y a su casco histórico.

Imagen del interior de lacooperativaarquitectos

Interiormente en el estudio cada uno nos enfocamos a un departamento concreto:

• Manuel se encarga del tema financiero y administrativo de la autopromoción
• David del proyecto de arquitectura y dirección de obras
• Y yo me encargo de la parte comercial de formalización de documentación comercial y captación de clientes.

P: Si te parece bien, podemos seguir de manera aproximada el proceso de un proyecto completo para entender cómo funciona. Para poder arrancar una empresa, lo primero que hace falta son proyectos. ¿Cómo conseguisteis esos primeros proyectos?

R: Es complicado hacerte una posición en este sector sin un contacto previo, así que nuestros primeros encargos surgieron de amigos y conocidos (la gasolina que hablaba anteriormente) y poco a poco hemos ido dando forma nosotros mismos a una estructura comercial en la que contamos con un lista bastante extensa de clientes que están interesados en entrar en una de nuestras nuevas promociones.

Finalmente hemos conseguido lo que más nos costaba al principio: generar nuestros propios encargos.

P: Y actualmente, ¿cómo conseguís proyectos nuevos? ¿Hay diferencia con aquellos primeros encargos?

R: Como contaba hemos logrado una estructura comercial en la que el cliente nos localiza a nosotros y nos traslada sus intereses y cómo y dónde está buscando su vivienda ideal. Estamos comenzando a realizar proyectos totalmente a la carta. La principal diferencia con aquellos primeros encargos radica sobre todo en esta capacidad que hemos adquirido de que sea el cliente quién nos busca a nosotros, ya sea a través del consabido boca a boca o de nuestra web.

Espacio de decoración y eventos Loft Home en Sevilla

P: ¿Buscáis el terreno una vez que tenéis suficientes promotores interesados o es a la inversa?

R: El proceso real que nosotros realizamos desde el inicio consiste en buscar primero una casa o suelo que nos interese y entre en nuestro baremo de precios. Tras esto y tras haber realizado el proyecto que agote todas las posibilidades de ese suelo comenzamos la captación de clientes para finalmente acabar el proceso con la construcción de las viviendas.

P: ¿En qué medida participan los promotores del proceso de diseño, distribución, elección de calidades, etc?

R: Nuestra política de trabajo es la de la participación total del cliente/promotor en el proceso de diseño. Ofrecemos una imagen de traje a medida completo, ya que entendemos que una vivienda es para toda la vida y una familia quiere diseñarla a su gusto.

Ahí radica la gran diferencia en comprar una vivienda en una promotora o a través de lacooperativaarquitectos.

En una promotora tienes que ceñirte a lo que hay sin prácticamente poder modificar nada, mientras que nosotros damos total libertad de distribución, acabados o instalaciones ya que realmente lo que nos gusta más como arquitectos es poder diseñar la vivienda de cada familia a su medida.

P: Una vez que se da el diseño por bueno, ¿cómo gestionáis el proceso de construcción?

R: Los proyectos se gestan desde el inicio en el estudio, y el proceso de construcción no podía ser menos. Por esto, la construcción propiamente dicha se tiene muy en cuenta a la hora de planificar el proceso de toda la promoción en conjunto. Además, hacemos al cliente partícipe de todo el proceso de la obra, haciendo visitas periódicas y modificaciones sobre la marcha, dando en ese aspecto nuevamente total libertad de diseño al comprador.

P: Me gustaría saber cómo funcionan los proyectos desde el punto de vista económico. ¿Cuándo recibís pagos por vuestros servicios?

R: Nosotros funcionamos conjuntamente como estudio de arquitectura y gestora de autopromoción de viviendas y cobramos los honorarios separadamente. Éstos se reciben a partir que tenemos los clientes y de forma escalonada durante todo el proceso de construcción.

Proyecto de viviendas de autopromoción en Torneo 84 – rénder

P: ¿Qué tipo de habilidades o recursos necesita un arquitecto para montar una modelo de negocio como el vuestro?

R: Posiblemente lo que más trabajo nos ha costado conseguir y de lo que nos sentimos más orgullosos sea de la red de personas y buenos profesionales con los que ya contamos para gestionar todo el proceso. Es abrumador la cantidad de burocracia que es necesario por ejemplo para la financiación de una promoción o para montar una sociedad cooperativa y entiendo que mucha gente pueda verse sobrepasada por todo esto si no sabe bien a qué persona u organismo dirigirse.

P: Desde tu experiencia, ¿cómo ves la demanda de construcción de viviendas? ¿Piensas que es cierto eso que se dice de que nadie tiene dinero, nadie construye y nadie se compra una casa?

R:  Eso que se suele decir que nadie compra no es cierto, el mercado de viviendas sigue estando ahí y el cliente que busca vivienda sigue existiendo, aunque con otros criterios de búsqueda.

En los años de bonanza económica se agotó hasta la saciedad las promociones de viviendas de pequeño tamaño adosadas o pareadas en el extrarradio.Actualmente, y al menos en Sevilla, existe un tipo de cliente que busca primera vivienda de tamaño grande y además estar cerca del centro de la ciudad.

P: ¿Piensas que el caso de lacooperativaarquitectos es una excepción o crees que otros arquitectos podrían tomar la misma iniciativa?

R: Cuando nosotros comenzamos a trabajar en la autopromoción en esta iniciativa había muy pocas empresas que se dedicaran a esta alternativa. Esto hablamos del año 2012, hoy a las puertas del 2016 existen muchas más empresas que han enfocado su negocio a la autopromoción y muchos de ellos nos consta que son también arquitectos.

Imagen interior renderizada de Torneo 84

P: ¿Qué consejos darías a un arquitecto que, después de leer tu experiencia, tuviera ganas de hacer lo mismo que habéis hecho vosotros?

R: Te daré 3 pero muy importantes.

1. Lo primero tener muy claro que es un mercado muy duro e incluso cruel a veces, y para poder posicionarte y comenzar a hacerte un nombre debe pasar un tiempo prudencial que no todos asumen, por tanto hay que ser muy paciente.
2. Lo segundo que los titulados en arquitectura somos gente con muchísimos recursos, ya que nuestra enseñanza engloba gran cantidad de campos y conocimientos, y esto hay que saber aprovecharlo.
3. Y lo tercero y último, y siempre lo más importante,es que trabajar en lo que te apasiona y has estudiado para ello es siempre lo más reconfortante.

P: A nivel personal, ¿qué significa para ti trabajar en lacooperativaarquitectos? ¿Qué recompensas y qué sacrificios tiene? 

R: A nivel personal es muy satisfactorio poder trabajar en lo que realmente me gusta, para mí eso es lo más importante y además como he dicho antes, poder ser tu propio jefe. Esta sería la mejor recompensa. No creo por otra parte que para mí tenga sacrificios, ya que si realmente estás trabajando en lo que te apasiona haces todo lo posible por llevarlo a cabo, aunque evidentemente existan jornadas interminables de trabajo, decepciones muy grandes y otras no tan grandes y tener la obligación de resolver todos los problemas que se te presentan día a día en lo que a gestionar todo el proceso se refiere.

P: Para ir terminando me gustaría que nos presentaras alguno de los proyectos que más te gusten de los que habéis realizado hasta el momento y nos cuentes en qué consiste, cómo surgió, qué dificultades tuvo y en qué estado se encuentra actualmente.

R: Para nosotros el proyecto más significativo de momento y en el que hemos puesto mayor empeño es nuestro proyecto de rehabilitación para 4 viviendas en Torneo 84.

Este proyecto ha sido nuestro laboratorio donde hemos podido experimentar y desarrollar todas las ideas que solo veíamos plasmadas en papel. Cada vivienda es un mundo y se han diseñado como tal. Dificultades muchas, pero se entiende que son problemas que surgen sobre todo en obra y que hay que resolver sobre la marcha.

Actualmente se encuentra en la fase de acabados, las viviendas tienen previsto entregarse en enero del año que viene.

Torneo 84. Fotos de la obra

P: ¿Qué otros proyectos significativos habéis desarrollado?

R: Actualmente estamos desarrollando otros tres proyectos, una nueva rehabilitación para 3 viviendas en el centro de Sevilla y dos proyectos de nueva planta, uno de 3 viviendas por la zona de la Av/ de la Buhaira y una vivienda unifamiliar por la zona de Nervión.

Proyecto de viviendas – vista interior

P: Por último, quiero darte las gracias de nuevo por participar y que nos digas dónde podemos encontrar más información de lacooperativaarquitectos y cómo se puede poner la gente en contacto con vosotros.

R: Agradecerte de nuevo ofrecernos realizar esta interesante entrevista y desearte mucha suerte como arquitecto emprendedor que eres también. Podéis encontrarnos en:

• nuestra web “www.lacooperativaarquitectos.com“
• y en nuestra página de Facebook, donde y constantemente subimos imágenes de nuestras obras o de nuevos proyectos.

¡Muchas gracias Pablo!

Este es un artículo de invitado de Fran Torres, creador de Yellow Kid.

Conozco a Fran desde el año 1997 cuando teníamos 15 años y estábamos en el instituto.

Aparte de sus buenas habilidades con el fútbol recuerdo las caricaturas que hacía en la pizarra en los descansos entre clase y clase.

Así, sin más, dibujando con tiza en pocos minutos.

¡Era sorprendente!

Ahora Fran es un reconocido profesional del diseño gráfico y la ilustración.

En este artículo nos cuenta sus andaduras en la profesión y nos desvela algunos de sus secretos en el proceso de trabajo, desde la inspiración hasta el desarrollo de la idea.

Ahí va su artículo.

Me llamo Fran, actualmente trabajo como diseñador gráfico e ilustrador, dos trabajos diferentes pero compatibles.

• El diseñador debe ser objetivo y cumplir con la finalidad que marca el cliente.
• El ilustrador se basa en un enfoque más subjetivo. Para mí, ilustrar es, sobre todo, contar una historia, es mi opinión.

A continuación os hablaré un poco de mi experiencia en esta profesión, la manera de enfocar los proyectos y las técnicas que utilizo.

Seguir tu pasión

Mi vocación siempre fue la ilustración.

Dibujar en clase era mi pasatiempo favorito, aunque siempre me llamó la atención cualquier medio de expresión/comunicación visual, como la fotografía, la pintura, video…

Así que empecé a compaginar mis estudios de diseño gráfico con mis primeros encargos de ilustración.

Los inicios

Los encargos de ilustración llegaron primero por conocidos, amigos de amigos… No eran gran cosa, pero me permitían ir ganado experiencia, no sólo en la manera de enfocar un trabajo, también a valorar mi trabajo, preparar presupuesto, etc.

En el campo de la publicidad, como diseñador gráfico, tuve la suerte de tener amigos trabajando en el gremio, que me permitieron conocer mejor mi trabajo y obtener mis primeros contactos en el sector.

En cualquier caso, los comienzos siempre son difíciles, y el camino tiene sus alti-bajos.

También he pasado temporadas sin encargos.

Antes, cuando llegaba alguna temporada así, no sabía qué hacer, no sabía de qué manera podía encontrar la manera de volver a conseguir un cliente, un proyecto, ahora  procuro emplear esas temporadas para invertir el tiempo en proyectos personales, que siempre tienen sus frutos.

Inspiración y Estilo

Empleo mucho tiempo en consumir contenido visual, hay ilustradores y diseñadores que hacen cosas increíbles, de la que puedes aprender.

No sólo aprendes de ver el trabajo de otros compañeros, puede que te inspire una buena película, un cómic, un cuadro, aunque siempre procurando mantener un estilo propio. Tampoco creo que sea bueno obsesionarse con tener un estilo, creo que simplemente llega como reflexión a tus propias experiencias, conocimientos, gustos….se trata de trabajar, dibujar, componer mucho y el estilo va saliendo.

A lo largo de mi carrera, mi estilo ha ido evolucionando, creo que es algo natural, ya que continuamente existe una formación, un aprendizaje, una madurez, y también claro, el contexto del momento, las tendencias.

• En los encargos de diseño gráfico dejo a un lado el estilo e intento adaptarme a lo que necesita el proyecto.
• En los encargos de ilustración tengo más libertad, tanto en el contenido como en la forma, no sólo te piden una ilustración por tu técnica, también  les interesa tu forma de interpretar el texto, la forma de enfocar la idea y ejecutarla.

¿Cuáles son buenos referentes?

Muchos, de cada uno coges algo que te gusta, me gusta la contundencia de Magoz, el lenguaje de Martin Jarrie, las composiciones de Riccardo Guasco, la sencillez de Jean Jullien….

Por destacar a alguno:

• Isidro Ferrer, desde que lo descubrí en la época de estudiante hasta la fecha ha sido un referente. Además he tenido la oportunidad de asistir a alguna de sus conferencias y he de decir que es un excelente comunicador.
• Manolo Prieto, el toro de Osborne es su obra más conocida, pero para mí, fueron reveladoras sus portadas para la publicación semanal de novelas y cuentos, por su valor comunicativo.

Mi Proceso de Diseño

Básicamente preparo cualquier trabajo, ya sea de ilustración o diseño gráfico, de la misma manera.

1. Necesidades del cliente

Primero intento conocer bien las necesidades del cliente, qué es lo que quiere y qué es lo que necesita (que en algunas ocasiones no es lo mismo). Un briefing es siempre necesario para tener las cosas claras durante el proyecto.

2. Investigación

El siguiente paso sería el periodo de investigación.

Por ejemplo, cuando me encargan la construcción de una identidad visual para una empresa, intento conocer más su sector, su competencia, sus referencias, y casos similares.

Igualmente para una ilustración, ya sea para acompañar un texto o para ilustrar un cartel, busco información sobre el contenido, analizo el texto, busco referencias, etc.

Intento hablar con el cliente para sacar toda la información que necesito.

Una vez que tengo toda la información que considero importante, prefiero mantener el contacto con el cliente mediante mails, personalmente me resulta más cómodo, y además, de esta manera, todas conversaciones quedan archivadas.

3. Encontrando la idea

Después de todo el proceso de investigación viene el desarrollo.

Yo siempre empiezo con un lápiz y un folio, bocetar a mano me da mejores resultados.

¡Está comprobado!

Aunque también he de decir, que muchas veces nos condiciona el  tiempo de entrega. Entonces todos los supuestos pasos para elaborar un buen trabajo varían.

Los Bocetos

Al bocetar, trabajo sobre todo en la idea e intento definir  el encuadre.

Hay días que te bloqueas y no sale nada, yo intento despejarme, pero no desconectar del trabajo.

Por ejemplo, empiezo a dibujar lo primero que se me ocurre, sin que tenga nada que ver con el proyecto, lo que intento es soltarme, liberarme de la presión del trabajo, pero no soltar el lápiz.

Otra herramienta que últimamente encuentro de gran utilidad son los cuadernos de dibujo.

Siempre he utilizado cuadernos de dibujo, pero ha sido desde hace poco tiempo cuando he aprendido a sacarles partido. Procuro que los cuadernos sean un sitio donde reflexionar sin presiones de tiempos, facturas, clientes…Intento llevar un orden, experimentar con formas, y tener las ideas almacenadas y a mano.

4. Desarrollo del diseño

Cuando por fin das con la idea es el momento de darle forma.

Diseño Gráfico

Para una pieza de diseño gráfico, el proceso se adapta a las circunstancias, igual lo hago todo en Photoshop, igual lo hago todo en Illustrator, o tengo que coger la plumilla y hacer un trazo a mano alzada, me adapto a lo que requiera el trabajo.

Ilustración

Para la ilustración sí sigo un método más definido, con algunas variaciones según el soporte, el público y  la temática, pero básicamente el proceso es siempre el mismo.

1. Primero escaneo el dibujo y comienzo la composición vectorial. Me  gustan las formas vectoriales, las líneas rectas, las curvas suaves, utilizo esta herramienta porque me ayuda a buscar el resultado que quiero.
2. También suelo aplicar el color en el programa vectorial, al menos la base. Normalmente utilizo paletas de color que coloco junto a la ilustración y las voy aplicando. No suelo utilizar muchos colores, me gusta que el resultado sea limpio y equilibrado.
3. Después, en Photoshop, aplico texturas, corrijo colores, luz…y finalizo la pieza.

Otros Aspectos de la Profesión

Otra de las grandes cuestiones en las que aprendes a manejarte a base de tropiezos, al menos en mi caso, es en el tema económico.

Cuando empiezas es difícil valorar tu trabajo, eres nuevo en ese mundo, y necesitas orientación, estás perdido, seguramente de entre mis primeros presupuestos, hubo alguno que estaba casi regalado, también seguramente hubo algún otro que puse por las nubes. En cualquier caso , lo que hay que procurar es hablar de temas económicos sin reparos, comunicar al cliente antes del trabajo cual es el precio y las formas de pago.

La mayoría de los trabajos que me encargan hoy en día llegan mediante el boca a boca, personas recomendadas por clientes, o mediante agencias o estudios de diseño amigos que cuentan conmigo para alguno de sus proyecto.

Difusión

Intento estar presente y darme a conocer en redes sociales, en sitios como domestika o behance, y sigo mandando mi portfolio a editoriales y agencias. Intento seguir siempre aprendiendo nuevas técnicas, nuevos recursos, nuevas tendencias. La cuestión es estar siempre ahí, preparado, para cuando salte la oportunidad cogerla.

Desconectar

Cuando la agenda me lo permite o después de entregar un trabajo, sobre todo trabajos de gran envergadura o trabajos que te exprimen, intento desconectar del todo, me tomo el día siguiente para relajarme, para  tocar la guitarra, para salir a correr, para ir con mi perro Tuco al campo,  para quedar con los amigos.

En un trabajo como este, en el que estás en continuo proceso de aprendizaje, tienes que valorar tu tiempo fuera del trabajo, porque  también te hace progresar en tu manera de ver las cosas, tienes que ser un observador de lo que te rodea, por eso considero muy importante, no vivir encerrado en una cueva, saber inspirarte del mundo que te rodea…y seguir aprendiendo.

Por último quisiera agradecer a Pablo por acordarse de mí para colaborar en su blog.

Fran Torres

Conoce más sobre el trabajo de Fran en su página de Facebook: Yellow Kid

Este post lleva guardado en mi ordenador más de un año.

Juan López me contactó por si me interesaba publicar en el blog sus reprensentaciones y una explicación de lo que le mueve a dibujar y las técnicas que utiliza.

Hace unas semanas me volvió a escribir para decirme que estaría por España, mitad de ocio y mitad publicitando su libro “El lenguaje de la línea. Dibujos de arquitecto” (Editorial Oliva, a la venta aquí) del cual me quería regalar un ejemplar.

Para mí fue un placer tener la oportunidad de compartir un rato de conversación con él y su mujer, sentados tranquilamente en la Rambla de Barcelona. Hablamos de su pasión por el dibujo y de lo terapéutico que le resulta dibujar, de viajes, de raíces, de proyectos, de la vida…

Seguirá por España unos días, así que si tienes interés en hablar con él, al final del post deja información de contacto. Te dejo con sus palabras.

Breve autobiografía. Juan Luís López

Nací en el año 1955 en Cruz del Eje. Se trata de una pequeña localidad situada al noroeste de la provincia de Córdoba en la parte central de Argentina.

Desde pequeño me ha fascinado de manera especial la magia del dibujo. Poder captar cualquier cosa del mundo con un simple lápiz me ha resultado siempre algo extraordinario.

La Otra Babel

Siempre que hago memoria, me visualizao en mi infancia dibujando. Sin duda, en aquella etapa mi juguete preferido fue el lápiz.

Empecé a formarme de manera académica como ilustrador y dibujante cuando solo tenía 14 años y lo hice en la Escuela Provincial de Bellas Artes. Fue allí donde aprendí los primeros conocimientos formales sobre dibujo, xilografía, escultura y grabado.

Cuando cumplí los 18 años tuve la suerte de poder cursar la cátedra de Dibujo Técnico en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Córdoba. Aprendí allí conocimientos sobre vistas, plantas, secciones, axonometrías, etc. Dibujábamos con pluma y tintero con tinta china.

La Aldea Flotante

Estudié arquitectura en la misma Universidad Nacional de Córdoba, concretamente en la Facultad de Arquitectura y Urbanismo. En poco tiempo fui un especialista en dibujos arquitectónicos en perspectiva. Estos estaban muy bien considerados y valorados en la época, por lo que pude cubrir mis gastos de estudio e incluso ahorrar una cantidad. En 1980 me titulé como Arquitecto y se me otorgó el “Premio Universidad” por tener la mejor nota media de la Facultad.

La Aldea Circular

En los años siguientes comencé a vender algunos de mis dibujos, entre ellos uno sobre tela realizado con cera y parafine para el que empleé la técnica del batik.

Fui profesor de Dibujo y Sistemas de Representación en la propia Facultad de Arquitectura y Urbanismo del año 1984 al 1986 en la Universidad Nacional de Córdoba, Argentina. En el año 91 y 92 tuve que desplazarme a vivir a Brasil y de allí tengo dibujos que atestiguan mis viajes y paseos por este país. Allí interioricé el dibujo vegetales: flores, plantas y árboles.

El dibujo me ha acompañado siempre en mi carrera profesional como arquitecto. Desde siempre he utilizado los bocetos, ilustraciones, dibujos de la figura humana e incluso caricaturas como modo de distracción y terapia. Esto me mantiene alejado del psicólogo, al menos por ahora.

¿Por qué dibujo antiguas aldeas?

Con el descubrimiento de América acaba la Edad Media y comienza la Edad Moderna. Nace de esta manera el nuevo hombre americano, alejado del mundo antiguo y medieval. Para los argentinos, que habitamos en el fin del mundo, el mundo clásico, su arqueología, su urbanismo, sus barrios, etc. constituyen un tiempo pasado que no reconocemos. Son espacios que no están incorporados en nuestra memoria colectiva, como tampoco lo están en la realidad de nuestras ciudades.

Pequeño Mundo

Es de ahí de donde surge en mí la fascinación por reconocer e interpretar estos maravillosos espacios que no se encuentran en el paisaje urbano conocido. Me gusta tomarlo como un juego y de esta manera vuelo por extrañas comarcas y visito aldeas que flotan o pequeños paraísos paralelos que no pertenecen a nadie.

Mis ilustraciones reflejan esa curiosidad de arqueólogo que viaja en el tiempo y se adentra en mundos mágicos y misteriosos.

La serie “Aldeas” está constituida por ilustraciones con fuertes contrastes entre la lógica y lo irraccional, lo real y lo fantástico, creando universos posibles de imágenes e ilusiones.

Aleph

Desde el punto de vista gráfico, estos dibujos se ofrecen con perspectivas irreales, múltiples focos, direcciones y técnicas de anamorfismo, que utilizo deliberadamente para provocar una distorsión voluntaria y divertida.

Entre otras se pueden ver vistas de pájaro, imágenes tipo ojo de pez, imágenes panorámicas de numerosos puntos de fuga o perspectivas con focos muy forzados.

Puerto de la Aldea Vieja

Croquis de Registro

Otro tipo de dibujos que presento son los croquis de registro, que representan mi intrepretacción y traducción al papel de un escenario determinado. Paisajes, situaciones urbanas, edificios u objetos que captan mi atención e interés son el foco de esta serie de ilustraciones.

Ciudad de las Artes y las ciencias. Valencia, España

Para mí croquizar es explorar, interpretar y traducir al papel diversas situaciones espaciales, escénicas y temporales que pueden ser interpretadas de manera gráfica.

Plaza de España. Parque de Maria Luisa. Sevilla, España

La base para croquizar es mirar, pensar y trazar. Esto conlleva una manera diferente de observar la realidad y obliga a una visión exploradora, crítica, profunda y analítica de situaciones corrientes. Es lo que en los círculos académicos se suele llamar “el saber ver”.

Terraza Casa Milá. Barcelona, España

Utilizo para los croquis líneas de igual grosor. La combinación de las mismas provoca trazos superpuestos y estos generan una base tonal con todos los gradientes desde el blanco hasta el negro.

La series está formada por croquis rápidos, dibujos más elaborados, a mano alzada y otros de detalle. En ocasiones el dibujo ha sido realizado in situ y en otras ocasiones en la comodidad del estudio, sobre la mesa de dibujo.

Patio Museo de Arte Religioso Juan de Tejeda. Córdoba, Argentina

Pasaje de La Judería. Sevilla, España

Arquitecto Juan Luis López

Redes sociales:

• web: www.juanluislopez.com.ar
• facebook: https://www.facebook.com/JuanLuisLopez.ArteGrafico/?fref=ts
• blog: http://juanluislopez.tumblr.com/

Correo electrónico:

• juanlopezarq28@gmail.com
• info@juanluislopez.com.ar

¿Quieres aprender a dibujar y no sabes cómo?

Aprender a dibujar online es una de las opciones más baratas y cómodas que puede haber. La tecnología te trae a los mejores profesores de dibujo hasta tu casa para que puedas desarrollar tu creatividad con facilidad.

Contacté con Antonio García Villarán porque sabía que era profesor de cursos de dibujo online y accedió a darme su visión de este nuevo mundo. En este artículo nos muestra unas pinceladas de su arte, de sus clases de dibujo por internet, de los resultados de sus alumnos, de su actividad en las redes sociales y de su manera de expandir el arte y la crítica por todo el mundo desde su ciudad de residencia, Sevilla. Todo ello elaborado con amenos vídeos.

Es un lujo poder contar con su participación en 10endibujo. Te dejo con su artículo.

Yo soy de esos que decían que no quería ni móvil ni ordenador.

Por aquel entonces todo esto de la red era muy nuevo, y no alcanzaba a ver el potencial que tenía.

Pero las circunstancias dieron un vuelco a mi vida y hoy por hoy mi apuesta decidida son las nuevas tecnologías.

Siempre he sido muy pragmático, y he necesitado comprobarlo todo para estar seguro de que funcionaba. Decidí hacer la prueba. De esto hace ya más de 2 años.

En el 2000 abrí una Academia de Dibujo y Pintura en Sevilla, CREA 13, en la que sigo impartiendo clases presenciales, pero quise llevar mi experiencia más allá. Pensé que el conocimiento que allí impartía podría grabarlo en vídeo para que pudiese llegar todo el mundo.

En mi mente quedaban las clases de mi Maestro Manuel Álvarez Fijo, que nos dejó hace años, el cual me inspiraba con sus enseñanzas y me lamentaba de no poder escuchar sus disertaciones de nuevo, ahora que no está. En mi cabeza se formulaba la pregunta

¿Se puede enseñar dibujo de manera online?

¿Podría yo transmitir mi conocimiento al mundo entero desde mi lugar de residencia?

Consulté con mi hermano Paco, que es ingeniero informático, la posibilidad de llevar a cabo este proyecto, y fue entonces cuando me habló de UDEMY, una especie de Universidad online universal que llevaba activa desde el 2009 con sede en San Francisco, y cuyos fundadores fueron Gagan Biyani, Eren Bali y Oktay Caglar.

Decidí subir mi primer curso sobre dibujo a esta plataforma, y empezaron a llegarme los primero alumnos. A día de hoy tengo alojados 10 cursos de Dibujo, Pintura, Técnicas Artísticas, Retrato y Libros de Artista, 4 de los cuales están traducidos con subtítulos en inglés.

Cuento con más de 2400 alumnos en más de 89 países, y puedo decir que sí es posible enseñar dibujo de manera online.

Se puede enseñar dibujo online

En estos momentos estoy preparando nuevos cursos sobre mi proceso creativo a la hora de pintar mis cuadros y también estoy embarcado en un curso sobre anatomía que espero que vea la luz pronto.

Pero como a mí siempre me ha gustado el “más difícil todavía”, desde hace poco menos de un año decidí tomarme en serio mi canal de lo que yo denomino “la selva”, esto es, Youtube.

Aunque lo abrí en 2009, únicamente subía algún vídeo esporádicamente, o bien algún tutorial para dar a conocer mis cursos de Udemy. Pero poco a poco me di cuenta del potencial de la plataforma, y comprobé que no había canales especializados en Arte, o al menos, no como a mí me hubiese gustado encontrarlos. Yo pienso que no se quiere lo que no se conoce, y me gusta mucho el debate en torno a las artes plásticas. Lo considero necesario.

Es por esto que me puse como compromiso hace menos de un año el subir un vídeo semanal.

Al principio fue difícil, ya que no tenía claro cómo quería enfocar el canal, pero todo fluyó de manera natural. Grabé mis clases en CREA 13, hablé de mis dibujos, de mis cuadros, de mi experiencia en Bellas Artes, de qué es el Arte Abstracto… en definitiva, digitalicé mi conocimiento y puse en vídeo mis ideas.

Mis dibujos

Vídeo Clases Pro

Vídeo Experiencia en Bellas Artes

Explicando la Venus Andaluza

En estos momentos cuento con un número considerable de suscriptores que suben día a día, pero lo mejor de todo es que estoy consiguiendo generar debate. Este es el que yo considero como mi mayor logro. Hacer que se hable de arte. Que de manera educada confrontemos opiniones, saquemos conclusiones y desmenucemos este apasionante mundo desde múltiples puntos de vista.

Hace poco subí un vídeo titulado “El fraude de Antonio López”, y ya cuenta con cientos de comentarios que me resultan de gran valor teórico.

El fraude de Antonio López

Toda esta actividad, unida a mi página de Facebook o a mi cuenta de Instagram no son más que complementos a mi actividad habitual, que no difiere de la de cualquier artista plástico o profesor de arte.

Yo sigo dando clases en mi academia, sigo dibujando modelos del natural, sigo pintando casi a diario, y es este contenido el que vuelco en mis redes. No es ningún descubrimiento decir que el panorama vital ha cambiado.

¿Acaso no pasamos más horas del día en la red que en la vida real?

Y muchos me preguntan ¿de dónde sacas el tiempo? ¿No duermes?

La verdad es que estas acciones las tengo automatizadas. Para mí es como conducir o andar en bici, es decir, las voy haciendo sin darme cuenta.

Gracias a esto he hecho llegar mis conocimientos a lugares insospechados. He conseguido enseñar a dibujar a personas de todo el mundo. He conseguido debatir con artistas del otro lado del Pacífico, y no he hecho más que empezar. La verdad es que me resulta apasionante, y espero poder seguir creciendo y sorprendiéndome con cada cambio.

Antonio García Villarán

Sevilla, 20/06/2017

Más Información

• Youtube
• Página web
• Facebook
• Instagram
• Google +

Cursos de Antonio García Villarán

• Aprende Dibujo Artístico Fácilmente. Arte y Creatividad
• Más de 40 Técnicas de Arte y Creatividad. Dibujo y Pintura
• Pinta 5 Cuadros en 5 Días con Pintura Acrílica
• El Arte del Retrato: el Rostro Humano. Dibujo y Pintura
• Fabrica y Vende tu propio Libro de Artista. Arte Creativo
• Los Secretos de la Tinta China. Fabricación y Ejercicios

Tengo ahora mismo una agradable sensación de satisfacción.

Hace unos minutos he terminado el artículo que tienes ante ti y me parece que no me equivoco si digo que es el más extenso hasta el momento. Más de 7.000 palabras y más de 40 dibujos. Ha sido mucho trabajo, muchísimo, pero sé que merece la pena y tengo la impresión de que será un artículo MUY ÚTIL PARA MUCHA GENTE. Y esto me hace sentir muy bien. Quiero que cada uno de vosotros, cada uno de los que sigue mi blog sea capaz de sacar un 10 en dibujo.

Selectividad está a la vuelta de la esquina y vamos a dar lo mejor de nosotros mismos.

¡A por ello!

Pero antes de nada, te voy a poner la canción que más me ha acompañado durante la elaboración y que me trae muy buenos recuerdos: “Girl you are amazing, just they way you are”… que viene a ser algo así como “chica eres impresionante, sencillamente como eres”. Quizá te guste a ti también… o quizá no

Secciones en sistema diédrico

El tema de las secciones es en mi opinión uno de los más apasionantes del sistema diédrico. En primer lugar me parece muy divertido poder modificar un objeto volumétrico a mi antojo; elijo el plano que quiero y corto una pirámide, un cono o un prisma. En segundo lugar las secciones son algo muy tangible, muy intuitivo; es fácil imaginarse un corte en un trozo de queso, en una longaniza o en una naranja. Todo esto son cuerpos reales a los que les podemos hacer cortes reales. Dejamos atrás abstracciones como los puntos o las rectas con sus puntos traza para pasar a objetos físicos de nuestro entorno.

Es muy conveniente que aprendas las secciones bien, especialmente si te vas a dedicar a una carrera técnica, porque es algo que te acompañará siempre. Dependiendo de qué carrera elijas, tendrás que hacer secciones en edificios para ver cómo funcionan por dentro, en terrenos para ver qué desniveles tienen, en piezas mecánicas para ver cómo se fabrican… Por eso voy a intentar explicarlos de la manera más completa, sencilla y precisa posible.

¿Qué nos piden cuando tenemos que hacer una sección?

Cuando nos piden dibujar una sección normalmente nos dan un cuerpo de caras planas (poliedros: pirámide, cubo, prisma…) o de revolución (cono, cilindro, esfera) y nos dan también un plano por el que tenemos que cortar ese cuerpo.

El objetivo es que dibujes el corte que realizaría el plano en ese poliedro. Dicho de otra manera, se trata de que encuentres los puntos que tienen en común el plano y el cuerpo. Esto lo podemos conectar directamente con temas de los que ya hemos hablado como intersecciones de planos o de rectas con planos, en los que igualmente se trataba de encontrar los puntos que eran comunes a ambos elementos. Así que utilizaremos razonamientos similares.

Una vez que encuentras las dos proyecciones de la sección es muy probable que te pidan que encuentres su verdadera magnitud. Puesto que se trata de una sección plana (realizada por un plano) podrás encontrar la verdadera magnitud por abatimiento de ese plano.

En algunos de los ejercicios que explicaré dejaré solo indicada la sección con sus proyecciones y en otros encontraré la verdadera magnitud. En tu caso, lee con detenimiento el enunciado para ver exactamente qué te piden.

1. Secciones de poliedros

En primer lugar estudiaremos los poliedros (cuerpos facetados, es decir, con caras planas) y luego pasaremos a los cuerpos de revolución. Vamos con el tipo de plano más sencillo.

1.1. Sección por plano de perfil

La sección por un plano de perfil siempre produce dos proyecciones en sistema diédrico que son rectas coincidentes con las trazas del plano que empiezan y acaban junto con el contorno aparente de la pieza.

Como sabes por este artículo de planos, cualquier elemento contenido en un plano de perfil tiene sus proyecciones sobre las trazas, así que el único objetivo es encontrar la verdadera magnitud.

Pirámide recta

La sección en proyecciones diédricas la puedes ver en el dibujo como dos rectas perpendiculares a la línea de tierra y esas son las que tenemos que abatir. Como ves, los extremos de las líneas rojas (sección) coinciden con el contorno aparente de la pirámide.

CONSEJO

Para abatir correctamente esta sección te recomiendo que pongas nombres a los vértices y que, de manera ordenada vayas llevando el corte de cada arista al abatimiento.

Por ejemplo: Puedes ver en proyección horizontal que la traza P está cortando a la arista a-b en el punto que he denominado 1. La proyección vertical de este punto 1 se encuentra en la arista a’-b’ que es una arista sin altura, es decir, situada en la línea de tierra. Por tanto, llevaré el punto 1 al plano de perfil (abatimiento) utilizando el punto O como centro del arco de circunferencia y lo dejaré en la línea de tierra porque su cota=0.

Así iremos haciendo sucesivamente con el resto de los 4 puntos de la sección.

El punto 2 en proyección horizontal corta a la arista b-v así que, como puedes ver en proyección vertical, este punto sí tiene altura. Fíjate en que la arista b-v es parte del contorno aparente de la pirámide en proyección vertical. Llévalo al perfil usando el mismo camino que antes hasta encontrar el punto (2)

El punto 3 contenido en la arista C-V tiene altura y se hace igual que el 2, mientras que el punto 4 se hace igual que el 1 porque no tiene ninguna altura. Con los 4 puntos abatidos y unidos en el orden correcto tienes la ¡¡sección de la pirámide por el plano de perfil!!

Este es uno de los ejercicios más sencillos pero he querido explicarlo con todo detalle porque si entiendes este tenemos mucho camino recorrido. Es la esencia de las secciones. Básicamente se trata de encontrar el punto de intersección de las aristas con el plano. Repasa el ejercicio hasta que estés seguro de que lo has comprendido.

Vamos con otro.

Pero ya el último, que hay muchas secciones que ver

Un tetraedro apoyado sobre una arista

Aquí tenemos un caso singular. Como ves en la proyección horizontal, existen 3 puntos en los que la traza horizontal corta al tetraedro. No obstante, si te das cuenta, el punto central está cortando 2 aristas simultáneamente. ESO ES LO QUE NOS INTERESA: las aristas cortadas.

El punto 1 en proyección horizontal pertenece a la arista c-d y se encuentra a una altura media en proyección vertical. Del punto 3 tampoco hay dudas: en proyección horizontal pertenece a la arista a-b y en proyección vertical esta arista a-b es inclinada. En proyección vertical, los puntos 1’ y 3’ casi son coincidentes.

Como puedes comprobar, por el momento solo hemos definido los puntos 1’ y 3’ y estos se corresponden con puntos centrales de la sección en proyección vertical. Para que la sección se complete necesitamos dos puntos más, uno arriba que es el 2’(corte con la arista d’-b’) y otro abajo que es el 4’ (corte con la arista a’-c’). Ahora tenemos que encontrar la proyección horizontal de estos puntos y vemos las aristas b-d y a-c se cortan en un punto que coincide con la traza.

De esta manera hay que llevar los puntos 2 y 4 al abatimiento por el método general y ya tendremos la sección en verdadera magnitud.

1.2. Sección por plano horizontal o frontal

Estos son probablemente los más sencillos y directos, incluso más que los de perfil, ya que obtenemos la verdadera magnitud directamente. Como podrás comprobar, el método a utilizar es el mismo: ver cuáles son los puntos de corte de las aristas con el plano de sección y nuevamente el CONSEJO es el mismo: nombra los vértices y lleva cada punto de manera ordenada.

Veamos el caso más fácil que se me ocurre.

Cortamos esta pirámide por un plano horizontal en primer lugar y por un plano frontal en el segundo.

En el primer caso, el plano horizontal P corta a la arista a’-v’ en el punto 1’. Este baja hasta encontrar su proyección horizontal en la arista a-v. Siguiente punto de corte, el punto 2’ que está en la arista b’-v’ baja hasta la arista v-b y obtenemos su proyección 2. De igual manera la traza P’ del plano corta a la arista c’-v’ en el punto 3’ que tiene su proyección horizontal 3 en la arista c-v.

Nada más sencillo, ¿no?

Encuentras los puntos donde el plano corta a las aristas y hallas su proyección horizontal.

En el caso del plano frontal es exactamente lo mismo. La traza del plano P corta a la pirámide en los puntos 1, 2, 3 y 4. El punto 1 pertenece a la arista a-b por lo que su proyección vertical estará en la arista a’-b’. De igual manera se obtienen el resto de puntos y la sección definitiva.

Prisma con bases paralelas a un plano de proyección

Ahora vamos a ver el caso de este prisma de base rectangular con las bases paralelas al plano vertical de proyección.

Como ves, el plano horizontal P corta al prisma en las aristas a’-b’ y b’-c’. Estos dos puntos de corte ya los podemos llevar a su posición en proyección horizontal. Puesto que se trata de un prisma, tiene dos bases y estas se ven superpuestas en proyección vertical. Los dos puntos de corte van en proyección horizontal a las aristas a-b y b-c, pero también a la otra cara a1-b1 y b1-c1.

Así obtenemos el rectángulo de la sección.

Pirámide con arista de perfil

Aparentemente esta pirámide es tan sencilla como los ejercicios anteriores pero esconde un punto de dificultad que ahora veremos. Como siempre, ponemos nombre a los vértices, desde el A hasta el F y el vértice V. Está claro que el plano corta a la pirámide en 1’, 2’, 3’, 4’, 5’. Los puntos 2 y 4 se encuentran directamente en las aristas a-v y c-v.

Por su parte, el punto 1’ se encuentra en la arista a’-f’ que como puedes comprobar es de punta, es decir que cualquier punto de la recta tendrá su proyección horizontal en un único punto, donde están a y f. Lo mismo le pasa al punto 5.

El punto complicado es el 3, porque al bajar con una recta perpendicular a la línea de tierra no corta a la arista b-c. En estos casos tenemos 2 formas de resolver el ejercicio:

a) Por cambio de plano (plano de perfil)

Colocaremos la arista B-V paralela al plano de proyección mediante un plano de perfil. He dibujado el cambio de plano completamente con la arista E-V porque quizá te resulta más fácil de entender, aunque como ves no sería necesario. Cuando llevas la arista y el plano P al perfil obtienes directamente la posición del punto 3’’ en el perfil y así tienes su posición en altura. Ahora solo tienes que llevarlo a la proyección horizontal.

b) Por giro

Gira 90º la arista B-V alrededor de un eje de punta que pasa por V. Esto la situará en paralelo a la línea de tierra. Gira asimismo el punto de intersección 3’. El giro del punto B produce en proyección horizontal un desplazamiento horizontal hasta hacerlo coincidir con la vertical desde 3’. Sobre esta arista girada b1-V sí puedes llevar el punto 3 girado hasta su posición 3’’. Solo falta llevarlo a la proyección horizontal 3.

Al igual que con los planos de perfil prefiero explicar este tipo de movimientos con todo el detalle posible para que posteriormente no tengas dudas en ejercicios más complejos. Si no has entendido algo, vuelve a leerlo y mirar los dibujos hasta que te quede claro, porque merece la pena. Si aun así hay algo que no está claro, siempre puedes preguntarme.

1.3. Sección por plano proyectante

Poco a poco vamos entrando en el meollo de las secciones. Como ves, es un tema amplio. Si necesitas, ve a tomarte un respiro porque aún nos queda un tironcillo

Los planos proyectantes siguen siendo parte de los casos sencillos de secciones ya que una de las proyecciones se ve como una recta y es directa.

La siguiente sección de pirámide la resolveremos de dos maneras diferentes.

Método 1: Por aristas

Es el que hemos usado antes y es el más común que verás explicado en libros. Buscamos los puntos en los que la traza vertical del plano corta a las aristas de la pirámide. Así tenemos los puntos del 1’ al 5’ que tienen sus proyecciones horizontales bajando directamente en vertical hasta las aristas a-v para el punto 1, b-v para el punto 2 y así sucesivamente.

Método 2: Por homología

Encontramos un punto de la sección, por ejemplo el punto 1 en proyección horizontal y a partir de ahí vamos deduciendo el resto de puntos por homología. Veamos cómo:

En esta homología, los puntos 1 y a son homólogos, la traza horizontal P del plano es el eje y el punto v es el centro de homología.

Una vez que tienes la proyección horizontal de 1, para conseguir el siguiente punto de la sección podemos buscar la recta homóloga de a-e, así que la prolongamos hasta el eje (traza P) y lo unimos con el punto 1. Esto nos dará el punto de corte 2 en la arista b-e e incluso la recta de corte en la superficie.

Para el punto 3 solo tienes que prolongar a-b hasta la traza P y unirlo con 1.

Los puntos 4 y 5 se conseguirían lo mismo, siempre partiendo de puntos conocidos de la sección. Este segundo método que te he contado no es muy usual pero realmente es cómo en determinadas circunstancias.

Veamos otro ejemplo

En esta pirámide es fácil encontrar cuatro de sus puntos de corte, todos menos el 5 porque se encuentra en una arista de perfil. Podemos utilizar los dos métodos descritos anteriormente para solucionarlo (plano de perfil o giro) pero también podemos usar la homología como acabamos de ver.

Sinceramente esto es bastante más sencillo que el giro y el cambio de plano y, además, más preciso, porque te da directamente la inclinación de la recta de corte.

Bueno, pues, ejemplos de secciones por planos proyectantes hay tantos como te puedas imaginar pero todos se resuelven con los métodos descritos hasta ahora.

1.4. Sección por plano paralelo a la línea de tierra

El método sencillo, directo, rápido e inmediato es, en este caso, llevar todo al plano de perfil, evidentemente

Llega aquí el primer caso curioso. Aparentemente este plano no corta a la pieza ya que ninguna de las trazas corta a las proyecciones del prisma. En cambio, si dibujamos el plano de perfil… voila! Ahí lo tenemos. El plano corta completamente a la pieza.

Una vez que tanto el plano como la pieza están en el perfil (acuérdate de poner nombre a los vértices para no equivocarte) es fácil hacer el corte como si fuera un proyectante. Cada punto de la sección tiene que ir a su correspondiente posición en las proyecciones horizontal y frontal.

Empecemos con la proyección vertical: Los puntos extremos de la sección en proyección vertical los determinan 1’’ y 4’’. El plano corta a la arista B que está en la parte superior. Esto quiere decir que en la proyección vertical se verá ese punto como cortado. Lo mismo ocurre con las aristas A y C con los puntos de corte 2’’ y 3’’. Por último, el límite por abajo lo define 4’’ y como puedes ver el plano está cortando la base delantera del prisma, es decir, la cara a2-b2-c2-d2. Por tanto, cortará a las dos aristas que pasan por D, que son A-D y D-C (casi como el grupo de rock) en una línea horizontal.

Para la proyección horizontal nos llevamos los puntos 1’’, 2’’ y 3’’ desde el perfil hasta su arista correspondiente B, A y C respectivamente. El punto 4 que, como hemos visto, son en realidad dos puntos, se situará en la cara delantera. Para definir su posición en anchura la puedes bajar desde la proyección vertical.

Y así queda resuelta la figura.

Retomamos de nuevo el tetraedro del principio para ver otro ejemplo.

Lo primero que hay que hacer es llevar tanto el plano como el tetraedro al perfil. Si eso lo haces bien, tienes el 70% del ejercicio resuelto. Sé cuidadoso.

Con esto hecho, solo tienes que marcar los puntos de corte con aristas en el plano de perfil, que son 1”, 2” y 3” y llevarlos a las proyecciones. El 1” se va en paralelo a la línea de tierra hasta la arista a’-b’ y luego baja en perpendicular para obtener su proyección horizontal, ahora sobre a-b. El punto 2 hace el mismo recorrido hasta la arista A-D.

Puesto que el 3 está sobre el suelo y no puede cortar a su arista A-C lo llevaremos por la proyección horizontal primero. Ahí sí corta a la arista a-c en 3 y lo subimos hasta la línea de tierra en el punto 3’.

Como te había dicho, una vez que estaba hecho el plano de perfil correctamente esto era de lo más sencillo.

1.5. Sección por plano oblicuo

Esto ya son palabras mayores

En realidad, si has seguido el artículo completo y tienes los conocimientos básicos que he ido poniendo en 10endibujo verás que no te cuesta tanto como puede parecer. ¡Vamos!

Para hacer la sección de un sólido por un plano oblicuo te voy a dar 3 métodos que funcionan perfectamente en todos los casos y además te voy a dar 2 trucos de regalo.

Método #1 para seccionar un poliedro: Por cambio de plano

El cambio de plano es el método estrella para hacer una sección por plano oblicuo, funciona siempre y es muy sencillo.

Esto es tan sencillo como poner las cosas a nuestro favor. Si me dan un plano oblicuo y, la verdad, no me da mucha información, cambio mi punto de vista y me pongo a mirar el plano en una posición más favorable.

Con un plano oblicuo, el mejor cambio de plano posible es aquel en el que el plano se ve como proyectante.

Para conseguir esto podemos hacer un cambio de plano horizontal o vertical. Veamos el caso más sencillo de una pirámide. Tú ya sabes cómo se hace un cambio de plano, ¿verdad?

Cambio de plano de la pirámide

Por si no lo recuerdas, para poner un plano como proyectante tenemos que poner la nueva línea de tierra perpendicular a una de las trazas del plano. En este caso, yo la pongo perpendicular a la traza horizontal P del plano. Para cambiar de plano la pirámide tengo que llevar cada punto en proyección horizontal (a, b, c, d, e, V) hacia la nueva línea de tierra en perpendicular a esta. Por último tengo que colocar la altura de cada punto en la nueva línea de tierra para obtener las nuevas proyecciones (a”, b”, c”, d”, e”, V”). En nuestro caso, todos los puntos tienen cota cero (por lo que su nueva proyección vertical estar en la línea de tierra) salvo el punto V, que tiene una altura que he definido como “Hv” y es la que ponemos en la nueva línea de tierra.

Cambio de plano del plano

Para cambiar de punto de vista el plano solo tengo que tomar un punto de la traza vertical M(m’-m) y encontrar su nueva proyección m” gracias a la cota “Hm”. Una vez obtenido m” puedes unirlo con el punto de intersección de P con la nueva línea de tierra y obtienes P”, es decir, la nueva traza vertical del plano.

Una vez que tenemos el plano P como proyectante vertical y la pirámide también en el cambio de plano, podemos hacer la sección como hemos visto en el apartado anterior 1.4. Vemos cada punto de corte de la traza vertical P” con las aristas y los llevamos a la proyección horizontal.

Tenemos nuevamente el inconveniente de una arista de perfil, la B-V. Como hemos visto, la manera más rápida e inmediata de resolverlo es por homología, así que lo hago de esta manera, apoyándome en la arista A-B.

El último paso será encontrar la proyección vertical de la sección.

Quizá a ti te pidan encontrar la verdadera magnitud de la sección, así que te tocaría hacerla ahora, pero a mí no, porque yo mismo he definido el enunciado Solo tendrías que hacer el abatimiento del plano oblicuo, como siempre. En ocasiones también te pueden pedir que rellenes la sección con un rayado.

Por si no ves claramente la pieza seccionada, aquí te la dejo limpia de líneas auxiliares y con la sección rayada.

Como te decía, el método del cambio de plano funciona siempre, así que, si quieres, puedes dejar de leer esta Sección 1 de poliedros y pasar a los cuerpos de revolución. De todas formas no te lo recomiendo, porque en ocasiones no será necesario hacer un cambio de plano y puedes ahorrarte mucho tiempo.

¡Ah! Y lo mismo que hemos hecho con un cambio de plano vertical puedes hacerlo con uno horizontal. Estúdiate bien el tema de cambios de plano porque es una estrategia muy útil.

Método #2 para seccionar un poliedro: Por aristas contenidas en planos

Este método está basado en las intersecciones de rectas con planos. En este caso, la arista es la recta y el plano de sección el plano dado.

Lo que tienes que hacer es contener una arista en un plano cuya intersección con el plano dado sea fácil.

Tomamos el mismo ejemplo de la pirámide.

Si nosotros contenemos la arista C-V en un plano proyectante Q, podemos hacer fácilmente la intersección de este plano Q con el plano P que nos dan. La intersección de dos planos es una recta, en nuestro caso, la recta I(i’-i) de intersección. La intersección de esta recta I(i’-i) con nuestra arista C-V será la intersección del plano P con la arista C-V y, por tanto, uno de los vértices de nuestra sección.

Veámoslo gráficamente.

He introducido la recta C-V en un plano proyectante vertical Q: traza vertical perpendicular a la línea de tierra y traza horizontal oblicua, coincidente con la proyección horizontal de la arista c-v. A continuación he encontrado la intersección de los planos P, Q. El punto en que la proyección vertical de i’ corta a c’-v’ es un punto de la sección que podemos bajar a su proyección horizontal en la arista c-v.

Sencillo, ¿no?

Ahora podemos repetir el ejercicio con las otras 4 aristas de la pirámide o utilizar el método de homología en proyección horizontal para encontrar la sección. Puesto que este apartado está dedicado a los planos que contienen rectas, seguiré usando el mismo método.

• El plano U contiene a la arista B-V y la recta de intersección J es la intersección de U,P.
• El plano W contiene a la recta D-V y la recta de intersección K es la intersección de W,P.

• El plano X contiene a la arista E-V.
• Con la arista A-V tenemos un pequeño inconveniente y es que la intersección con el plano P sale muy lejos del dibujo. Podemos utilizar un método alternativo para encontrar la sección mediante un plano auxiliar, podemos hacer el cambio de plano solo para esa arista o podemos facilitarnos la vida utilizando la homología. Me decido por esta última opción

Con esto queda hecha la sección y puedes comprobar que sale exactamente igual que con el primer método de cambio de plano.

Método #3 para seccionar un poliedro: Por planos que contienen caras

Este método funciona perfectamente igual que los anteriores, pero tiene el inconveniente de que puede ser complicado contener una cara en un plano. Por eso este método está especialmente indicado cuando las caras sean perpendiculares a los planos de proyección. En estos casos, podremos contener la cara completa en un plano proyectante y el ejercicio será sencillo.

En el caso de pirámides, por ejemplo, las caras no suelen estar paralelas a los planos de proyección. Por tanto habría que contener las caras en planos oblicuos y el tiempo y la cantidad de líneas que supone hacer esto no merecen la pena.

Veamos un caso en el que es recomendable aplicar este método:

Los prismas

Si en el siguiente prisma de base pentagonal contengo la cara vertical que pasa por los puntos A, E en un plano proyectante horizontal Q y hago la intersección de P, Q, estaré obteniendo la recta completa de intersección I(i’-i) de dichos planos. Solo me tengo que quedar con el tramo correspondiente a la cara del prisma (remarcada en rojo)

• El plano U contiene a la cara E-D y su intersección J con el plano P da la intersección en esa cara.
• El plano V contiene a la cara C-D y su intersección K es parte de la sección del prisma.

¿Te das cuenta cómo van coincidiendo las rectas de sección de cada cara unas con otras? Se va formando lógicamente una sección continua.

Hasta ahora hemos hecho la intersección de 3 caras con el plano P. Podríamos seguir con las otras dos pero quiero mostrarte una alternativa. De hecho, si hiciéramos contener las caras A-B y B-C en dos planos proyectantes, ambas intersecciones con el plano P quedarían lejos del dibujo. Para estos casos puedes utilizar el método 2 explicado anteriormente, que es contener una arista en un plano.

Puesto que ya conocemos los puntos de corte del plano P con las aristas A, C, D y E, solo nos faltaría conocer la intersección con la arista B. Pasamos entonces un plano W frontal (porque es el más sencillo) por la arista B y encontramos su intersección con el plano P.

La intersección de un plano oblicuo con un plano frontal es una recta frontal, que podemos dibujar a partir del punto de corte de sus trazas horizontales.

¡Aquí has de tener mucho cuidado!

No te quedes con toda la recta. Hemos contenido la arista vertical en un plano, por tanto la recta de intersección que obtenemos nos da un punto.

Puesto que el plano P corta a todas las aristas verticales, la proyección horizontal de la sección coincide con el contorno del prisma. En el siguiente apartado te explicaré los trucos que te había prometido y comprobarás que hay casos en los que la sección no coincide con la proyección horizontal completamente.

Te dejo el plano P y la sección que le hace al prisma, sin líneas auxiliares. He quitado la parte superior.

Truco nº1 para secciones de poliedros: la cara superior

En numerosas ocasiones tendrás que hacer la sección de un prisma o cualquier otro poliedro que esté limitado superiormente por una cara plana horizontal. Por ejemplo el caso del prisma anterior o de los que te indico a continuación.

Un buen punto de partida es encontrar la intersección de dicho plano horizontal con el plano P que nos dan. Si la recta de intersección corta la proyección horizontal de esa cara, ya tenemos 2 puntos de la sección. Si queda fuera de la cara, sabemos que la sección quedará cerrada más abajo.

Aunque pueda parecer confuso es útil para empezar. Veamos dos ejemplos, uno en el que corta a la cara superior y otro en que no.

En este primer ejemplo, el plano P corta a la cara superior. Hacemos contener esa cara en un plano Q horizontal, obtenemos la intersección de P con Q, que es la recta horizontal h. Esta corta a la cara superior del prisma en proyección horizontal en los puntos 1 y 2. Sube estos puntos a la proyección vertical porque son definitivos de la sección.

Ahora solo quedaría encontrar la intersección de la cara C-D (mediante plano proyectante U) con el plano P y tendríamos los puntos 3 y 4. Al unirlos con 1 y 2 obtenemos la sección definitiva.

Vamos con el segundo ejemplo.

En este caso, al seguir el mismo proceso anterior de contener la cara superior en un plano Q vemos que la recta de intersección h queda fuera de la proyección horizontal del prisma. Esto significa que el plano no corta la cara superior del prisma y simplemente tendremos que proceder según alguno de los métodos anteriores. Yo tomo el tercero, porque es más adecuado para prismas. Contengo dos caras verticales del prisma en sendos planos proyectantes y hago la intersección de estos planos con el plano P.

Truco nº2 para secciones de poliedros: caras apoyadas en los planos de proyección

Cuando tengas una cara completa de un poliedro sobre uno de los planos de proyección puedes estar seguro de que la sección que produce el plano pasará exactamente por la traza del plano.

En este caso, la base del prisma está apoyada en el plano horizontal y la traza horizontal P atraviesa la base, así que los puntos 1 y 2 pertenecen directamente a la sección. Para terminar de resolver el ejercicio meto las dos aristas verticales en planos frontales, lo cual da una recta de intersección frontal con el plano P.

Si en lugar de una cara es una arista, la sección pasará por el punto en que la traza toca a la arista. En el siguiente ejemplo, la arista A-C está contenida en el plano horizontal de proyección y la traza P la corta, así que el punto 1 de corte entre P y A-C es un punto de la sección.

¿Cuál sería el mejor método para resolver esta sección?

Bueno, ahora sí, una cocacola, ¡¡por favor!!

Tómate un respiro y sal a correr con tu pulsometro porque vamos con la Sección 2.

2. Secciones de cuerpos de revolución

2.1. El cono

Hablaremos en este artículo del cono recto, ya que es el más común a nivel de bachillerato. Aunque hay diferentes tipos de conos, daré aquí un método que servirá para resolver cualquiera.

En primer lugar vamos a definir las formas de las secciones que podemos tener en un cono:

• Circunferencia: cuando el plano de sección es perpendicular al eje del cono.
• Elipse: cuando el plano de sección es oblicuo al eje y no es paralelo a ninguna generatriz.
• Parábola: cuando el plano de sección es paralelo a una única generatriz del cono
• Hipérbola: cuando el plano de sección es paralelo a 2 generatrices del cono.

Este último caso se da cuando consideramos las dos ramas de un cono. Es decir, puesto que las generatrices son infinitas y se cortan en un punto (vértice del cono) existirá una rama del cono a cada lado del vértice. Nosotros en general solo tendremos conos de una rama, por lo que no es necesario que tengamos en cuenta este caso.

Existe un último caso de sección que es cuando el plano contiene al eje. En este caso la sección es un triángulo.

Veamos los casos más sencillos de secciones por planos paralelos a los de proyección.

Sección del cono con planos paralelos a los de proyección

En el primer caso tenemos un plano horizontal, que es perpendicular al eje del cono. La sección que produce es una circunferencia. Para saber el diámetro debes entender que el contorno del cono en proyección vertical viene definido por las generatrices paralelas a la línea de tierra, es decir, la recta paralela a la línea de tierra que pasa por el vértice.

Si bajas los puntos de corte 1’, 2’ del plano P con el contorno del cono en proyección vertical hasta esas generatrices conseguirás el radio. Lógicamente la circunferencia de la sección es concéntrica a la base del cono.

En el segundo caso tenemos un plano frontal que es paralelo al eje del cono. La traza del plano corta directamente a la base en los puntos 1 y 5 que podemos llevar a la proyección vertical directamente sobre la línea de tierra.

Para encontrar sucesivos puntos tomaremos diferentes generatrices del cono. En este caso he dibujado únicamente 3 porque ya son suficientes, formando 45 y 90º con la línea de tierra. Hagamos por ejemplo la generatriz A. Dibújala en proyección horizontal, es decir, une V con a. Seguidamente encuentra la proyección vertical del punto A que está en la línea de tierra a’ y únelo con V’. La recta a’-V’ es una generatriz del cono. Ahora observa que el plano P corta a la generatriz a-V en el punto 2. Lleva ese punto a la proyección vertical y obtendrás 2’, exactamente sobre la proyección vertical de la generatriz a’-V’.

Haz lo mismo para obtener el punto 4’.

Para el punto 3, puesto que se encuentra en una generatriz que está de perfil, utilizaremos un giro de 90º. Llévalo con el compás en proyección horizontal hasta la generatriz paralela a la línea de tierra y súbelo hasta el contorno de la proyección vertical. Desde ahí, desplázalo en horizontal hasta su generatriz y obtendrás 3’.

Estas secciones, una vez que has obtenido suficientes puntos, deberás dibujarlas a mano. Aquí entran en juego tus fantásticas habilidades

Bueno, pues, mucho más difíciles no van a ser los ejercicios.

Sección del cono con planos proyectantes

El caso de un plano proyectante paralelo al eje es muy similar al segundo ejercicio de los que hemos visto anteriormente, simplemente que con un plano girado. Veamos cómo se resuelve.

En este caso es importante remarcar algunos puntos concretos:

1. Los puntos de la base: los puntos de corte de la traza horizontal con la circunferencia de la base. Son por así decirlo el arranque de la sección. (Puntos 1 y 2 en el dibujo)
2. El punto más alto de la sección: es el situado en la perpendicular al plano que pasa por V. (Punto 3) Para encontrar este punto necesitamos la generatriz perpendicular a la traza P del plano, la generatriz A-V.
3. El punto de tangencia: el punto donde la sección es tangente al contorno del cono. Este punto lo obtendrás en la generatriz paralela a la línea de tierra que, como hemos dicho antes, es la que define el contorno. (Punto 4)

Para terminar de completar el ejercicio, busco la sección con la generatriz B-V para tener un punto adicional, el punto 5’. Lo he resuelto igualmente por giro, como en el caso anterior.

En muchas ocasiones es posible que te pidan la verdadera magnitud con lo que simplemente tendrás que abatir el plano proyectante y cada uno de los puntos que has conseguido.

Vamos con el plano proyectante vertical

El caso genérico es el que tenemos más abajo. Para resolver esta sección que será una elipse tenemos dos métodos.

Método 1: por generatrices

Divide la circunferencia de la base en 8 partes iguales (a 45º cada división), dibuja la proyección vertical de cada una de esas 8 generatrices y encuentra los puntos en proyección vertical en que el plano corta a las generatrices. Encuentra su proyección horizontal y ¡listo!

Método 2: por ejes de la elipse

Este método es más preciso. La traza vertical P’ produce una sección en línea recta con extremos 1’, 2’. Estos puntos llevados a la proyección horizontal (recuerda que es en las generatrices paralelas a la línea de tierra que son las que definen el contorno) nos dan los extremos del eje mayor de la elipse.

El eje menor se encuentra en 3’-4’ como recta de punta en el punto medio del segmento 1’-2’. Podemos encontrar su longitud mediante un giro.

Sección del cono con planos oblicuos

Mi mejor recomendación para hacer la sección de un cono por plano oblicuo es hacer un cambio de plano para colocar el plano como proyectante y a partir de ahí seguir el proceso explicado anteriormente. Es la mejor manera porque así puedes encontrar los ejes de la elipse.

Como sabes, tienes que dibujar una nueva línea de tierra perpendicular a la traza horizontal P del plano. Hay que cambiar de plano la traza vertical P’ y para ello tomamos un punto de la misma y lo proyectamos hacia la nueva línea de tierra. Coloca la misma altura “cota” y obtendrás P”. Lleva también el cono a la nueva proyección vertical con su altura “H”.

Una vez que tienes la nueva proyección del cono y el plano como proyectante ya puedes hacer el proceso del apartado anterior.

Pero, ¿cómo encontrar en este caso los ejes de la elipse, cuando la elipse está cortada?

Muy sencillo. Tienes que dibujar el cono como si fuera continuo hasta que el plano lo corte en el otro extremo 2”. Así obtienes el eje mayor de la elipse. El eje menor, como en el ejercicio anterior.

Para llevar los puntos a la proyección vertical habría que utilizar los diámetros conjugados de la elipse 1’-2’ y 3’-4’. Para encontrarlos hay que utilizar las generatrices que pasan por dichos puntos. Encuentra también el punto de tangencia de la curva con el contorno del cono, que está en la generatriz paralela a la línea de tierra.

La alternativa al método del cambio de plano sería dividir el cono en 8 generatrices y hacer la intersección de cada generatriz con el plano de sección P. Para ello, como recordarás del apartado de poliedros tenías que pasar un plano proyectante que contuviera cada generatriz. Es un método válido aunque no tan precios como el que he explicado.

2.2. El cilindro

El cilindro es aún más sencillo que el cono.

Si consideramos un cilindro apoyado por una de sus bases en el plano horizontal de proyección:

• Un plano paralelo al plano horizontal produce una sección circular del mismo diámetro que las bases.
• Un plano paralelo al frontal produce una sección rectangular vista en verdadera magnitud.

• Un plano proyectante horizontal produce una sección rectangular en proyección, que habrá que abatir o cambiar de plano para ver en verdadera magnitud.

• Un plano proyectante vertical produce una sección en forma de elipse, cuyo eje menor tiene siempre la misma dimensión que el diámetro de las bases. La longitud del eje mayor depende de la inclinación del plano.

• Un plano oblicuo se puede simplificar mediante cambio de plano a uno proyectante.

Esta es la receta típica y clara para las secciones de cilindros.

La alternativa para hacer la sección por un plano oblicuo que no sea mediante cambio de plano es utilizar planos proyectantes (o frontales) que contengan generatrices completas del cilindro y encontrar la intersección de estos planos con el plano dado. Veámoslo con un ejemplo

En primer lugar podemos utilizar el truco que te enseñé para los poliedros, por el que utilizamos un plano horizontal Q que contenga a la base superior del cilindro y hacemos su intersección con el plano P. La intersección es una recta horizontal que en nuestro caso sí corta al cilindro, por lo que ya tenemos dos puntos de la sección 1 y 2.

Como ves, el plano no cortará a la base inferior porque la traza no lo toca.

Ahora dividimos la circunferencia de la base en 8 partes iguales y hacemos pasar por esas generatrices planos frontales. Encontramos a continuación la intersección de esos planos frontales con el plano P.

Por ejemplo, el plano frontal U contiene a la generatriz de base A. La intersección de los planos P, U es la recta frontal J, la cual corta a la generatriz de base A en el punto 3’. Este punto 3’ pertenece a la sección.

Por el resto de generatrices aplicamos el mismo método:

Como ves, todas las generatrices dan puntos de corte, del 3 al 8. Las dos únicas que no dan puntos de corte son las generatrices que he denominado a y b. Estas tendrían sus puntos de corte por fuera del cilindro (más arriba) y por tanto quedan fuera de la sección real. La sección termina en los puntos 1 y 2.

Con esto queda terminado el cilindro, en lo más básico.

2.3. La esfera

Vamos allá con la esfera, la última pieza de revolución y el último volumen que estudiaremos en este artículo. Espero que sigas ahí

La sección de una esfera por un plano es SIEMPRE una circunferencia.

Fácil, ¿no? La única dificultad en este caso es dibujarla correctamente, en su posición y con su diámetro adecuados.

Sección de la esfera por planos paralelos a los de proyección

Cuando la sección de una esfera viene dada por un plano frontal o uno horizontal, la sección siempre se ve en verdadera magnitud. El diámetro de la sección lo dan los extremos 1 y 2 de la sección, en la proyección en que se ve como una recta. Tendremos que llevar esos puntos 1 y 2 sobre el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.

Recuerda que el contorno aparente de la circunferencia en una proyección viene determinado por el diámetro paralelo a la línea de tierra en la otra proyección.

Sección de la esfera por planos proyectantes

En este caso nuevamente la sección es una circunferencia pero ahora no se verá en verdadera magnitud, sino como una elipse en una proyección y como una recta en la otra.

Los puntos 1, 2 en que la traza horizontal corta al perímetro de la esfera en proyección horizontal tienen su proyección vertical 1’, 2’ en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Ahí tenemos los extremos del eje menor de la elipse.

Para encontrar el eje mayor de la elipse tomamos el punto medio del segmento 1-2 (puedes hacerlo con una perpendicular desde O). En este punto medio están 3 y 4, los extremos del eje mayor de la elipse. Para encontrar su posición en proyección vertical tenemos que hacer una sección por un plano frontal que contenga a estos puntos.

Esa sección la hemos visto antes y es simplemente una circunferencia con un radio hasta el punto a’. En esa circunferencia se encuentran las proyecciones verticales 3’ y 4’.

Por último encontramos los puntos de tangencia de la elipse que se pueden ver en el diámetro paralelo a la línea de tierra en proyección horizontal. Es el punto T que tiene como proyecciones verticales los puntos T1 y T2.

Así que la sección y su abatimiento quedarían así:

La sección de la esfera por un plano oblicuo se realiza como siempre por cambio de plano, colocando el plano de sección P como proyectante.

– THE END –

Bueno, aquí se acaba el artículo por hoy. No recuerdo un artículo tan extenso como este. Al principio no pensé que fuera tan extenso el tema de secciones pero se ha llevado muchas horas.

Solo espero que te haya quedado claro. Si tienes cualquier duda estaré encantado de contestarte en los comentarios de más abajo.

Si te ha gustado el artículo, compártelo a través de las redes sociales o suscríbete a la lista de correo.

Las intersecciones de rectas con cuerpos geométricos, es decir, con volúmenes, es simplemente una continuación del artículo anterior sobre secciones. Como comprobarás en un momento, no tiene mucha mayor dificultad que eso.

¿Qué es la intersección de una recta con un cuerpo geométrico?

Cuando una recta corta un cuerpo geométrico, dado que la recta es infinita, tendrá al menos 2 puntos de intersección, los que podemos llamar punto de entrada y punto de salida. Son los que denominaremos en los dibujos I1 (i1-i1’) e I2(i2-i2’).

Estos 2 puntos de intersección son lo que nos están pidiendo que encontremos.

En los casos en que un cuerpo geométrico sea más complejo puede tener más de dos puntos de intersección. En todo caso será siempre un número par de puntos, porque tiene que haber tantos puntos de entrada como puntos de salida.

Método general

Este es el método paso a paso que te servirá para resolver prácticamente todos los ejercicios de intersecciones.

1. Dibuja un plano P que contenga a la recta R dada. Lo ideal es que utilices un plano lo más sencillo posible y estos serían los casos:
   1. Para una recta horizontal: usar un plano horizontal
   2. Para una recta frontal: usar un plano frontal
   3. Para una recta oblicua: usar un plano proyectante
   4. Para una recta de perfil: usar un plano de perfil
   5. Para rectas de punta y rectas verticales veremos una manera más sencilla de resolverlo.
2. Encuentra la sección que produce el plano P en la pieza.
3. Encuentra los puntos de intersección de la recta R con la sección realizada en el apartado anterior.

Con esto tienes prácticamente todo resuelto. Así que el artículo que te tienes que estudiar bien es el de secciones.

Recta oblicua con pirámide

Veamos un ejemplo genérico y muy común: la intersección de una recta oblicua con una pirámide.

En general tendremos siempre 2 opciones sencillas de resolver. En este caso podemos:

• Introducir la recta en un plano proyectante horizontal cuya traza horizontal P coincida exactamente con la proyección horizontal r de la recta
• Y también podemos introducir la recta en un plano proyectante vertical Q cuya traza vertical coincida con la proyección vertical de la recta.

Veamos el primer caso: Hacemos coincidir la traza horizontal P con la proyección horizontal r. La traza vertical P’ sería perpendicular a la línea de tierra. El segundo paso será encontrar la intersección del plano P con la pirámide. Para ello sube los puntos de intersección a y b con la base de la pirámide hasta su proyección vertical a’, b’ en la línea de tierra. El otro punto de corte con la pirámide es el vértice V, por lo que la sección será un triángulo indicado en línea roja fina en el dibujo.

Los puntos I1, I2 de intersección de la recta r’ con la sección triangular dibujada serán la solución del ejercicio. Solo queda encontrar su proyección horizontal, lógicamente sobre la proyección horizontal r de la recta.

Vamos con el segundo caso:  Introducimos la recta R en un plano proyectante vertical y para ello hacemos pasar la traza Q’ del plano por la proyección vertical r’ de la recta. La traza horizontal del plano será Q, perpendicular a la línea de tierra.

La sección que produce el plano Q será un hexágono cuyos puntos del 1 al 6 vienen determinados por la traza vertical Q’. Baja esos puntos hasta sus correspondientes aristas. El punto de corte de esta sección hexagonal con la proyección horizontal r de la recta serán los puntos I1 e I2 que buscábamos. Encuentra su proyección vertical sobre r’.

Y lo mejor viene al superponer los dos casos. Como ves, ¡¡coinciden!!

Da igual el plano que utilices: si lo utilizas correctamente, la solución es la misma.

Lo único que nos queda por definir son las partes vistas y ocultas.

En proyección horizontal vemos los puntos de entrada y salida de la recta sin problemas: la pirámide en ningún momento se pone en medio, así que la recta será vista, siempre que está por la parte exterior de la pirámide.

En proyección vertical, el punto I1 es visto porque está por delante de las aristas que definen el contorno de la pirámide. En cambio, el punto I2 está por detrás, así que será oculto. El tramo desde i2’ hasta el contorno de la pirámide es oculto y, por tanto, discontinuo.

Como has podido ver, el método es sencillo: plano que contiene a la recta, sección del plano con la pirámide y encontrar el punto de corte de la recta con esta sección.

Vamos con otro ejemplo:

Intersección de recta frontal con pirámide

Este es un caso si cabe más sencillo que el anterior y que resolveremos igualmente de 2 maneras diferentes, para que tú elijas la que prefieras.

Método 1º: Con un plano frontal

Introducimos la recta R en un plano frontal P cuya traza horizontal coincida exactamente con la proyección horizontal r de la recta. Encontramos a continuación la sección que produce este plano P sobre la pirámide. Para ello llevamos los puntos de corte de la traza horizontal P con cada arista a su correspondiente en proyección vertical. Dos puntos van a la base de la pirámide y dos a las aristas en altura. Forma un trapecio simétrico.

La intersección de la proyección vertical r’ con esta sección en forma de trapecio nos da los puntos i1’ e i2’ solución del ejercicio. Las proyecciones horizontales se encuentran lógicamente en r.

Método 2: Con un plano proyectante vertical

Para utilizar un segundo método introduciremos la recta en un plano proyectante vertical que tiene su traza vertical Q’ coincidente con la proyección vertical r’ de la recta y su traza Q horizontal perpendicular a la línea de tierra.

La sección que este plano produce en la pirámide tiene forma de hexágono, en este caso irregular. Encuentra los puntos en que la traza Q’ corta a cada arista de la pirámide y bájalos hasta encontrar la proyección horizontal de su correspondiente arista.

Los 2 puntos en que la proyección horizontal r corta a esa sección hexagonal son los puntos i1 e i2 solución del ejercicio. Sus proyecciones verticales se encuentra en r’.

Al superponer ambos métodos comprobamos nuevamente que los puntos de intersección coinciden.

En este caso la recta es completamente vista, tanto en proyección horizontal como en vertical, excluyendo las partes en que la recta está dentro de la pirámide. En este tramo suele no dibujarse la recta.

Rectas de punta y vertical

Como te decía, las rectas de punta y vertical son dos casos excepcionales que resolveremos de otra manera. De todas maneras, siempre puedes utilizar el mismo método anterior; es el método general que siempre funciona. Por ejemplo, si la recta es vertical podrías introducirla en un plano frontal P y hacer la intersección del plano con el cuerpo geométrico tal como hemos descrito anteriormente.

Obtendríamos una sección en forma de trapecio que la proyección vertical r’ de la recta corta en dos ocasiones, en i1’ y en i2’.

A continuación te explico el método alternativo y más abreviado.

Método alternativo para rectas verticales y de punta

En una recta vertical y en una recta de punta conocemos con precisión cual es una de las proyecciones de todos los puntos de una recta. En la proyección en que vemos la recta de punta, todos los puntos de la recta tienen su proyección exactamente en ese punto.

Los puntos de intersección no son más que aquellos puntos en la otra proyección contenidos en las caras del objeto.

Si tenemos por ejemplo una pirámide y una recta vertical, buscamos las caras que atraviesa la recta y encontramos los puntos de la recta en contacto con esas caras. Para ello utilizamos una recta auxiliar contenida en la cara de la pirámide que pasa por la proyección horizontal de la recta (el punto), la recta 1-v. Seguidamente encontramos la proyección vertical de esa recta 1’-v’ y el punto de corte de esta proyección con la recta r’ será el punto de intersección buscado.

Esto es mucha explicación para algo tan fácil como lo siguiente.

Date cuenta de que cuando hay un punto de entrada SIEMPRE hay un punto de salida. En este caso será por la base. El punto 2 es el centro de la base de la pirámide. La recta 1-2 tiene su proyección vertical en 1’-2’ y así obtenemos I2.

Para todas las demás figuras geométricas (cubo, octaedro, tetraedro, prismas, etc.) el proceso es exactamente el mismo, así que no merece la pena repetirlo más. Vamos con los cuerpos de revolución, que merecen una mención especial.

Intersección de rectas con cuerpos de revolución

Aunque con los cuerpos de revolución funciona igualmente el método general, te voy a dar a continuación algunas ideas para evitar que tengas que encontrar la sección en forma de elipse o parábola de uno de estos objetos.

Así trabajarás más rápido y con mayor precisión.

1. La esfera

El caso de una recta horizontal o frontal es muy sencillo y se hace aplicando el método general. Veamos una recta horizontal: utilizamos un plano horizontal P que la contiene y le hacemos su correspondiente sección. Para encontrar la sección de este plano encontramos el punto 1’ en que P’ corta al contorno de la esfera en proyección vertical. Este punto tiene su proyección horizontal 1 en el diámetro paralelo a la línea de tierra. Con centro en O y radio O-1 trazamos una circunferencia que es la sección del plano P sobre la esfera.

La intersección de r con esta circunferencia de sección da los 2 puntos de intersección i1 e i2 que tienen su proyección vertical en r’.

Bueno, este caso es sencillo. Vamos con una recta oblicua.

Para resolver la intersección de una recta oblicua con una esfera tenemos varias posibilidades:

1. Encontrar la sección elíptica que produce un plano proyectante auxiliar.

Hay que introducir la recta en un plano proyectante P y encontrar la sección de este plano sobre  la esfera. La intersección de esta sección con la recta nos da los dos puntos de intersección. Este es el método más impreciso y que menos recomiendo.

2. Encontrar la sección por cambio de plano

En este caso introducimos igualmente la recta en un plano proyectante P, igual que antes, pero ahora aplicamos un cambio de plano con el que veremos el plano P como frontal y la sección que produce será una circunferencia. Así ganamos en precisión.

No olvides cambiar de plano también la recta.

En el cambio de plano, la sección que produce un plano frontal con la esfera es una circunferencia. La intersección de esta circunferencia con la proyección r’’ de la recta da como resultado los puntos i1’’ e i2’’. Al llevar estos sobre sus proyecciones correspondientes en r y r’ obtenemos el resultado, que, lógicamente coincide con el método anterior.

3. Resolver mediante giro

Este es el método más rápido a la vez que preciso pero también posiblemente el que más esfuerzo mental requiere.

Consiste en girar la recta R hasta colocarla como frontal R2. En este momento hacemos la sección que produce un plano P frontal que contiene a R2 sobre la esfera, que será una circunferencia vista en verdadera magnitud. La intersección de esta sección en forma de circunferencia con la proyección vertical r2’ de la recta girada nos da los puntos de intersección en el giro.

Para encontrar los puntos definitivos I1 e I2 solo hay que deshacer el giro.

Con estos 3 métodos queda suficientemente clara la intersección de una recta oblicua con una esfera, ¿no?

2. Cono

Aunque el método general explicado al principio sirve también para cono y cilindro, en general los planos proyectantes producen secciones con forma de elipse o parábola y de esta manera el proceso es laborioso y, sobre todo, impreciso.

Vamos a utilizar un método por el que conseguiremos siempre secciones triangulares en el cono y secciones rectangulares en el cilindro.

Para el cono el proceso es el siguiente:

1. Tomar un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
2. Dibujar la recta S(s’-s) que une A(a’-a) con el vértice del cono V(v’-v)
3. Hallar y unir los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
4. La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cono es triangular, pasa por el vértice y por los puntos de corte de la traza con la base del cono.

Esto sucede solo en el caso de que el cono esté apoyado en el plano horizontal de proyección.

En este caso hemos utilizado también un plano que contiene a la recta R, solo que no es proyectante, sino que es un plano que pasa por el vértice. Así tendremos siempre una sección triangular, que son más rápidas y precisas de dibujar.

Hemos conseguido que el plano pase por el vértice porque hemos utilizado una recta S que corta a la recta R en el punto A y hemos hecho que esta recta S pase por el vértice.

3. Cilindro

El caso del cilindro es similar al del cono. La única diferencia es que en el caso del cilindro el vértice es un punto impropio, lo que quiere decir que en lugar de tomar una recta que pase por el vértice, utilizaremos una recta paralela a las generatrices.

Veámoslo paso a paso:

1. Toma un punto A(a’-a) cualquiera de la recta R dada.
2. Dibuja una recta S(s’-s) que pasa por A(a’-a) y es paralela a las generatrices del cilindro.
3. Halla y une los puntos traza horizontales hr y hs de las rectas R y S.
4. La recta hr-hs es la traza horizontal de un plano que contiene a R y S y pasa por el vértice. La sección que produce este plano en el cilindro es rectangular, con dos lados paralelos a las generatrices del cilindro y pasando por los puntos de corte de la traza con la base del cono.

Sencillamente fantástico, ¿no? Una manera de simplificarte la vida

Tu turno

Eso ha sido todo por mi parte en cuanto al tema de intersecciones. Se pueden poner obviamente mil ejemplos, pero todos se resuelven con las claves que hemos visto en este artículo.

¿Tienes alguna duda? ¿Quieres dejarnos tu opinión? Quizá conoces algún método más sencillo para resolver alguno de los casos… estaremos encantados de conocerlo.

Sin más, hasta la próxima, un saludo.